2019年广州市一模理科答案

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 -

1

2 3 4 5 6 7 8

答案 D @

B C D A C A B

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．1,2 10．1sin 11．12.38 12．12或72 13．8，22nn

…

14．1116, 15．4

说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．

② 第14题的正确答案可以是：11126kk,(Z).

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解：∵()fx的最大值为2，且0A， ∴2A. ……………1分

∵()fx的最小正周期为8，

∴28T，得4. ……………2分

∴()2sin()44fxx. ……………3分

（2）解法1：∵(2)2sin2cos2244f， ……………4分

？

(4)2sin2sin244f， ……………5分

∴(2,2),(4,2)PQ.

∴6,23,32OPPQOQ. ……………8分

∴222222632233cos232632OPOQPQPOQOPOQ. ………10分 ∴21POQPOQsincos63. ……………11分

∴△POQ的面积为116632223SOPOQPOQsin32.

……………12分

解法2：∵(2)2sin2cos2244f， ……………4分

(4)2sin2sin244f， ……………5分

∴(2,2),(4,2)PQ.

》

∴(2,2),(4,2)OPOQ. ……………8分

∴63coscos,3632OPOQPOQOPOQOPOQ. ……………10分

∴21POQPOQsincos63. ……………11分

∴△POQ的面积为116632223SOPOQPOQsin32.

……………12分

解法3：∵(2)2sin2cos2244f， ……………4分

(4)2sin2sin244f， ……………5分

∴(2,2),(4,2)PQ.

∴直线OP的方程为22yx，即20xy. ……………7分

∴点Q到直线OP的距离为42233d. ……………9分

>

∵6OP， ……………11分

∴△POQ的面积为1162322SOPd32. ……………12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）

解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题意知，

12PAPBmPCn,,. ……………1分

（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0”是对立的，

所以至少有一位学生做对该题的概率是1310144P. …………3分 HFABCA1C1B1DE（2）由题意知1101124PPABCmn， ……………4分

113224PPABCmn， ……………5分

整理得 112mn，712mn.

|

由mn，解得13m，14n. ……………7分

（3）由题意知1aPPABCPABCPABC

11111111122224mnmnmn， ………9分

(2)1(0)(1)(3)bPPPP=14， ……………10分

∴的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)EPPPP=1312.

…………12分

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）

解法一：

（1）证明：延长1AD交AC的延长线于点F，连接BF.

—

∵CD∥1AA，且CD121AA，

∴C为AF的中点. ……………2分

∵E为AB的中点，

∴CE∥BF. ……………3分

∵BF平面1ABD，CE平面1ABD，

∴CE∥平面1ABD. ……………4分

（2）解：∵1AA平面ABC，CE平面ABC，

∴1AACE. ……………5分

∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，

∴CEAB，332CEAB.

@

∵AB平面1AAB，1AA平面1AAB，1ABAAA，

∴CE平面1AAB. ……………6分

∴EHC为CH与平面1AAB所成的角. ……………7分

∵3CE，

在Rt△CEH中，tan3CEEHCEHEH， zyxHABCA1C1B1DEF∴当EH最短时，tanEHC的值最大，则EHC最大. ……………8分

∴当1EHAB时，EHC最大. 此时，tan3CEEHCEHEH152.

∴255EH. ……………9分

∵CE∥BF，CE平面1AAB，

∴BF平面1AAB. ……………10分

'

∵AB平面1AAB，1AB平面1AAB，

∴BFAB，BF1AB. ……………11分

∴1ABA为平面1ABD 与平面ABC所成二面角（锐角）. ……………12分

在Rt△EHB中，22BHEBEH55，cos1ABA55BHEB.…13分

∴平面1ABD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为55. ……………14分

解法二：

（1）证明：取1AB的中点F，连接DF、EF.

∵E为AB的中点，

∴EF∥1AA，且112EFAA. ……………1分

∵CD∥1AA，且CD121AA，

$

∴EF∥CD，EFCD. ……………2分

∴四边形EFDC是平行四边形.

∴CE∥DF. ……………3分

∵DF平面1ABD，CE平面1ABD，

∴CE∥平面1ABD. ……………4分

（2）解：∵1AA平面ABC，CE平面ABC，

∴1AACE. ……………5分

∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，

∴CEAB，332CEAB.

∵AB平面1AAB，1AA平面1AAB，1ABAAA，

【

∴CE平面1AAB. ……………6分

∴EHC为CH与平面1AAB所成的角. ……………7分

∵3CE， 在Rt△CEH中，tan3CEEHCEHEH，

∴当EH最短时，tanEHC的值最大，则EHC最大. ……………8分

∴当1EHAB时，EHC最大. 此时，tan3CEEHCEHEH152.

∴255EH. ……………9分