高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式2.2建立概率模型学案含解析北师大版必修3

2 古典概型

2．1 古典概型的特征和概率计算公式 2．2 建立概率模型

考 纲 定 位 重 难

突 破

1.通过实例理解古典概型的两个特征及古典概型的定义.

2.掌握古典概型的概率计算公式.

3.理解概率模型的特点及应用. 重点：古典概型的概念及其概率公式的应用条件.

难点：古典概型的概率的计算.

授课提示：对应学生用书第43页

[自主梳理]

1．古典概型

2．古典概型的概率计算公式

对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝事件A包含的所有可能结果数试验的所有可能结果数＝mn.

3．建立古典概率模型的要求

(1)在建立概率模型时，如果每次试验有且只有一个基本事件出现．

(2)基本事件的个数是有限的．

(3)并且它们的发生是等可能的．

满足上述三个条件的概率模型就是一个古典概型．

4．古典概率模型的解决方案

从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．

[双基自测]

1．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，下列事件不是基本事件的是( )

A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球}

C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}

解析：至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球．

答案：D

2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的基本事件的个数共有( )

A．7个 B．8个

C．9个 D．10个

解析：符合要求的基本事件是(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)． 答案：C

3．下列概率模型：

①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；

②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；

③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；

④一只使用中的灯泡的寿命长短；

⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．

其中属于古典概型的是________．

解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．

答案：③

授课提示：对应学生用书第44页

探究一 基本事件的计数问题

[典例1] 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“出现点数之和大于8”包含的基本事件．

[解析] (1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．

(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．

基本事件的两个探求方法：

(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地看出基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．

(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．

1．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面：

(1)写出这个试验的所有基本事件；

(2)求这个试验的基本事件的总数；

(3)记A＝“恰有两枚正面向上”这一事件，则事件A包含哪几个基本事件？

解析：(1)作树状图如图．

故所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．

(2)基本事件的总数是8.

(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

探究二 古典概型概率问题的求法

[典例2] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：

(1)事件A：取出的两球都是白球；

(2)事件B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．

[解析] 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种．

(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两个的取法总数，共有6种，为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．

所以取出的两球都是白球的概率为P(A)＝615＝25.

(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)共8种．

所以取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝815.

求古典概型概率的计算步骤：

(1)求出基本事件的总个数n.

(2)求出事件A包含的基本事件的个数m.

(3)求出事件A的概率

P(A)＝事件A所包含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn.

2．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．

(1)从中取出1只，然后放回，再取出1只，求连续2只取出的都是正品的概率；

(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．

解析：(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2，1只次品记为b1，画出树状图如图．

基本事件总数为9，连续2次取得正品的基本事件数是4， 所以其概率是P＝49.

(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1(a1a2表示一次取出正品a1，a2)，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以其概率是P＝13.

探究三 与古典概型有关的综合问题

[典例3] 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

[解析] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

当a≥0，b≥0时，

方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的条件为a≥b.

基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件，为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，故事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.

(1)注意放回与不放回的区别．

(2)在古典概型下，当基本事件总数为n时，每个基本事件发生的概率均为1n，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A所包含的基本事件数m，再由古典概型概率公式P(A)＝mn求事件A的概率．

3．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

得分 15 35 21 28 25 36 18 34

运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16

得分 17 26 25 33 22 12 31 38

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间 10～20 20～30 30～40

人数

(2)从得分在20～30内的运动员中随机抽取2人，

①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；

②求这2人得分之和大于50的概率．

解析：(1)由得分记录表，从左到右应填4，6，6.

(2)①得分在20～30内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A10)，(A3，A11)，(A3，A13)，(A4，A5)，(A4，A10)，(A4，A11)，(A4，A13)，(A5，A10)，(A5，A11)，(A5，A13)，(A10，A11)，(A10，A13)，(A11，A13)，共15种．

②从得分在20～30内的运动员中随机抽取2人，将“这2人得分之和大于50”记为事件B，则事件B的所有可能结果有：(A4，A5)，(A4，A10)，(A4，A11)，(A5，A10)，(A10，A11)，共5种，所以P(B)＝515＝13.

树形图的应用

[典例] 某盒子中有红、黄、蓝、黑色彩笔各1支，这4支笔除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从盒中抽出1支，求基本事件总数．

[解析] 把这4支笔分别编号为1，2，3，4，则4个人按顺序依次从盒中抽取1支彩笔的所有可能结果用树状图直观地表示如图所示．

由树状图知共有24个基本事件．

[感悟提高] 利用树形图(表格)寻找基本事件的个数形象直观且不易出错.

[随堂训练] 对应学生用书第45页

1．下列有关古典概型的四种说法：

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②每个事件出现的可能性相等；

③每个基本事件出现的可能性相等；

④已知基本事件总数为n，若随机事件A包含k个基本事件，则事件A发生的概率P(A)＝kn.

其中所有正确说法的序号是( )

A．①②④ B．①③

C．③④ D．①③④