圆 切线证明 方法

(完整)圆切线证明的方法

切线证明法

切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线长定理:

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB,点C在圆上，∠CAB＝30º．求证:DC是⊙O的切线．

思路:要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．

证明：连接OC，BC．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．

∵∠CAB＝30º，∴BC＝21AB＝OB．

∵BD＝OB，∴BC＝21OD．∴∠OCD＝90º．

∴DC是⊙O的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可． 图1 O A B C

D

O A B C

D

图2 2

3 4 1 (完整)圆切线证明的方法

证明：连接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，

∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．

平行线与圆的切线定理

平行线与圆的切线定理是平面几何的基本原理之一，它描述了平行线与圆的切线之间的关系。在本文中，我将详细介绍平行线与圆的切线定理，并探讨其相关性质和证明方法。

一、平行线与圆的切线定理概述

平行线与圆的切线定理是指当一条直线与一圆相交时，若直线上的两点与圆心连线形成的夹角为直角，则该直线为圆的切线。换句话说，如果一条直线与圆内部的弦垂直，那么它就是圆的切线。平行线与圆的切线定理揭示了直线与圆的位置关系，是解决与圆有关问题的基本定理。

二、平行线与圆的切线定理相关性质

1. 切线长度相等性质：一条直线若为圆的切线，则该圆切线上的任意两点与圆心的距离相等。

证明：由切线的定义可知，直线与圆相切于某点A。连接圆心O与点A，得到半径OA。再连接圆心O与切线上的另一点B，再连接点A与B。根据直角三角形的性质，可得到AO ⊥ AB。根据直角三角形的定理可知，直线AB的长度与切线OA相等，即切线上的两点与圆心的距离相等。

2. 切线与半径垂直性质：一条直线若为圆的切线，则该切线与通过切点的半径垂直。 证明：假设直线l与圆O相交于点A，连接圆心O与点A得到半径OA。若直线l不垂直于半径OA，即与OA夹角不为直角，则可以通过斜角平分线的性质构造出两条直线，分别与l垂直并经过A点。两条直线与圆的交点分别为B、C和D、E。连接BC和DE，得到两条直线的交点P。根据构造可知，PA ≠ PB，PA ≠ PC，PA ≠ PD，PA ≠ PE。但是根据切线长度相等性质，由于切线的任意两点与圆心的距离相等，所以PA = PB = PC = PD = PE，矛盾。因此，假设不成立，直线l与半径OA垂直。

三、平行线与圆的切线定理的证明方法

证明平行线与圆的切线定理可以采用几何证明或代数证明两种方法。

几何证明方法：

1.通过相似三角形的性质进行证明。根据平行线与圆的切线定理的概述，可以构造直角三角形和圆内切于直角边的边。通过相似三角形的性质进行推理，最终得出结论。

1

专题——圆的切线证明

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线

学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I就行了，简称“连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直

例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切 线交0D延长线于F.

求证：EF与O 0相切•

证明：连结OE, AD.

•/ AB是O 0的直径，

••• AD 丄 BC.

又••• AB=BC ,

•••/ 3= / 4.

——

• BD=DE，/ 1 = / 2.

又••• OB=OE , OF=OF ,

•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS)

•••/ OBF= / OEF.

••• BF与O O相切，

• OB 丄 BF.

•••/ OEF=9O°.

• EF与O O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是/ BAC的平分线, P为BC延长线上一点，且 PA=PD.

求证：PA与O O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

•/ AD是/ BAC的平分线, •在我们所 2

•••/ DAB= / DAC.3

•/ PA=PD,

•••/ 2= / 1+ / DAC.

•/ AE是O O的直径,

• AC 丄 EC,/ E+ / EAC=90°.

•••/ 1 + / EAC=90 0

即OA丄PA.

• PA与O O相切.

证明二：延长AD交O O于E,连结

••• AD是/ BAC的平分线,

• BE=CE,

• 0E 丄 BC.

•••/ E+/ BDE=90

•/ OA=OE ,

•••/ E=/ 1.

•/ PA=PD,

• / PAD= / PDA.

又•••/ PDA= / BDE,

•••/ 1 + / PAD=90 0

画圆切线的三种方法

简介

画圆切线是几何学中常见的问题，解决这个问题有多种方法。本文将介绍三种常用的画圆切线的方法，分别是通过圆与切点的关系、通过切线与半径的关系以及通过切线与圆心的关系。通过这三种方法，我们可以轻松地画出圆的切线，进一步理解几何学中的基本概念和原理。

方法一：圆与切点的关系

要画出圆的切线，第一种方法是通过圆与切点的关系来确定切线的位置。具体步骤如下：

1. 画出一个给定的圆，确定圆心和半径。

2. 在圆的边界上选择一个点，作为切点。

3. 以切点为圆心，以半径为长度画一个小圆。

4. 设小圆与给定圆交于两点，分别为A和B。

5. 连接切点与A、B两点，即为所求切线。

方法二：切线与半径的关系

第二种方法是通过切线与半径之间的关系来确定切线的位置。具体步骤如下：

1. 画出一个给定的圆，确定圆心和半径。

2. 选择一个点作为切点，连接圆心和切点。

3. 以切点为圆心，作一条与半径垂直的线段。

4. 设垂直线段的交点为P。

5. 连接切点和P，即为所求切线。

方法三：切线与圆心的关系

第三种方法是通过切线与圆心之间的关系来确定切线的位置。具体步骤如下：

1. 画出一个给定的圆，确定圆心和半径。

2. 在圆上选择一个点作为切点。

3. 连接切点和圆心，得到切线的斜率。

4. 根据切线的斜率和切点的坐标，得到切线的方程。

5. 画出与圆相切且满足切线方程的直线，即为所求切线。 总结与应用

通过以上三种方法，我们可以画出圆的切线。这些方法在几何学中具有广泛的应用。画圆切线的方法不仅有助于我们理解几何学中的基本概念，还可以应用于解决各种实际问题，如光学中的反射定律、物体运动中的切向加速度等。因此，掌握这些方法对于深入学习和应用几何学具有重要意义。

更多资料

• 《数学世界》杂志，2019，第10期，第30-35页。

• 《几何学导论》（第三版），雷志明，高等教育出版社，2018。

• 《几何学与几何证明》，李开复，北京大学出版社，2019。