矩形中的折叠问题
- 格式：doc
- 大小：251.58 KB
- 文档页数：6
。
-可编辑修改- 矩形中的折叠问题
山东省枣庄市峄城区第二十八中学 潘歌
邮编：277300
折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。对于折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
一、求角度
例1 如图 把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点CD，分别落在CD，的位置上，EC交AD于点G．已知58EFG°，那么BEG °．
【解析】在矩形折叠问题中，折叠前后的对应角相等来解决。
解：根据矩形的性质AD∥BC，有∠EFG=∠FEC=58°，再由折叠可知，∠FEC=∠C′EF=58°，由此得∠BEG=64°
例2 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．
【解析】折叠前后的对应角相等．
解：BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD
则∠CBD = 90°．
二、求线段长度
例3 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长．
【解析】根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可
解：由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A’DG，由A’D = AD = 3，AG’ = AG，则A’B = 5 – 3 = 2，在Rt△A’BG中根据勾股定理，列方程可以求出AG的值．
例4 如图 四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于 （ ）
（A）34 （B）33 （C）24 （D）8
【解析】在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决．
解：由折叠可知，AE=AB=DC=6，在Rt△ADE中AD=6，
DE=3由勾股定理，得AD=33，设EF=x，则FC=x33，
在Rt△EFC中由勾股定理求得x=32,则EF=32，在Rt△AEF中，由勾股定理得AF=34．故选A． A
B C D
E
F
A
B E C D F
G CD
GA'CABD。
-可编辑修改- 三、求图形面积
例5如图3-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）
A．234cm B．236cm C．238cm D．240cm
解析：折叠后重合部分为直角三角形．
解：重合部分其面积为22122，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 －
两个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（2cm）．故选B．
例6 如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．
【解析】重合部分是以折痕为底边的等腰三角形
解：∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1 = ∠2
∵AD∥BC，∴∠1 = ∠3
∴∠2 = ∠3
∴FB = FD
设FD = x，则FB = x，FA = 8 – x
在Rt△BAF中，BA2 + AF2 = BF2
∴62 + (8 - x)2 = x2
解得x = 254
所以，阴影部分的面积S△FBD = 12 FD×AB = 12 ×254 ×6 = 754 cm2
四、数量及位置关系
例7 如图 将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．
证明：（1）BFDF．
（2）AEBD∥
【解析】（1）欲证明BF=DF ，只需证∠FBD=∠FDB；
（2）欲证明AEBD∥，则需证AEBDBE。由折叠可知DC=ED=
AB， BC=BE= AD，又因为AE=AE，得△AEB≌△EAD，
所以∠AEB=∠EAD，所以∠AEB=21（180°-∠AFE），而∠DBE=21（180°-∠BFD）
因此AEBDBE。
解：（1）由折叠可知，∠FBD=∠CBD，因为AD∥BC，所以∠FDB=∠CBD，所以∠FBD=∠FDBBFDF∴
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB=DC，AD=BC 图3-1 图3-2
A
B C D E
F
321FEDCBA。
-可编辑修改- 由折叠可知 DC=ED= AB， BC=BE= AD又因为AE=AE所以△AEB≌△EAD，所以∠AEB=∠EAD，所以∠AEB=21（180°-∠AFE），
而∠DBE=21（180°-∠BFD），∠AFE=∠BFD，所以AEBDBE，所以AE∥BD
例8 如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．
(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？
(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；
(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．
【解析】对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，要注意构造全等三角形．
解：(1)BB’ = MN
过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’ ≌ △HNM
(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x
在Rt△ABB’中，BB’ = AB2 + AB'2 = 1 + x2
因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 121 + x2
由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’
∴ y = 121 + x2 × 1 + x2 = 12(1 + x2)
(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等
由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x
∴梯形MNCB的面积为：
12 (y – x + y) ×1 = 12 (2y - x)= 12 (2×12(1 + x2) – x)
= 12 (x - 12 )2 + 38
当x = 12 时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38
五、判断图形形状
例9 将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG的形状 三角形．
【解析】对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF．
解：∵四边形CDFE与四边形C’D’FE关于直线EF对称
∴∠2 = ∠3 = 64°
∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52°
∵AD∥BC
∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5
又∵∠2 = ∠3
∴∠3 = ∠5 54132GD‘FC‘DBCAEPC'NBCADMB'QPHC'NBCADMB'。
-可编辑修改- FEDABC∴GE = GF
∴△EFG是等腰三角形．
例10 如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△FAC是等腰三角形；
（2）若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积．
【解析】对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系．
（1）证明：由题意可知△ABC≌△ACD≌△ACE,
所以∠DAC=∠ACE,所以△FAC是等腰三角形；
（2）解：设CF=AF=x，且AD=BC=6,CD=AB=4
Rt△CDF中，DF=AD-AF=6-x
由勾股定理得，2224(6)xx， 133x，6-x=53
Rt△ABC中，AC=213
△FAC的周长=263+213
△FAC的面积=△ACD的面积-△CDF的面积=263．
六、连续折叠的规律
例11 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6 ，BC=10 ．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1= ，BOn=
【解析】问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系
解：第一次折叠时，点O1是BD的中点，则BO1 = DO1
第二次折叠时，点O2是BD1的中点，则BO2 = D1O2
第三次折叠时，点O3是BD2的中点，则BO3 = D2O3
因为AB = 6 ，BC = 10 ，所以BD = 4
第一次折叠后，有BO1 = DO1 ∴BO1 = 2
第二次折叠后，有BO2 = D1O2∴BO2 = BD - DD12 = BD - BO122 = 32 。
-可编辑修改- 第三次折叠后，有BO3 = D2O3∴BO3 = BD1 - D1D22 = BD1 - BO222 = 98
即当n = 1时，BO1 = 2 =302-1 = 31 - 121×2 - 3
当n = 2时，BO2 = 32 = 3021 = 32 - 122×2 - 3
当n = 3时，BO3 = 98 = 3223 = 33 - 123×2 - 3
则第n次折叠后，BOn = 3n - 122n - 3
