摘 要 利用三角函数的诱导公式、正项级数敛散性的判别以及交错级数敛散性的判别法：莱布尼兹判别法给出了一道任意项级数条件收敛还是绝对收敛的判别方法，并由此推广到更一般的形式。
关键词 任意项级数 交错级数 莱布尼茨判别 诱导公式 收敛
中图分类号：o173 文献标识码：a
discrimination and analysis of a class of
progression of convergence and divergence
li lirong
引入问题：讨论下列级数是绝对收敛还是条件收敛？
下面，我们将介绍这道题的解法并推广到更为一般的形式。
很显然，这是任意项级数，对任意项级数，我们有如下定义：
定义：若任意项级数通项的绝对值构成的级数??收敛，则称级数为绝对收敛；若级数收敛而??发散，则称为条件收敛。
对于数项级数，我们讨论了正项级数的收敛性问题，关于任意项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂，于是我们主要讨论某些特殊类型级数：交错级数的收敛性问题。
定义： 若级数的各项符合正负相间，即：
+…++… =
（>0，=1，2，3，4……）
则称级数为交错级数。
不作任何变形，该题就是一任意项级数，而且各项没有任何规律，但我们如果使用下面的三角函数诱导公式：
= ， =
该题就可作如下变形：
= （1）
= （2）
于是，我们就可以很明显地发现这是交错级数了，对于交错级数我们有：
定理 1：（交错级数收敛的必要条件）若交错级数（>0）
收敛，则有 = 0。
定理2：（莱布尼茨判别法）若交错级数满足下述两个条件：
（1） = 0；
（2）数列{}单调递减；
则该交错级数收敛。
本题完整解法：
因为 = （） =
是交错级数，且满足 =
1 ·复习 1 级数的概念。2 级数的敛散性。3 级数的性质。
·引入 正像数列一样，对于级数也有两个问题应当研究一是它是否收敛，二是如果收敛，它的和等于什么。一般情况下要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此需要建立判定级数敛散性的判别法。我们先来考察正项级数的敛散性。
·讲解新课
7-2 常数项级数的审敛法（一）
一 正项级数及其审敛法
定义 如果级数1nnu的每一项都是非负数，即0nu，(1,2)n，那么称级数1nnu为正项级数．
如果级数1nnu是一个正项级数，那么它的部分和数列nS是一个单调增加数列：12......nSSS，如果数列nS有界，即nS总不大于某一个常数M，根据单调有界数列必有极限的准则，正项级数1nnu必收敛于和S，且nSSM；反之，如果正项级数1nnu收敛于和S，即limnxSS，根据有极限的数列必是有界数列的性质可知：1nnu有界，因此可得如下结论： 2 定理 正项级数1nnu收敛的充分必要条件是：它的部分和数列单调有界。
由此定理可知：如果正项级数1nnu发散，则当n时，它的部分和数列nS，即：1nnu
1 比较审敛法
设有两个正项级数1nnu和1nnv，
如果nu≤nv),3,2,1(n成立，那么
（1）若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛.
（2）若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散．
用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p－级数。
定义 当0p时 ，11111123LLppppnnn.
称为 p－级数
特别地：当1p时，p－级数是调和级数11nn。 3 定理 当1p时，p－级数11pnn收敛；当p≤1时，p－级数11pnn发散．
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如何利用极限形式的比较法判别正项级数的敛散性
作者：赵春霞
来源：《现代交际》2016年第07期
摘要：级数的敛散性是讨论级数时的一个中心问题，而正项级数又在级数中占据着重要的地位，判断正项级数敛散性的方法很多，这其中极限形式的比较判别法就是经常用到的一个重要方法。由于该方法需要找到另一个正项级数来和所讨论的级数做“比较”，而且要求能通过这种比较得出所讨论级数的敛散性，这对于初学者而言确实有一定的困惑。本文通过具体的例子详细分析了如何去寻找符合需要的“另一个正项级数”，从而能利用极限形式的比较法判断一个正项级数的敛散性。
关键词：比较法；级数；敛散性
中图分类号：O1731文献标识码：A文章编号：1009-5349（2016）07-0253-01 龙源期刊网
第２６卷第２期 ２００８年ｏ３月 佳木斯大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｍｕｓｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２６ Ｎｏ．２ Ｍａｒ．
文章编号：１００８一ｌ４０２Ｉ２０ｏ８）ｏ２—０２７０—０２
关于任意项级数敛散性判别的两个结论
刘志高
（安徽工业大学职业技术学院。安徽马鞍山２４３０１１）
摘要： 以级数收敛定义和比较原则为基础，补充两个结论来判断某些任意项级数的敛散性．
关键词：任意项级数；绝对收敛
中图分类号：０１７３．１ 文献标识码：Ａ
判别任意项级数的敛散性往往比较困难．一
般的判别法有柯西准则、阿贝尔判别法和狄利克雷
判别法等 “．本文以级数收敛定义和比较原则为
基础，获得了两个结论．利用它们可以较方便地
判断某些任意项级数的敛散性．
结论１ 设任意项级数∑ 满足条件： ｎ＝Ｉ （１）ｔｉｍ ａ ＝０； ■—’＋－ （２）ｊ ｋ∈Ｚ’，使得口ｈ一＾＋Ｉ＋ａｈ一＾＋２＋…＋ａｈ＝ ．
则级数∑ 与∑ｂ 敛散性相同． ＿＝Ｉ ＿＝Ｉ
证明对于固定的 ，级数∑ａｎ的前 项和为 ＿＝Ｉ ＝（ａＩ＋ａ２＋…＋ａｋ）＋…
＋（ａｈ．Ｉ＋ｔ＋ａｈ．Ｉ＋２＋…＋ａｈ）
＝ｂＩ＋ｂ２＋…＋ｂ ＝Ｓ
其中Ｓ 为级数∑ｂ 的前 项和．若级数∑ｂ 收 ■＝ｌ ＾＝Ｉ
敛，不妨设∑ｂ ：ｓ，则由级数收敛定义可知，
ｌｉｍ Ｓ ＝Ｓ，从而ｌｉｍ Ｓ ＝Ｓ．又因为ｌｉｍ ａ ＝
０，所以ｌｉｍ Ｓ —Ｉ＝ｌｉｍ（Ｓ —ａ ）＝Ｓ．同理可得
ｌｉｍ Ｓｈ．２＝…＝ｌｉｍ Ｉ＝Ｓ．所以ｌｉｍ Ｓ ＝
ｓ，从而级数∑ａｎ收敛．反之，若级数∑ 发散，
则ｌｉｒａ 不存在，从而ｌｉｍ Ｓ 不存在，所以级数
∑ 发散．
众所周知，原级数收敛则加括号后所得新级
数仍收敛，反之不然．而结论ｌ告诉我们，在某些 条件下，可以由加括号后所得新级数的收敛性来
得到原级数的收敛性．
