拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω

是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；

右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt

其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。

拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。

FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换 ，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换 中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。 拉普拉斯变换 主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。 Fourier变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。

常用拉普拉斯变换及反变换

在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使一些复杂的微分方程和积分方程的求解变得更加简单。接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。

拉普拉斯变换的定义是对于一个实值函数 ＼（f(t)＼） ，其拉普拉斯变换 ＼（F(s)＼） 定义为：

＼

F(s) ＝ ＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt

＼

其中 ＼（s ＝ ＼sigma ＋ j\omega\） 是一个复变量，＼（＼sigma\）

是实部，＼（＼omega\） 是虚部，＼（j\） 是虚数单位。

下面我们来看一些常见函数的拉普拉斯变换：

单位阶跃函数 ＼（u(t)＼） ，当 ＼（t ＜ 0\） 时，＼（u(t) ＝ 0\） ；当 ＼（t ＼geq 0\） 时，＼（u(t) ＝ 1\） 。它的拉普拉斯变换为：

＼

＼mathcal{L}u(t) ＝ ＼frac{1}｛s}

＼ 指数函数 ＼（e^｛at}＼） ，其拉普拉斯变换为：

＼

＼mathcal{L}e^｛at} ＝ ＼frac{1}｛s a}

＼

正弦函数 ＼（sin(＼omega t)＼） 的拉普拉斯变换为：

＼

＼mathcal{L}sin(＼omega t) ＝ ＼frac{＼omega}｛s^2 ＋ ＼omega^2}

＼

余弦函数 ＼（cos(＼omega t)＼） 的拉普拉斯变换为：

＼

＼mathcal{L}cos(＼omega t) ＝ ＼frac{s}｛s^2 ＋ ＼omega^2}

＼

这些常见函数的拉普拉斯变换在解决实际问题中经常会用到。

那么，拉普拉斯反变换又是什么呢？拉普拉斯反变换就是将复频域中的函数 ＼（F(s)＼） 转换回时域中的函数 ＼（f(t)＼） 。

拉普拉斯反变换的计算通常比较复杂，但是对于一些常见的形式，我们可以通过一些方法来求解。 例如，对于形如 ＼（F(s) ＝ ＼frac{A}｛s a}＼） 的函数，其反变换为 ＼（f(t) ＝ Ae^｛at}＼） 。

拉普拉斯变换

一． 拉普拉斯变换的定义

设f（t）是变量t的函数，定义：

F(s)=0)(dtetfst 为f ( t )的拉普拉斯变换。记为£[f(t)]=F(s).

ｆ(t)=jjstdtesFj)(21 称逆拉普拉斯变换，记为 f（t）=£-1[F(s)]。

二． 一些常用函数的拉普拉斯变换

1． 阶跃函数 1（t）

1

£[f (t)]=0)(etf-stdt

=01e-stdt=–sest0=s1 0 t

2.指数函数 e - at

£[ate]=0dteestat=as1

3.冲击函数 (t)

£[(t)]=0)(dtetst=1

三． 拉普拉斯变换的性质

1． 线性(叠加)

f1(t) F1(s) f2(t) F2(s) K1，K2是常数，

则K1f1(t) +K2f2(t) K1F1(s) +K2F2(s)

例。F(t)=sinwt ,求拉式变换：

∵sinwt=jeejwtjwt2

jwte jws1 , jwte jws1

 sinwt 22wsw

2． 原函数微分

f(t) F(s)

则dttdf)( sF(s) –f(0)

nndttfd)( )0()()(101rnrrnnfssFs

式中)0()(rf表示)()(tfr在0处的值。

3． 原函数的积分

f(t)

F(s)

则

tdxxf)( sfssF)0()()1(

拉普拉斯变换

1、基本定义：

dtetxsXst)()(

2、收敛域：

（1）右边信号：0)(0txtt时，极点右侧

（2）左边信号：0)(0txtt时，极点左侧

（3）双边信号：占有整个时间域的信号带状区域

（4）时限信号：有限长信号，只在某一个时间区间不等于0，在其他所有时间内全为

0整个s区域（意味着变换式中没有极点）

3、常见信号的拉式变换：

序号 信号 变换 ROC

1 )(t 1 全部s

2 )(tu s1 0se

3 )(tu s1 0se

4 )()!1(1tuntn ns1 0se

5 )()!1(1tuntn ns1 0se

6 )(tueat as1 ase}{

7 )(tueat as1 ase}{

8 )()!1(1tuentatn nas)(1 ase}{

9 )()!1(1tuentatn nas)(1 ase}{

10 )(Tt sTe 全部s

11 )(][cos0tut 202ss 0se

12 )(][sin0tut 2020s 0se

13 )(]cos[0tuteat 202)(asas ase}{

14 )(]sin[0tuteat 2020)(as ase}{ 15 nnndttdtu)()( ns 全部s

16 次nntututu)()()(

ns1 0se

4、拉式变换的主要性质：

)()()()()()(2211sXtxsXtxsXtxLLL ROC: