数学中考基础训练13

第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题

【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐

【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

【典型例题】

【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−53经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；

（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

每天2题（16）

命题人：曾剑凡

1. “五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩。如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m。小明乘坐的车厢经过点B时开始计时。

(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？

(2)的旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？

2、将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．

（1）如图①，对△ABC作变换[60°，3]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为

度；

（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；

（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．

1、解：（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，DA即为小明离地的高度，

∵∠COD=003604=6024，

∴OD=12OC=12×20=10。

∴DA=20－10＋1=11（m）。

答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m。

（2）设当旋转到E处时，小明离地面高度为31m。

作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面高度为HA。

∵HA=31，∴OH=31－1－20=10。

∴OH=12OE。∴∠HOE=60°。∴∠FOE=120°。

∵每分钟旋转的角度为：00360=1524，

∴由点E旋转到F所用的时间为：00120=815（分钟）。

答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中。

专题13 一元一次不等式（组）及其应用

一、单选题

1．（2022·珠海市九洲中学九年级三模）若xy，则（ ）

A．22xy B．22xy C．22xy D．22xy

2．（2022·浙江杭州·翠苑中学九年级二模）下列说法正确的是（ ）

A．若ab，则acbc B．若ab，则abcc

C．若ab，则11ab D．若1xy，则xy

3．（2022·深圳市南山区荔香学校九年级开学考试）关于x的不等式122mxm的解集为2x，则m的取值范围是（ ）

A．1m B．1m C．1m D．1m

4．（2022·重庆市天星桥中学九年级开学考试）已知关于x的不等式组5720xax有且只有3个非负整数解，且关于x的分式方程61ax+a=2有整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）不等式组2030xx的整数解有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（2022·山东日照·）若不等式组643xxxm的解集是3x，则m的取值范围是（ ）

A．3m B．3m C．3m D．3m

7．（2022·珠海市紫荆中学九年级一模）不等式组20321xx的解集是（ ）

A．﹣1＜x≤2 B．﹣2≤x＜1 C．x＜﹣1或x≥2 D．2≤x＜﹣1

8．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（ ）

A．6≤m≤9 B．6＜m＜9 C．6＜m≤9 D．6≤m＜9

9．（2020·重庆梁平·）若数a使关于x的不等式组347xax有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程2233ayy有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）

2023陕西中考数学13题

13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4. 点E在边AD上，且ED＝3，MN分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN. P是线段CE上的动点，连按PM、PN，若PM＋PN＝4，则线段PC的长为 .

【分析】第13题较往年几何综合难度有所提升，和往年的命题思维有所不同的是：以PM＋PN＝4这个唯一最小值为已知条件命制题目，意在让学生以这个奇妙的数据为突破口，分析动点的运动过程，从而解决问题，灵活性较强。总之。分值3分的填空题，难度不高，但容易陷入思考误区。

【解答】题目既不是求最大值也不是求最小值，有三个动点，动点P和动点M、N没什么关系。切不可想什么模型，只要找到一个P点，满足 PM＋PN＝4

即可。如下图，就是满足要求的P点.

N点在E点右侧时，N点关于CE的对称点N'在CD上，PNCN'正方形时的P点就是要找的，此时PC＝22.

【点评】数学抽象能力、推理能力、模型思想、几何直观、运算能力、数据分析能力，这六大核心素养绝不是口号，国务院《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中指出：坚持立德树人，坚持全面发展，为学生终身发展奠基，从考察“一时能记得住的知识”转向“一生能带走的能力”；《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中指出：依据课程标准科学命题，减少机械记忆试题和客观性试题比例，提高探究性、开放性、综合性试题比例。因此，我们在备考的时候，应充分以基础知识为依托，回归课本，注重知识的本质，在夯实基础的同时，重视方法和策略的落实，通过一题多解或一题多问的方式，让学生360°全方位理解问题的本质，从而达到核心素养的落实。