第4讲 比
（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）
一、思维导图
二、知识点梳理
知识点一：比的意义和各个部分的名称
1、比：两个数相除也叫两个数的比；
2、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。
3、比的读法、写法：a比b记作a:b，读作a比b。
4、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。
例：12∶20= ＝12÷20= =0.6 12∶20读作：12比20
知识点二：比的基本性质和化简比
1、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
2、化简比
化简之后结果还是一个比，不是一个数。
（1）用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
（2）两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。
（3）两个小数的比，可以先把小数比化成整数比，再按整数比的化简方法化简。 知识点三：比的应用
按比例分配问题的解决方法：
1、已知单位“1”的量用乘法。
2、未知单位“1”的量用除法。
3、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）
（1）甲是乙的几分之几？
甲＝乙×几分之几 乙＝甲÷几分之几 几分之几＝甲÷乙
（2）甲比乙多（少）几分之几？
4、画线段图：
（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。
（2）分析数量关系。（3）找等量关系。（4）列方程。
两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。
三、例题精讲
考点一：比的意义、比各部分的名称
【典型一】一根绳子，用去，用去的和剩下的比是 3：2
，剩下的是总长度的。
【分析】把一根绳子总长度看作5份，用去，也就是用去5×＝3份。据此可求出用去的和剩下的比，再用除法求出剩下的是总长度的几分之几。
【解答】解：5×＝3（份）
人教版
六年级上册数学
全册思维导图
3、分数除法 4、比
7、扇形统计图
9、总复习 5、圆
8、数学广角——数与形 6、百分数（一） 1、分数乘法 2、位置与方向（二） 第
一
单
元
分
数
乘
法 分数乘整数
1、 分数乘整数的意义：表示几个相同分数的和
2、 计算方法（1、先计算再约分；2、先约分再计算）
分数乘分数 1、 分数乘分数的意义：求这个数的几分之几是多少
2、 计算方法（1、先计算再约分；2、先约分再计算）
3、 分数乘分数的应用
分数乘小数 1、 分数化小数
2、 小数化分数
分数混合运算 1、 没有括号的先算乘法，再算加减法
2、 有括号的先算括号里面的，再算括号外面的
分数运算定律 整数乘法中的交换律、结合律、分配律在分数运算中同样适用，可以使计算简便
解决问题 1、 求一个数的几分之几是多少
2、 求比一个数多（或少）几分之几的数是多少
（1） 单位“1”的量×【1±这个数量比单位“1”的量多（或少）的几分之几】=这个数量
（2） 单位“1”的量±单位“1”的量×这个数比单位“1”的量多（或少）的几分之几=这个数量
第5讲 圆
（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）
一、思维导图
二、知识点梳理
知识点一：圆的认识
1.圆心、半径、直径
用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。
在任意一个圆中都可以画出无数条半径和无数条直径。
2.同圆或等圆中半径、之间的关系
在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，直径是半径的2倍；
圆心相同，半径不同的圆叫做同心圆； 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。
3.用圆规画圆
用圆规画圆的方法：先定好两脚之间的距离，再把带有针尖的脚固定在一点上，最后把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。
知识点二：圆的周长
1.意义：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，周长一般用字母C来表示。
2.测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。
3.圆周率：圆的周长总是它的直径的3倍多一些，这个固定的比值叫做圆周率，用字母Π来表示，Π是一个无线不循环小数。
C=Πd或2Πr。
已知圆的半径，求周长时，用C=2Πr进行计算；
已知圆的直径，求周长时，用C=Πd进行计算。
知识点三：圆的面积
1.意义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，圆的面积一般用S表示。
2.已知圆的半径为r，S=Πr2
已知直径或周长求面积时，都要先求出半径，再求出面积。
3.圆环：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。
S=ΠR2-Πr2
3.圆与正方形组合的面积问题的应用
（1）“外方内圆” 图形中，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。
（2）“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。
知识点四：扇形
1.意义：圆上两点之间的部分叫做弧；
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
河北小学六年级上册数学思维导图
第一单元 圆和扇形（重点）
一、圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、圆的特征：外形美观，易滚动。
3、圆心o：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示。圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。 半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d÷2（重点）
4、等圆：半径相等的圆叫做等圆，等圆通过平移可以完全重合。
同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角
有二条对称轴的图形：长方形
有三条对称轴的图形：等边三角形
有四条对称轴的图形：正方形
有无数条对称轴的图形：圆，圆环
6、画圆（重点）
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。 （2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。
二、扇形
扇形是由两条半径和圆上的一段曲线围成的。扇形都有一个角，角的顶点在圆心。
第二单元 比和比例（重点）
一、比
1、比表示两个数相除。两个数相除的结果叫做比值。
2、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。
注：连比如：3：4：5 读作：3比4比5
3、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。
例：12∶20= 12÷20=0.6 12∶20读作：12比20
4、区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。
