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级数的敛散性

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学 士 学 位 论 文

题 目 有关级数的敛散性

学 生

指导教师 年 级 2008级

专 业 数学与应用数学

系 别 数学系

学 院 数学科学学院

2011年5月

目 录

摘 要............................................................................................................................................................. 1

关键词............................................................................................................................................................. 1

引言................................................................................................................................................................. 1

1 基本概念和相关理论 ............................................................................................................................... 1

1.1 有关级数的定义 ........................................................................................................................... 1

2 级数敛散性的判定方法 ........................................................................................................................... 3

2.1 级数的相关定理及证明 ............................................................................................................... 3

3 级数敛散性的应用 ................................................................................................................................... 7

3.1 级数敛散性的相关结论 ............................................................................................................... 7

3.2 级数敛散性判定的应用 ............................................................................................................. 10

结束语........................................................................................................................................................... 14

参考文献 ....................................................................................................................................................... 14

外文摘要 ....................................................................................................................................................... 14

有关级数的敛散性

（哈尔滨师范大学数学科学学院） 摘 要: 级数是高等数学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数的敛散性方法很多，本文主要讨论了正项级数判别法的一些特性，及判别正项级数敛散性的一般步骤

关 键 词 数项级数 收敛 发散 判别法

引言

数项级数敛散性判定研究是一个重要而有趣的课题，关于数项级数的敛散性判定尽管有不少经典性判别法，然而对数项级数判断收敛的方法的研究至今还在继续与深入，并且获得了一些新的知识和发现.本文打算对数项级数各项重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，在已有判断收敛的一般程序基础上，进行进一步探讨，使解题更简便、更直接，从而找到判断收敛更完美的一般程序及最优方法选择.

1基本概念和相关理论

1.1有关级数的定义

定义1.1.1 给定一个数列nu,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

12......nuuu （1）

称为数项级数或无穷项级数（也简称为级数），其中nu称为数项级数（1）的通项.

数项级数(1)也常写作:1knu或简称写作nu.

数项级数(1)的前n项之和,记为

nnkknuuuuS...211, （2）

称为数项级数（1）的第n个部分和，也简称为部分和.

定义1.1.2 若数项级数(1)的部分和数列nS收敛于S(即SSnnlim),则称数项级数(1)收敛,称S为数项级数(1)的和，记作 12......nuuu 或nuS.

若nS是发散数列,则称数项级数(1)发散.

定义1.1.3 若正项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.

各项都是由正项组成的级数称为正项级数

定义1.1.4若级数的各项符号正负相间，即

11234...(1)...(0,1,2,)nnnuuuuuun，

则上述级数为交错级数

2 级数敛散性的判定方法

2.1 级数的相关定理及证明

定理2.1.1 由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性），是由它的部分和数列nS来确定的，因而可把级数（1）作为数列nS的另一种表现形式.反之任给一个数列na，如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是)()()(1231211nnnnaaaaaaau （3）

这是数列na与级数（3）具有相同的敛散性，且当na收敛时，其极限值就是级数（3）的和.

定理2.1.2 (级数收敛的柯西准则) 级数（1）收敛的充要条件：任给正数，总存在正整数N，使得当Nm以及对任意正整数p，都有

12mmmpuuu (5)

即有级数（1）发散的充要条件：存在某正整数0，对任何正整数N，总存在整数)(0Nm和0p，有 12mmmpuuu

定理2.1.3 若级数（1）收敛，则

0limnnu （6）

定理2.1.4 若级数nu和nv都收敛，则对任意常数c，d，级数()nncudv亦收敛，且

()nnnncudvcudv

定理2.1.5 去掉、增加或改变级数的有限个项不改变级数的敛散性.

定理2.1.6 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.

注意：从级数加括号的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛.例如

(11)(11)(11)000

收敛，但级数

1111

却是发散的.

定理2.1.7 正项级数nu收敛的充要条件是：部分和数列nS有界，即存在某正整数N，对一切正整数n都有nSM.

定理2.1.8（比较原则） 设nu和nv是两个正项级数，如果存在某正整数N，对一切nN都有

nnuv

则

（i）若级数nv收敛，则级数nu也收敛； （ii）若级数nu发散，则级数nv也发散.

推论 设

12......nuuu (7)

12......nvvv (8)

是两个正项级数，若

limnnnulv

则

（i） 当0l时，级数（7）、（8）同时收敛或同时发散；

（ii） 当0l且级数(8)收敛时，级数(7)也收敛；

（iii）当l且级数（8）发散时，级数（7）也发散.

定理2.1.9（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设nu为正项级数，且存在某个正整数0N及常数q（01q）.

（i） 若对一切0nN，成立不等式

nnuqv

则级数nu收敛.

（ii）若对一切0nN，成立不等式

1nnuv

则级数nu发散. 推论 （比式判别法的极限形式）若nu为正项级数，且

1limnnnuqu （9）

则

（i） 当1q时，级数nu收敛；

（ii）当1q或q时，级数nu发散.

注 若（9）中1q，这是用比式判别法对级数的敛散性不能做出判断因而它可能是收敛的，也可能是发散的.例如级数21n和1n，它们的比式极限都是

11()nnunu

但21n是收敛的，而1n却是发散的.

若某极限（9）式的极限不存在，则可用上、下极限来判别.

推论 设nu为正项级数.

（i）若1lim1nnnuqu，则级数收敛；

（ii）若1lim1nnnuqu，则级数发散.

定理2.1.10 （柯西判别法，或称根式判别法） 设nu为正项级数，且存在某正数0N及正常数l，

（i）若对一切0nN，成立不等式

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级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳

级数是数列之和的概念在数学中的推广。级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。

一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）

比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。

1.比较判别法

对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：

（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。

（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。

2.比较判别法的极限形式

对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：

（1）若0

（2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。

（3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。

比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。 二、比值判别法

比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。

对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在：

（1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛；

（2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散；

（3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。

比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。

三、积分判别法

积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：

（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减；

判别数项级数敛散性的一些方法和技巧

判别数项级数敛散性的一些方法和技巧

判别数项级数敛散性的一些方法和技巧

要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。以下是一些常见的方法和技巧：

1.非负项级数的比较判别法：

-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。

-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。

-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。

2.收敛级数的性质：

-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。

-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。

3.交错级数的收敛性：

-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。

4.幂级数的收敛性： - 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。

5.特殊级数的敛散性：

-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。

- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。

6.柯西收敛准则：

-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。

7.级数的整体性质：

-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。

通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。

八个常见级数的敛散性2篇

八个常见级数的敛散性2篇

八个常见级数的敛散性2篇

第一篇：八个常见级数的敛散性（一）

级数是数学中一个非常重要的概念，它是由一列数相加而得到的结果。在实际应用和数学理论中，人们经常需要研究级数的敛散性。散指的是级数的和无穷大，而敛则是指的是级数的和有一个有限的极限值。本文将讨论八个常见级数的敛散性。

1. 等比级数

等比级数是指项之间的比例是一个常数的级数，比如

1+1/2+1/4+1/8+…。对于等比级数来说，当公比绝对值小于1时，级数是收敛的，当公比绝对值大于等于1时，级数是发散的。

2. 调和级数

调和级数是指级数的项是调和数的级数，比如

1+1/2+1/3+1/4+…。对于调和级数来说，它是发散的，因为随着项数的增加，每一项都趋近于无穷大，所以级数的和也趋近于无穷大。

3. 幂级数

幂级数是指级数的项是幂函数的级数，比如 1+x+x^2+x^3+…。对于幂级数来说，它的敛散性取决于幂函数的底数 x 的取值范围。当

x 的绝对值小于1时，幂级数是收敛的，当 x 的绝对值大于等于1时，幂级数是发散的。

4. 几何级数

几何级数是指级数的项是等比数列的级数，比如

1+x+x^2+x^3+…。对于几何级数来说，当公比绝对值小于1时，级数是收敛的，当公比绝对值大于等于1时，级数是发散的。

5. 斯特林级数

斯特林级数是一种逼近阶乘函数的级数，它的公式为：n! ≈

√(2πn) (n/e)^n，其中 n 是一个正整数。斯特林级数收敛非常快，可以用来估计阶乘函数的值。

6. 莱布尼茨级数 莱布尼茨级数是指级数的项是交替数列的级数，比如 1-1/2+1/3-1/4+…。莱布尼茨级数是发散的，但是它是交替发散的，也就是说，它的和会在一定范围内波动，但不会趋于无穷大或负无穷大。

7. 邹次定理

邹次定理是一个判断级数敛散性的定理，它的原理是通过比较级数的项与调和级数的项的大小来判断。如果级数的项大于等于调和级数的项，那么级数一定是散的；如果级数的项小于调和级数的项，那么级数的敛散性就不确定，需要进一步研究。

级数敛散性判断方法

级数敛散性判断方法

- 1 - 级数敛散性判断方法

级数敛散性判断方法是一种遵循规律性原则，并由此得出结论的数学方法。它通过观察数字的发展趋势，推理出结论，并应用于实际运算中，以提高准确性和精确性。 17世纪德国数学家施高维根据他发现的几何形式有规律可追据，发展出级数敛散性判断方法。根据此方法，若果某系数的项与系数的其他项之和收敛于某一值或点，则该系列为收敛级数。否则，如果该系数的项与系数的其他项相差越来越远，这种情况下，该系列属于散级数。

级数敛散性判断方法的应用简直遍布了几乎所有的数学领域，从数列和级数的基本性质到积分、微积分和许多复杂概念，都与级数敛散性判断方法有关。例如，函数本质上是一系列数字的变化趋势。那么，当自变量具有特定区间的数值时，若此变化趋势收敛于某一值，则可以说这个函数具有分析性；如果趋势不收敛，则该函数不具有分析性。

另一方面，级数敛散性判断方法也用于证明或否定一个数学命题的真实性。例如，当自变量x满足某个无限级数的规律时，若这个级数收敛于某一值，则可以断定某个命题为真；如果级数散离到无穷远，则该命题为假。因此，级数敛散性判断方法是验证一个数学命题真实性的有效手段。

此外，级数敛散性判断方法也被广泛应用于数据分析中。当处理大量数据时，经常可以用级数敛散性判断方法来进行趋势分析，这在市场营销中有着十分重要的应用价值。若某项数据的趋势收敛于某一 - 2 - 值，便可以预测未来的趋势，做出正确的决策。

简言之，级数敛散性判断方法是一种能够提高数据分析准确性和精确性的数学方法，它与几乎所有数学领域以及实际应用都有着深远的联系。 从此，级数敛散性判断方法得以深入人们的日常生活，并发挥其高效性和可靠性。今天，这种方法在数学和实际应用中都得到了广泛应用，极大地提高了数据分析和决策的准确性和精确性。