高考数学一轮复习用样本估计总体

第2讲 用样本估计总体

[学生用书P188]

1．统计图表

(1)频率分布直方图的画法步骤

①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

②决定组距与组数；

③将数据分组；

④列频率分布表；

⑤画频率分布直方图．

(2)频率分布折线图和总体密度曲线

①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

(3)茎叶图的画法步骤

第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；

第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；

第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．

2．样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．

(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

(3)平均数：把a1＋a2＋…＋ann称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．

(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x－，则这组数据的标准差和方差分别是

s＝ 1n[（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－x－）2]

s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]

3．标准差和方差的异同

相同点：标准差和方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．

不同点：方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，标准差则不然．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )

(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( )

(3)从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( )

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )

(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( )

(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( )

答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×

(2017·高考全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )

A．x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数

解析：选B.标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.

(教材习题改编)某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )

A．a>b>c B.b>c>a

C．c>a>b D．c>b>a

解析：选D.把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b＝15＋152＝15，众数c＝17，则a

某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(

)

A．93 B.123

C．137 D．167

解析：选C.初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.

有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[)11.5，15.5 2 [)15.5，19.5 4 [)19.5，23.5 9

[)23.5，27.5 18 [)27.5，31.5 11 [)31.5，35.5 12

[)35.5，39.5 7 [)39.5，43.5 3

根据样本的频率分布估计，数据落在[)31.5，43.5的概率约是( )

A.16 B.13

C.12 D．23

解析：选B.由条件可知，落在[)31.5，43.5的数据有12＋7＋3＝22()个，

故所求概率约为2266＝13.

某高校从参加今年自主招生考试的1 000名学生中随机抽取100名学生的成绩进行统计，得到如图所示的样本频率分布直方图．若规定60分及以上为合格，则估计这1 000 名学生中合格的人数是(

)

A．600 B.650

C．700 D．750

解析：选C.样本中合格的频率是1－0.1－0.2＝0.7，故估计这1 000名学生中合格的人数是1 000×0.7＝700.故选C.

频率分布直方图(高频考点)

[学生用书P189]

频率分布直方图是高考的热点，选择题、填空题、解答题都有可能出现．难度一般较小．主要命题角度有：

(1)利用频率分布直方图求频率或频数；

(2)利用频率分布直方图求数字特征；

(3)利用频率分布直方图估计概率． [典例引领]

角度一 利用频率分布直方图求频率或频数

(2017·高考北京卷)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；

(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

【解】 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为

(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.

所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×5100＝20.

(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为

(0.02＋0.04)×10×100＝60，

所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30.

所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.

角度二 利用频率分布直方图求数字特征

(2018·武汉调考)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理制度，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了某年100位居民的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5]，(0.5，1]，…，(4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；

(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值；

(3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨．当x＝3时，估计该市居民的月平均水费．(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)

【解】 (1)由(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.

(2)因为前6组的频率之和是(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85，

前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85，

所以2.5

由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.

(3)设该市居民月均用水量为t吨，相应的水费为y元，

则y＝4t，0≤t≤3，3×4＋（t－3）×8，3

即y＝4t，0≤t≤3，8t－12，3

由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：

组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

分组 [0，2] (2，4]

(4，6] (6，8] (8，10] (10，12] (12，16] (16，20] (20，24]

频率 0.04 0.08 0.15 0.20 0.26 0.15 0.06 0.04 0.02

根据题意，估计该市居民的月平均水费为

1×0.04＋3×0.08＋5×0.15＋7×0.20＋9×0.26＋11×0.15＋14×0.06＋18×0.04＋22×0.02＝8.42(元)．

角度三 利用频率分布直方图估计概率 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评

分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]

频数 2 8 14 10

6

(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分

满意度等级 不满意 满意 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．

【解】 (1)如图所示．