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关于数项级数敛散性的判定

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关于数项级数敛散性的判定

1、问题的提出

数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的.

2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理

2.1数项级数收敛的定义

数项级数1nnu收敛数项级数1nnu的部分和数列nS收敛于S.

这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列nS的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少.

2.2数项级数的性质

（1）若级数1nnu与1nnv都收敛，则对任意常数c,d, 级数1)(nnndvcu亦收敛，且111)(nnnnnnnvducdvcu;相反的，若级数1)(nnndvcu收敛，则不能够推出级数1nnu与1nnv都收敛.

注：特殊的，对于级数1nnu与1nnv，当两个级数都收敛时，1)(nnnvu必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时，1)(nnnvu一定发散；当两个都发散时，1)(nnnvu可能收敛也可能发散.

例1 判定级数1)5131(nnn与级数1)211(nnn的敛散性.

解：因为级数131nn与级数151nn收敛，故级数1)5131(nnn收敛. 1 因为级数11nn发散，级数121nn收敛，故级数1)211(nnn发散.

（2）改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.

（3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的.

例2 判定级数1111121-1-21nn的敛散性.

解：先考察级数11111nnn，因为121111nnnun，而级数112nn发散，由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散.

（4）级数收敛的必要条件 若级数1nnu收敛，则0limnnu.若0limnnu，则级数1nnu发散.

2.3判定定理

2.3.1级数收敛的柯西准则

级数1nnu收敛0,*NN,使得当mN以及*Np,都有pmmmuuu21.

例1 用柯西准则判别级数nn22sin的敛散性.

证明：由于

pmpmmmmmpmmmuuu22sin22sin22sin221121

mpmmpmmm21212121212121

因此，对于任意的0.取1log2N使得当Nm及任意的Np,由上式就有pmmmuuu21成立，故由柯西准则可推出原级数收敛.

2.3.2正项级数判别法

（1）正项1nnu收敛它的部分和数列nS有界. 2 （2）比较判别法 如果1nnu和1nnv是正项级数，若存在某整数N，对一切Nn都有nnvu

(i)若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；（ii）若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散.

等比级数和P-级数的敛散性

①等比级数12nnnaqaqaqaaq，当1q时，级数收敛；当1q时，级数发散.

②P-级数11npn，当1p时，发散；当1p时，收敛.

例2 判别级数114nn的敛散性.

解：因为25441111nnnnnun，而且P-级数251n收敛，由比较判别法知该级数收敛.

（3）比较判别法的极限形式 如果1nnu和1nnv是正项级数)0(nv，如果lvunnnlim，则

（i）当l0时， 1nnu和1nnv同时收敛或发散；（ii）当0l时，1nnv收敛时，1nnu

也收敛；（iii）当l时，1nnv发散时，1nnu也发散.

例3 判别级数11aan的敛散性.

解：因为aaatantnattttnnln1lnlim1lim111lim00令,而正项级数n1发散，由比较原则的极限形式知原级数发散.

(4)比式判别法 如果1nnu为正项级数,且nnuu1，

（i）若10，则1nnu收敛；（ii）若1，1nnu发散. 3 例4判别级数nn10!1的敛散性.

解：因为102lim!11010!2limlim11nnnuunnnnnnn，所以由比式判别法知原级数发散.

(5)比式判别法的极限形式 如果1nnu为正项级数，且nnnuu1lim，则

（i）若1，则1nnu收敛；（ii）若1或时，1nnu发散.

例5 判别级数nnnn!3的敛散性.

解：因为13113lim!31!13limlim111ennnnnuunnnnnnnnnn，所以由比式判别法的极限形式知原级数发散.

（6）根式判别法 如果1nnu为正项级数，（i）如果1nnu，则1nnu收敛；（ii）若1nnu，则级数1nnu发散.

(7)根式判别法的极限形式 如果1nnu为正项级数，还有nnnulim，

（i）当1时，则1nnu收敛；（ii）当1时，则1nnu发散.

例6 判别级数nnn12的敛散性.

解：因为12112lim12limnnnnnnnn，所以由比式判别法极限形式知原级数收敛.

(8)积分判别法 若)(xf为),1[上的非负减函数，那么正项级数)(nf与反常积分1)(dxxf同时收敛或同时发散.

例7 判别级数112n的敛散性.

解：设112xxf，则xf在),1[上为非负单调递减函数，而1241xdx

故由积分判别法知原级数收敛. 4 (9)Raabe判别法 设0nu，,2,1,11nuunRnnn.

(i)若存在1q及正整数N,使得当Nn时有qRn，则级数1nnu收敛；

(ii）若存在正整数N,使得当Nn时有1nR，则级数1nnu发散.

(10) Raabe判别法的极限形式 设1nnu是正项级数，且有rRnnlim，

（i）若1r,则级数1nnu收敛；

（ii）若1r,则级数1nnu发散.

例8 判别级数121!!2!!12nnn的敛散性.

解：容易验证，因为n1这个级数用比式判别法和根式判别法都失效，这时可以用Raabe判别法.此时，nnnnnnnnuunRnnn23125612232221221.由Raabe判别法知原级数收敛.

正项级数的判别方法有很多种，下面总结一下这几种方法的选择顺序:①若nnulim易于求的，考察nnulim的值：0limnnu，则依据级数收敛的必要条件，知级数发散；②若0limnnu，不能直接判断级数是收敛还是发散，此时用比式判别法或根式判别法，当1时，级数收敛；若1或时，级数发散；③当1时，级数可能收敛也可能发散，此时用比较判别法，找出一个已知敛散性的级数与之比较，然后根据比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性，当然，对于一些具体问题，我们应该根据其特点分析，找到更简便的判别方法.

2.3.3一般项级数的判别方法

（1）交错级数判别法

Leibniz判别法 若交错级数nnnu11)1(（0nu），满足下述两个条件：（i）数列nu单调递减；（ii）0limnnu,则级数收敛. 5 注：用Leibniz判别法判定1nnuu时，可以用以下几种方法：①比值法：考察是否有11nnuu；②差值法：考察是否有01nnuu；③导数法：即建立一个连续可导的函数)(xf，使),2,1()(nunfn，考察是否有0)(nf.

例9 判定级数111ln)1(1)1(nnnnn的敛散性.

解：因为此级数为交错级数 ，设1ln11nnnun，易证01ln11limlimnnnunnn，下面判定1nnuu，下面我们用导数的知识判定数列nu单调递减.设1ln11)(nnnunfn，则1ln11ln22nnnnunfn，又设nnng1ln，则0111nng,ng单调递减，0gng ，0nf，nf单调递减，1nnuu ，由Leibniz判别法，知原级数发散.

（2）绝对收敛

若级数1nnu各项绝对值组成的级数1nnu收敛，则原级数绝对收敛.

性质：绝对收敛的级数一定收敛.此定理的逆命题不成立，即：若1nnu收敛，不能判定1nnu也收敛.

（3）Abel判别法

若na为单调有界数列，且级数nb收敛，则级数nnba收敛.

例10 判定级数2arctan411ln11nnnnnn的收敛性.

解：根据Leibniz判别法知级数2ln11-nnn收敛.因为nn11递增有界，故由Abel判别法知级数211ln11nnnnn收敛，又因narctan4递减有界，再由Abel判别法知原级数收敛.

(4)Dirichlet判别法

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级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳

级数是数列之和的概念在数学中的推广。级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。

一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）

比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。

1.比较判别法

对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：

（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。

（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。

2.比较判别法的极限形式

对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：

（1）若0

（2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。

（3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。

比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。 二、比值判别法

比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。

对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在：

（1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛；

（2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散；

（3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。

比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。

三、积分判别法

积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：

（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减；

判别数项级数敛散性的一些方法和技巧

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判别数项级数敛散性的一些方法和技巧

要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。以下是一些常见的方法和技巧：

1.非负项级数的比较判别法：

-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。

-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。

-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。

2.收敛级数的性质：

-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。

-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。

3.交错级数的收敛性：

-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。

4.幂级数的收敛性： - 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。

5.特殊级数的敛散性：

-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。

- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。

6.柯西收敛准则：

-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。

7.级数的整体性质：

-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。

通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。

数项级数敛散性的判别法毕业论文

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关于数项级数敛散性的判别法

摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D’Alembert）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化.

关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性;

判别法

1 引言

设数项级数

nnnaaaa211

的n项部分和为:

12nSaa+1nniiaa

若n项部分和数列nS收敛,即存在一个实数S,使

limnnSS.

则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于limnnS是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy)收敛准则,可得到级数的柯西(Cauchy)收敛准则[1]:

1 数项级数1nna收敛0,NN,对,nNpN有

12nnnpaaa.

2 正项级数敛散性判别法

设数项级数1nna为正项级数(na0).则级数的n项部分和数列nS单调递增,由数列的单调有界公理,有

定理2.1[1] 正项级数1nnu收敛它的部分和数列nS有上界.

由定理2.1可推得

定理2.2[2]：设两个正项级数1nnu和1nnv,存在常数c0及正整数N，当n＞N时有

nu≤cnv,则

（i）若级数1nnu收敛，则级数1nnv也收敛；

（ii）若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散.

一般常及其极限形式:

定理2.2’（比较判别法的极限形式）[2]：设1nnu和1nnv是两个正项级数且有

数项级数敛散性判别方法

数项级数敛散性判别方法

数项级数敛散性判别方法

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华北水利水电

大学

课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）

专业班级:水利港航39班

成员组成:丁哲祥 1

联系方式:

数项级数敛散性判别法（总结）

摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。

关键词：数项级数 敛散性 判别方法 总结

Severalseriesgathered

ofthecriterionscatteredmethod(summary)

Abstract ：Thesequenceseriesisoneofthemaincontentsinthemathematical

analysis.Welearnthissemestertheseveralseriesgatheredofthecriterionhasmanyscatteredmethod,thispaperfoldingaseriesoflogarithmscattereddiscriminantmethodisanalyzedsum-up,gettheproblemsolvingmethod.

Key?words:

Severalseries;Gatheredscatteredsex;Identifyingmethod;analysissummary 一. 数项级数的定义 ：