高考数学知识点大全

高考数学知识点大全

一、集合与常用逻辑用语。

1. 集合。

- 集合的概念：元素与集合的关系（属于、不属于），集合的表示方法（列举法、描述法、韦恩图）。

- 集合间的关系：子集、真子集、相等集合的定义与判断。

- 集合的运算：交集、并集、补集的定义、性质及运算规律。例如：A∩

B={xx∈ A且x∈ B}，A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。

2. 常用逻辑用语。

- 命题：命题的概念，真命题、假命题的判断。

- 四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的相互关系，互为逆否命题的真假性相同。

- 充分条件与必要条件：若pRightarrow q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pLeftrightarrow q，则p是q的充分必要条件。

- 逻辑联结词：“且”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）的含义及命题真假的判断。例如：p∧ q为真当且仅当p，q都为真；p∨ q为真当且仅当p，q至少一个为真；¬ p与p真假相反。

二、函数。

1. 函数的概念。

- 函数的定义：设A,B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y = f(x)和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数。 - 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。求函数定义域的常见情况，如分式分母不为零，偶次根式被开方数非负等。

- 函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。

2. 函数的基本性质。

- 单调性：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x_1,x_2，当x_1 < x_2时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。判断函数单调性的方法有定义法、导数法等。

- 奇偶性：对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)（偶函数）或f(-x)= - f(x)（奇函数）。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

- 周期性：对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x + T)=f(x)都成立，那么就把函数y = f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的周期。

3. 基本初等函数。

- 一次函数y = kx + b(k≠0)：图象是一条直线，k为斜率，b为截距。

- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)：图象是抛物线，对称轴为x =-(b)/(2a)，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})，根据a的正负判断开口方向。

- 幂函数y = x^α(α∈ R)：常见幂函数如y = x,y = x^2,y = x^3,y=(1)/(x),y =

x^(1)/(2)等的图象与性质。

- 指数函数y = a^x(a>0,a≠1)：图象恒过点(0,1)，当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减。 - 对数函数y=log_ax(a > 0,a≠1)：图象恒过点(1,0)，当a > 1时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0 < a < 1时，函数在(0,+∞)上单调递减。并且y = a^x与y=log_ax互为反函数。

4. 函数的图象变换。

- 平移变换：y = f(x)的图象向左（h>0）或向右（h < 0）平移| h|个单位得到y

= f(x + h)的图象；向上（k>0）或向下（k < 0）平移| k|个单位得到y = f(x)+k的图象。

- 伸缩变换：y = f(x)的图象纵坐标不变，横坐标伸长（0 1）为原来的(1)/(ω)倍得到y = f(ω x)的图象；横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0 < A < 1）为原来的A倍得到y = Af(x)的图象。

- 对称变换：y = f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；y = f(x)与y = f(-x)的图象关于y轴对称；y = f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。

三、导数及其应用。

1. 导数的概念。

- 平均变化率：函数y = f(x)从x_1到x_2的平均变化率为(f(x_2)-f(x_1))/(x_2 -

x_1)。

- 导数的定义：函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)=limlimits_Δ

x→0(f(x_0+Δ x)-f(x_0))/(Δ x)，导数f^′(x)表示函数y = f(x)在点x处的瞬时变化率。

- 导数的几何意义：函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)就是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。

2. 导数的运算。

- 基本函数的导数公式：(C)^′=0（C为常数），(x^n)^′=nx^n - 1，(sin x)^′=cos

x，(cos x)^′=-sin x，(a^x)^′=a^xln a，(log_ax)^′=(1)/(xln a)等。 - 导数的四则运算法则：(u± v)^′=u^′± v^′，(uv)^′=u^′v + uv^′，((u)/(v))^′=frac{u^′v - uv^′}{v^2}(v≠0)。

3. 导数的应用。

- 函数的单调性：设函数y = f(x)在区间(a,b)内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在区间(a,b)内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在区间(a,b)内单调递减。

- 函数的极值：设函数y = f(x)在点x_0处可导，且在x_0处取得极值，那么f^′(x_0)=0。通过判断f^′(x)在x_0两侧的符号来确定是极大值还是极小值。

- 函数的最值：求函数y = f(x)在闭区间[a,b]上的最值，先求出函数在(a,b)内的极值，再比较极值与端点值f(a)、f(b)的大小。

四、三角函数。

1. 任意角和弧度制。

- 任意角：正角、负角、零角的概念，象限角的定义，终边相同的角的表示（β=α + k·360^∘,k∈ Z）。

- 弧度制：1弧度的定义，弧度与角度的换算公式180^∘=π弧度，弧长公式l

= rθ（r为半径，θ为圆心角弧度数），扇形面积公式S=(1)/(2)lr=(1)/(2)r^2θ。

2. 三角函数的概念。

- 三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sinα=y，cosα=x，tanα=(y)/(x)(x≠0)。

- 三角函数值在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

3. 同角三角函数的基本关系。

- 平方关系：sin^2α+cos^2α = 1。 - 商数关系：tanα=(sinα)/(cosα)(cosα≠0)。

4. 三角函数的诱导公式。

- 诱导公式一：sin(α + 2kπ)=sinα，cos(α + 2kπ)=cosα，tan(α + 2kπ)=tanα(k∈

Z)。

- 诱导公式二：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα。

- 诱导公式三：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。

- 诱导公式四：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα。

- 诱导公式五：sin((π)/(2)-α)=cosα，cos((π)/(2)-α)=sinα。

- 诱导公式六：sin((π)/(2)+α)=cosα，cos((π)/(2)+α)=-sinα。

5. 三角函数的图象与性质。

- 正弦函数y = sin x：图象是正弦曲线，定义域为R，值域为[- 1,1]，周期为2π，对称轴为x = kπ+(π)/(2)(k∈ Z)，对称中心为(kπ,0)(k∈ Z)，在[-(π)/(2)+2kπ,(π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递增，在[(π)/(2)+2kπ,(3π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递减。

- 余弦函数y=cos x：图象是余弦曲线，定义域为R，值域为[-1,1]，周期为2π，对称轴为x = kπ(k∈ Z)，对称中心为(kπ+(π)/(2),0)(k∈ Z)，在[2kπ-π,2kπ](k∈ Z)上单调递增，在[2kπ,2kπ+π](k∈ Z)上单调递减。

- 正切函数y=tan x：图象是正切曲线，定义域为{xx≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z}，值域为R，周期为π，在(-(π)/(2)+kπ,(π)/(2)+kπ)(k∈ Z)上单调递增。

6. 函数y = Asin(ω x+φ)的图象与性质。

- 图象的平移变换：y = sin x的图象向左（φ>0）或向右（φ < 0）平移|φ|个单位得到y=sin(x+φ)的图象，再将横坐标伸长（0 1）为原来的(1)/(ω)倍得到y=sin(ω x+φ)的图象，最后将纵坐标伸长（A > 1）或缩短（0 < A < 1）为原来的A倍得到y = Asin(ω x+φ)的图象。

- 性质：A表示振幅，ω决定周期T=(2π)/(ω)，φ表示初相。

五、平面向量。

1. 向量的概念与线性运算。

- 向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的模，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量的概念。

- 向量的加法：三角形法则和平行四边形法则，→a+→b=→b+→a，(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。

- 向量的减法：→a-→b=→a+(-→b)。

- 向量的数乘：λ→a（λ是实数），|λ→a|=|λ||→a|，当λ>0时，λ→a与→a方向相同；当λ < 0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。

2. 向量的基本定理及坐标表示。

- 平面向量基本定理：如果→e_1,→e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量→a，有且只有一对实数\(\lambda_1,\lambda_