2014.1参考答案

高二数学 第 1 页 共 5 页 M2013～2014学年第一学期期末试卷

高二数学参考答案与评分标准

2014.1

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．45 2．1x 3．3 4．cossinxxx 5． 5

6．1(ln,)2 7．3 8．（1，11） 9．②③④ 10．2213628yx

11．6 12．15 13．95 14． 4

二、解答题：本大题共6小题，计90分．

15．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）由题意得圆心(2,2)C， ……………… 2分

半径10RAC， ……………… 4分

所以圆C的方程为22(2)(2)10xy． ……………… 6分

（Ⅱ）显然直线l不可能垂直x轴，设直线l的方程为(2)ykx，

因为直线l与圆C有且只有一个公共点，

所以圆心到直线的距离2|222|101kkdk， ……………… 9分

解得3k或13k． ……………… 12分

所以直线l的方程为360xy或320xy． ……………… 14分

16．(本小题满分14分)

证明：（Ⅰ）∵ABC为直角，即ABBC，

又PABC，PAABA，

∴BC 平面PAB． ……………… 3分

∵AD平面PAB，∴AD BC．……………… 4分

∵PA  AB，点D为PB中点，

∴AD PB． ……………… 5分

又∵PBBCB，∴AD平面PBC．……… 7分

（Ⅱ）取BE中点M，连DM，AM，

∵点D为PB中点，∴DM∥PE ， 又∵DM平面PEF，PE平面PEF，

∴DM∥平面PEF． ……………… 9分

又12AFMEFCEC， ∴AM∥FE ，又∵AM平面PEF，FE平面PEF，

∴AM∥平面PEF． ……………… 11分 高二数学 第 2 页 共 5 页 又∵DMAMM，DM，AM平面DAM，∴平面DAM∥平面PEF． ……… 13分

∵AD平面DAM，∴AD∥平面PEF． ……………… 14分

17．(本小题满分14分)

解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，

则由题意可得rhxah， ……………… 2分

∴()ahrharhxaa．

∴圆柱体积为V（r）22()(0)arhrxrraa． ……………… 5分

即23()()hVrarra，∴2()(23)hVrarra，

由()0Vr得23ra， ……………… 7分

列表如下：

r 203a(,) 23a 2(,)3aa

()Vr + 0 －

()Vr

极大值

……………… 10分

∴圆柱的最大体积为224()327aVha． ……………… 12分

此时23ra，13xh．

答：圆柱的最大体积为2427ha，此时底面半径为23a，高为13h． ……………… 14分

18．(本小题满分16分)

证明：（Ⅰ）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系，设AD长度为1，

则可得(0,0)A，(0,1)D，(1,0)E，(2,0)F，(3,1)C ． …………………2分

所以直线AC方程为13yx，①

直线DF方程为112yx，②

………………… 4分

由①②解得交点62(,)55G ．

………………… 6分

∴EG斜率2EGk，又DF斜率12DFk，

∴1EGDFkk，即有EGDF． ………………… 8分

（Ⅱ）设点11(,)Exy，则EE中点M111(,)22xy，

由题意得 111111,23211,13yxyx ………………… 11分 高二数学 第 3 页 共 5 页 P yxNMBAO解得43(,)55E． ………………… 14分

∵314()1525，

∴点E在直线DF上． ………………… 16分

19．(本小题满分16分)

解：（Ⅰ）由题意得22222111,,6,3ababccea ………………… 2分

解得2244,3ab． ………………… 4分

∴椭圆C的方程为223144xy． ………………… 5分

（Ⅱ）如图，B点坐标为(1,1)，假设存在这样的点P 00(,)xy，

则直线AP的方程为0011(1)1yyxx，

直线BP的方程为0011(1)1yyxx．

令3x，得000431Myxyx，000231Nyxyx．

所以PMN的面积PMNS2000020||(3)1||(3)2|1|MNxyxyyxx．……………… 9分

又22AB，直线AB方程为0xy，

故点P到直线AB的距离为00||2xyd，

所以PAB的面积PABS001||2ABdxy． ………………… 12分

当PMNS=PABS时，得200020||(3)|1|xyxx00||xy，

∵00||0xy，∴2200(3)|1|xx， ………………… 14分

解得053x，从而0339y，

故存在点P使得PAB和PMN的面积相等，点P坐标为533(,)39． …… 16分

20．(本小题满分16分)

解：（Ⅰ）由题意知0x，()1afxx，

若0a≤，则()0fx恒成立，所以()fx在(0,)上单调递增，不存在极值． …… 1分

若0a，则由()0fx得xa，且当(0,)xa时，()0fx；当(,)xa时，()0fx， 高二数学 第 4 页 共 5 页 即有()fx在(0,)a上单调递减，在(,)a上单调递增；

故当xa时有极小值()1lnfaaaa． ………………… 4分

（Ⅱ）当a0时，由（Ⅰ）知函数()fx在(0,1]上单调递增，

又函数1yx在(0,1]上单调递减，

不妨设1201xx≤，则12()()fxfx，1211xx，

∴1221|()()|()()fxfxfxfx=，12121111||xxxx，

所以不等式121211|()()|4||fxfxxx等价于21()()fxfx1244xx，………………… 8分

即212144()()fxfxxx．

设44()()1lngxfxxaxxx，

则“121211|()()|4||fxfxxx对任意12,(0,1]xx且12xx恒成立”等价于“函数()gx在区间(0,1]上是减函数” ． ………………… 11分

∵22244()1axaxgxxxx，

∴240xax≤在(0,1]x时恒成立，

即4axx≥在(0,1]x上恒成立，所以a不小于函数4yxx=在(0,1]x上的最大值．

∵2410yx=在(0,1]上恒成立，

∴函数4yxx=在(0,1]上是增函数，∴当1x时，有max4()3xx． ……………… 14分

∴3a≥．

又a0，所以[3,0)a． ………………… 16分

数学附加题部分

【必做题】第21题、第22题、第23题、第24题，每题10分，共计40分．

21.（本小题满分10分）

解：∵6cos3yx， ………………… 3分

∴当4x时，32y， ………………… 5分

又当4x时，2y， 切点为(,2)4， ………………… 7分

∴所求切线方程为232()4yx，即323224yx． ……… 10分

22.（本小题满分10分） 高二数学 第 5 页 共 5 页 解：设(,)Pxy，由224PAPB得2222(1)(1)4xyxy， ………………… 2分

即20xy． ………………… 4分

由2220,4xyxy得0,2xy或2,0xy． ………………… 8分

∴所求点P的坐标为(0,2)和(2,0)． ………………… 10分