2014年浙江省高考数学试卷(理科)(含解析版)
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2014 年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）
．（ 分）设全集
U={ x∈N| x≥2} ，集合 A={ x∈ N| x 2≥5} ，则?U （ ）
1 5 A=
A．? B．{ 2} C．{ 5} D．{ 2，5}
2．（5 分）已知 i 是虚数单位， a，b∈R，则 “ a=b=1是”“（ a+bi）2=2i ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5 分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是 （ ）
A．90cm2 B．129cm2 C．132cm2 D．138cm2
4．（5 分）为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象，可以将函数 y= cos3x 的图象
（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
．（ 分）在（ ）6（1+y）4 的展开式中，记 xm n 项的系数为 f（ m，n），则 f
5 5 1+x y
（3，0）+f（ 2， 1） +f（1，2）+f（0，3）=（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
6．（5 分）已知函数 f（ x）=x3+ax2+bx+c．且 0＜f（﹣ 1）=f（﹣ 2）=f（﹣ 3）≤3，
则（ ）
A．c≤3 B．3＜c≤ 6 C．6＜c≤9 D．c＞9
7．（5 分）在同一直角坐标系中，函数 f（x）=xa（ x＞ 0），g（x）=logax 的图象可
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能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（5 分）记 max{ x，y} = ，min{ x，y} = ，设 ， 为平面向
量，则（ ）
A．min{| + |，| ﹣ |} ≤min{| | ，| |}
B．min{| + |，| ﹣ |} ≥min{| | ，| |}
．
+ | 2，| ﹣ |2}≤| |2+| |2
C max{|
．
+ | 2， | ﹣ |2}≥| |2+| |2
D max{|
9．（ 5 分）已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球（ m
≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取 i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（ a）放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi（i=1，2）；
（ b）放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi（i=1，2）．
则（）
A．p1＞ p2，E（ξ1）＜ E（ξ2） B．p1＜ p2 ，E（ξ1）＞ E（ ξ2）
． 1＞p2，E（ξ1）＞ E（ξ2） D．p1＜p2，E（ξ1）＜ E（ ξ2）
C p
10．（5 分）设函数 f1（x）=x2，f2（ x）=2（ x﹣ x2）， ， ，
， ， ， ， ．记 k
=| f k（a1）﹣ fk（a0）|+| f k（a2）﹣ fk（a1）丨 + +| fk
i=0 1 2 99 I
（a99）﹣ fk（ a98）| ，k=1， 2， 3，则（ ）
A．I1 ＜I2＜I3 ． 2＜I1＜I3 ． 1＜I3＜I2 ． 3＜I2＜I1
B I C I D I
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二、填空题
11．（ 4 分）在某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运算后输出的结果
是 ．
12．（ 4 分）随机变量 ξ的取值为 0，1，2，若 P（ ξ =0） = ， E（ξ）=1，则 D（ ξ）
= ．
13．（4 分）当实数 x，y 满足 时，1≤ax+y≤ 4 恒成立，则实数 a 的取
值范围是 ．
14．（ 4 分）在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这 8 张
奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）．
15．（ 4 分）设函数 f（x）= ，若 f（f（ a））≤ 2，则实数 a 的取值
范围是 ．
16．（ 4 分）设直线 x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线 =1（a＞0，b＞0）的两
条渐近线分别交于点 A，B．若点 P（ m，0）满足 | PA| =| PB| ，则该双曲线的
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离心率是 ．
17．（4 分）如图，某人在垂直于水平地面 ABC的墙面前的点 A 处进行射击训练．已
知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ的大小．若 AB=15m，
AC=25m，∠ BCM=30°，则 tan θ的最大值是 ．（仰角 θ为直线 AP 与平
面 ABC所成角）
三、解答题
18．（ 14 分）在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a≠b，
c= ，cos2A﹣cos2 B= sinAcosA﹣ sinBcosB
（ 1）求角 C 的大小；
（ 2）若 sinA= ，求△ ABC的面积．
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．（ 分）已知数列
{ an } 和{ b } 满足 a a （
n ∈
N * ）．若 { a } 为等
19 14 n 1a2a3n= n
比数列，且 a1=2， b3=6+b2 ．
（Ⅰ）求 an 和 bn；
（Ⅱ）设 c （ ∈
N * ）．记数列 { c } 的前 n 项和为 S ．
n= n n n
（ i）求 Sn；
（ ii）求正整数 k，使得对任意 n∈N* 均有 Sk≥ Sn．
20（．15 分）如图，在四棱锥 A﹣BCDE中，平面 ABC⊥平面 BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．
（Ⅰ）证明： DE⊥平面 ACD；
（Ⅱ）求二面角 B﹣AD﹣ E 的大小．
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21．（ 15 分）如图，设椭圆 C： （a＞b＞0），动直线 l 与椭圆 C 只有一
个公共点 P，且点 P 在第一象限．
（Ⅰ）已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k 表示点 P 的坐标；
（Ⅱ）若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ﹣b．
22．（ 14 分）已知函数 f （x）=x3+3| x﹣ a| （a∈R）．
（Ⅰ）若 f（x）在 [ ﹣ 1，1] 上的最大值和最小值分别记为 M（a），m（a），求 M
（a）﹣ m（a）；
（Ⅱ）设 b∈R，若 [ f（x）+b] 2≤4 对 x∈[ ﹣1，1] 恒成立，求 3a+b 的取值范围．
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2014 年浙江省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）
1．（5 分）设全集 U={ x∈N| x≥2} ，集合 A={ x∈ N| x2≥ 5} ，则 ?UA=（ ）
A．? B．{ 2} C．{ 5} D．{ 2，5}
【考点】 1F：补集及其运算．
【专题】 5J：集合．
【分析】 先化简集合 A，结合全集，求得 ?UA．
【解答】 解：∵全集 U={ x∈N| x≥2} ，集合 A={ x∈N| x2≥5} ={ x∈ N| x≥3} ，
则 ?UA={ 2} ，
故选： B．
【点评】 本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．
2．（5 分）已知 i 是虚数单位， a，b∈R，则 “ a=b=1是”“（ a+bi）2=2i ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件； A1：虚数单位 i、复数．
【专题】 5L：简易逻辑．
【分析】 利用复数的运算性质，分别判断 “a=b=1?”“（ a+bi ） 2
=2i ”与 “ ”
a=b=1?
“（a+bi）2=2i ”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【解答】 解：当 “a=b=1时”， “（a+bi）2=（1+i）2=2i ”成立，故 “a=b=1是”“（a+bi） 2=2i ”的充分条件；
当 “（a+bi）2 =a2﹣ b2+2abi=2i 时”， “a=b=1或”“a=b=﹣
1”，故 “a=b=1是”“（a+bi） 2=2i ”的不必要条件；
综上所述， “a=b=1是”“（a+bi）2=2i ”的充分不必要条件；
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