数学人教版八年级上册公式法

－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；

3．因式分解与整式乘法有着怎样的关系？ 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，把整式 乘法的平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 的等号两 边互换位置，就得到 a2 b2 (a b)(a b) ．
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）
；
（4） 方法：1
1．利用平方差公式分解因式：
y( x 4) 3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止．
（1）
；
2
（1）
；
a4 16
y(x 2)(x 2) ； (a 16) （1）
（2）
2．以前我们学习过的哪个公式符合这个特点？
4
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何数、单项式或多项式．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ；
（2）a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解： （1）x4 y4x2 y2 )
（2）a3b ab ab(a2 1) ab(a 1)(a 1)．
(x2 y2 )(x y)(x y) ；
课堂练习
2．分解因式.
（1）a2 1 b2 ；（2）(2x y)2 (x 2 y)2 ； 25
1．判断下列分解因式是否正确，并说明理由．
（1）
；
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.

14.3.2　公式法一、能力提升1.下列因式分解正确的是( )A.a 2-b 2=(a-b )2B.x 2+4y 2=(x+2y )2C.2-8a 2=2(1+2a )(1-2a )D.x 2-4y 2=(x+4y )(x-4y )2.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m 的值为( )A.-5B.3C.7D.7或-13.已知多项式x+81b 4可以分解为(4a 2+9b 2)·(2a+3b )(3b-2a ),则x 为( )A.16a 4B.-16a 4C.4a 2D.-4a 24.将下列多项式分解因式,结果中不含因式x-1的是( )A.x 2-1B.x (x-2)+(2-x )C.x 2-2x+1D.x 2+2x+15.已知x 为任意实数,则多项式x-1-14x 2的值( )A.一定为负数B.不可能为正数C.一定为正数D.可能为正数或负数或零6.如果x+y=1,那么12x 2+xy+12y 2的值是 .7.分解因式:9x 2-y 2-4y-4= .8.分解因式:x (x-1)-3x+4= .9.如图,利用1个a×a 的正方形,1个b×b 的正方形和2个a×b 的长方形可拼成一个正方形,从而可得到因式分解的公式 .10.把下列各式分解因式:(1)a 3b-ab ;(2)x 2-2xy+y 2-9;(3)5mx 2-10mxy+5my 2;(4)(x 2+y 2)2-4x 2y 2.11.利用因式分解计算下列各题:(1)5352×4-4652×4;(2)1022+102×196+982;(3)17.82-2×17.8×7.8+7.82;(4)982+4×98+4.12.现有一种根据自己生日用“因式分解”法产生的密码,既简单又方便记忆.原理是:若某人的生日是8月5日,他选择了多项式x3+x2y,其分解因式的结果是x·x·(x+y),然后将x=8,y=5代入,此时各个因式的值分别是:x=8,x=8,x+y=13,于是就可以把“8813”作为密码.小明选择了多项式x3+2x2y+xy2,他的生日是10月22日,请你写出用上述方法产生的密码.(写出一个即可)二、创新应用★13.阅读下面的解题过程:分解因式:x2-4x-12.解:x2-4x-12=x2-4―-12=x2-4x+4-4-12=(x-2)2-42=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2).请仿照上面的解法把下列各式分解因式:(1)a2+2a-8;(2)y2-y-6.一、能力提升1.C2.D3.B4.D 因为x 2-1=(x+1)·(x-1),x (x-2)+(2-x )=(x-2)(x-1),x 2-2x+1=(x-1)2,x 2+2x+1=(x+1)2.5.B 因为x-1-14x 22-x +1-12≤0,所以x-1-14x 2的值不可能为正数.6.127.(3x+y+2)(3x-y-2)　原式=9x 2-(y 2+4y+4)=9x 2-(y+2)2=(3x+y+2)(3x-y-2).8.(x-2)2　原式=x 2-x-3x+4=x 2-4x+4=(x-2)2.9.a 2+2ab+b 2=(a+b )210.解(1)a 3b-ab=ab (a 2-1)=ab (a+1)(a-1).(2)x 2-2xy+y 2-9=(x 2-2xy+y 2)-9=(x-y )2-32=(x-y+3)(x-y-3).(3)5mx 2-10mxy+5my 2=5m (x 2-2xy+y 2)=5m (x-y )2.(4)(x 2+y 2)2-4x 2y 2=(x 2+y 2+2xy )(x 2+y 2-2xy )=(x+y )2(x-y )2.11.解(1)5352×4-4652×4=4×(5352-4652)=4×(535+465)×(535-465)=4×1000×70=280000.(2)1022+102×196+982=(102+98)2=2002=40000.(3)原式=(17.8-7.8)2=102=100.(4)原式=982+2×98×2+22=(98+2)2=1002=10000.12.解x 3+2x 2y+xy 2=x (x 2+2xy+y 2)=x (x+y )2=x (x+y )(x+y ).当x=10,y=22时,密码为103232或323210或321032.选其一个作答即可.二、创新应用13.解(1)a 2+2a-8=a 2+2―-8=a 2+2a+1-9=(a+1)2-32=(a+1+3)(a+1-3)=(a+4)(a-2).(2)y 2-y-6=y 2―-6=y ―254=y ―=y -12-12=(y+2)(y-3).。

第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。

六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。