初三数学一元二次方程试题答案及解析

初三数学一元二次方程试题答案及解析

1. (1)解方程：；

(2)解不等式组：

【答案】（1）x1=﹣，x2=2；

（2）1＜x＜4．

【解析】（1）用因式分解法进行求解即可；（2）先求得不等式组中每一个不等式的解集，然后取其交集．

试题解析：（1）（2x+1）（x-2）=0，

解得x1=﹣，x2=2；

（2）

不等式①的解集为：x>1；

不等式②的解集为：x＜4．

故原不等式的解集为： 1＜x＜4．

【考点】1.解一元二次方程2.解不等式组．

2. 小明的家庭作业中有这样一道题：

“如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．

在第n个图中，黑、白瓷砖各有多少块．（用含n的代数式表示）”

小明做完作业后发现这些图案很美．正好小明爸爸的商铺要装修，准备使用边长为1米的正方形白色瓷砖和长为1米、宽为0.5米的长方形黑色瓷砖来铺地面．于是他建议爸爸按照图案方式进行装修．已知每块白色瓷砖40元，每块黑色瓷砖20元，贴瓷砖的费用每平方米15元．经测算，瓷砖无须切割，且恰好能完成铺设，总费用需7260元．问两种瓷砖各需买多少块？

【答案】白色瓷砖需买110块，黑色瓷砖需买44块．

【解析】设白色瓷砖的行数为n，利用总费用为7260元为等量关系列出方程求解即可．

设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得

40n（n+1）+20×4（n+1）+15（n+1）（n+2）=7260，

解得n1=10，n2=-13（不合题意，舍去）．

白色瓷砖块数为n（n+1）=110，

黑色瓷砖块数为4（n+1）=44，

答：白色瓷砖需买110块，黑色瓷砖需买44块．

【考点】1.一元二次方程的应用；2.规律型：图形的变化类．

3. 已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程的两实根，且，若这两个圆相切，则t = 【答案】2或0．

【解析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．

试题解析：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根， 解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．

①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；

②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3-1=2，解得t=0．

∴t为2或0．

考点: 1.圆与圆的位置关系；2.解一元二次方程-因式分解法．

4. 若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1，x2，且x1x2有下列结论：①x1=2,x2=3；②m>；③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中正确的结论是__________(填正确结论的序号)

【答案】②③．

【解析】将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．

试题解析：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，

∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，

∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，

解得：m＞-，故选项②正确；

∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，

∴x1+x2=5，x1x2=6-m，

而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；

二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），

令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，

解得：x=2或3，

∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．

综上所述，正确的结论有2个：②③．

考点: 1.抛物线与x轴的交点；2.一元二次方程的解；3.根的判别式；4.根与系数的关系．

5. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．

⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形?

⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式； ⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C?若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．

【答案】．

【解析】（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．

（2）易证：△DPH∽△PEB⇒，即，故可求得y与x的关系式． （3）利用△DPH∽△PEB，得出，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．

试题解析：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6．

∴AH=2，AD=2．

∵AP=x，

∴PH=x﹣2，

情况①：当AP=AD时，即x=2．

情况②：当AD=PD时，则AH=PH．

∴2=x﹣2，解得x=4．

情况③：当AP=PD时，

则Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，解得x=5．

∵2＜x＜8，

∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形．

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，

∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．

∴∠HDP=∠EPB．

又∵∠DHP=∠B=90°，

∴△DPH∽△PEB．

∴，

∴．

整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x2+x﹣4；

（3）存在．

设BC=a，则由（2）得△DPH∽△PEB，

∴，

∴y=，

当y=a时，

（8﹣x）（x﹣2）=a2

x2﹣10x+（16+a2）=0，

∴△=100﹣4（16+a2），

∵△≥0，

∴100﹣64﹣4a2≥0，

4a2≤36，

又∵a＞0，

∴a≤3，

∴0＜a≤3，

∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．

【考点】1.一元二次方程2.相似三角形的判定与性质．

6. 已知：关于的方程x2+(2-m)x-2m=0.

⑴求证：无论取什么实数值，方程总有实数根；

⑵取一个m的值，使得方程两根均为整数，并求出方程的两根。

【答案】（1）证明见解析；（2）0（答案不唯一）.

【解析】（1）只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了；

（2）m可取比较简单的数，如0或1等，并通过解方程判断方程的根是否是整数． 试题解析:（1）△=（2-m）2-4×2m=（m-2）2≥0，所以方程总有实数根；

（2）当m=0时，原方程化为：x2+2x=0，

x（x+2）=0，

解得x=0或-2．

考点: 1.解一元二次方程-因式分解法；2.根的判别式．

7. 已知关于x的方程．

（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？

（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.

【答案】（1） （2）

【解析】分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.

解：（1）由题意得，即时，

方程是一元一次方程.

（2）由题意得，，即时，方程是一元二次方程.此方程的二次项系数是、一次项系数是、常数项是.

8. 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：

（1）请解上述一元二次方程；

（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.

【答案】（1） （2）答案不唯一

【解析】解:（1），所以.

，所以.

，所以.

……

，所以.

（2）答案不唯一,比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.

9. 解方程：①4x2－4x＋1＝0 ②x2＋2＝4x

【答案】(1)；（2），.

【解析】(1)把方程写成（2x-1）2=0的形式，直接开平方求出方程的解；

（2）首先把方程移项变形为4x2-4x=-1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．

试题解析：（1）∵4x2－4x＋1＝0

∴（2x-1）2=0

解得：；

（2）∵x2＋2＝4x

∴x2-4x=-2

x2-4x+4=-2+4 ∴(x-2)2=2

解得：，

即，.

考点: 解一元二次方程---配方法.

10. 已知关于的方程有两个不同的实数根,则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A．

【解析】方程有两个不同的实数根,即：,解得：.

故选A．

【考点】根的判别式．

11. 某服装商店用9600元购进了某种时装若干套，第一个月每套按进价增加30%作为售价，售出了100套，第二个月换季降价处理，每套比进价低10元销售，售完了余下的时装，结果在买卖这种服装的过程中共盈利2200元，求每套时装的进价．

【答案】80元.

【解析】设每套时装的进价为x元，第一个月每套的售价为（1+30%）x元，第二个月的售价为（x-10）元，由售价-进价=利润建立方程求出其解即可．

试题解析：设每套时装的进价为x元，第一个月每套的售价为（1+30%）x元，第二个月的售价为（x-10）元，由题意，得

100（1+30%）x+（x-10）（−100）-9600=2200，

解得：x1=80，x2=-40，

经检验，x1=80，x2=-40，都是原方程的根，但x=-40不符合题意，舍去．

∴x=80．

答：每套时装的进价为80元．

考点: 一元二次方程的应用．

12. 一元二次方程的根是（ ）．

A． B． C． D．

【答案】D.

【解析】将常数项移到方程右边，直接开平方求得方程的解.

∵ ∴ ∴

故选D.

考点:一元二次方程的解法—直接开平方法.

13. 解方程：.

【答案】.

【解析】直接应用公式法解一元二次方程.

试题解析：，

∴.

∴原方程的解为.

【考点】解一元二次方程.

14. 已知关于x的方程的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】A.

【解析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．