专题3 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量

平面向量

1.已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC等于( )

A．30° B．45°

C．60° D．120°

答案 A

解析 ∵|BA→|＝1，|BC→|＝1，

cos∠ABC＝BA→·BC→|BA→|·|BC→|＝32，

∴∠ABC＝30°.

2．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )

A．4 B．－4

C.94 D．－94

答案 B

解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，

即t·m·n＋n2＝0，

∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，

由已知得t×34|n|2×13＋|n|2＝0，

解得t＝－4，故选B. 3．(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为( )

A．－58 B.18

C.14 D.118

答案 B

解析 如图所示，AF→＝AD→＋DF→.

又D，E分别为AB，BC的中点，

且DE＝2EF，

所以AD→＝12AB→，

DF→＝DE→＋EF→＝DE→＋12DE→

＝32DE→＝34AC→，

所以AF→＝12AB→＋34AC→.

又BC→＝AC→－AB→，

则AF→·BC→＝12AB→＋34AC→·(AC→－AB→)

＝12AB→·AC→－12AB→2＋34AC→2－34AC→·AB→

＝34AC→2－12AB→2－14AC→·AB→.

又|AB→|＝|AC→|＝1，∠BAC＝60°， 故AF→·BC→＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.

4．(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．

答案 12

解析 由已知可得：

6≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，

由于上式对任意单位向量e都成立．

∴6≥|a＋b|成立．

∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.

即6≥5＋2a·b，∴a·b≤12.

1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.

热点一 平面向量的线性运算

1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．

2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．

例1 (1)设0

(2)如图，在△ABC中，已知BD→＝2DC→，则AD→等于( )

A．－12AB→＋32AC→ B.12AB→＋32AC→

C.13AB→＋23AC→ D.13AB→－23AC→ 答案 (1)12 (2)C

解析 (1)因为a∥b，

所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ.

因为00，

得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.

(2)根据平面向量的运算法则及已知图形可知AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AC→)＝13AB→＋23AC→.

思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．

跟踪演练1 (1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ等于( )

A．1 B.12

C.13 D.23

(2)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为( )

A.12 B．－12

C．1 D．－1

答案 (1)D (2)A

解析 (1)∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→， ∴2AO→＝AB→＋13BC→，即AO→＝12AB→＋16BC→.

故λ＋μ＝12＋16＝23.

(2)因为E为DC的中点，所以AC→＝AB→＋AD→＝12AB→＋12AB→＋AD→＝12AB→＋AE→，即AE→＝－12AB→＋AC→，

所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.

热点二 平面向量的数量积

1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ.

2．三个结论

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.

例2 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是( )

A.2

B．2

C．0 D．1

(2)若b＝cos π12，cos 5π12，|a|＝2|b|，且(3a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为( ) A.π3 B.2π3 C.5π6 D.π6

答案 (1)A (2)C

解析 (1)以A为原点，建立如图所示的坐标系，

可得A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)，

∴AB→＝(2，0)，AF→＝(x,2)，

∴AB→·AF→＝2x＝2，解得x＝1，∴F(1,2)．

∴AE→＝(2，1)，BF→＝(1－2，2)，

∴AE→·BF→＝2×(1－2)＋1×2＝2.故选A.

(2)b2＝cos2π12＋cos25π12＝cos2π12＋sin2π12＝1，

所以|b|＝1，|a|＝2.

由(3a＋b)·b＝－2，可得3a·b＋b2＝－2，

故a·b＝－3.

故cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－32×1＝－32.

又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝5π6，故选C.

思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．

跟踪演练2 (1)已知点A，B，C，D在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量AD→在AB→方向上的投影为( )

A．－55 B．－1

C．－21313 D.55

(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．

答案 (1)A (2)1 1

解析 (1)不妨以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得AD→＝(－2,3)，AB→＝(4,2)，所以向量AD→在AB→方向上的投影为AD→·AB→|AB→|＝－225＝－55.

故选A.

(2)方法一 分别以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设

E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.

因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，

故DE→·DC→的最大值为1.

方法二

由图知，无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，

当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大即为DC＝1，

∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.

热点三 平面向量与三角函数

平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．

例3 已知函数f(x)＝2cos2x＋23sin xcos x(x∈R)．

(1)当x∈[0，π2)时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sin

A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．

解 (1)f(x)＝2cos2x＋3sin 2x＝cos 2x＋3sin 2x＋1＝2sin(2x＋π6)＋1，

令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，

解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，

因为x∈[0，π2)，

所以f(x)的单调递增区间为[0，π6]．

(2)由f(C)＝2sin(2C＋π6)＋1＝2，

得sin(2C＋π6)＝12，

而C∈(0，π)，所以2C＋π6∈(π6，13π6)，

所以2C＋π6＝56π，解得C＝π3.

因为向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，

所以sin Asin B＝12.

由正弦定理得ab＝12，①

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosπ3，

即a2＋b2－ab＝9.②

联立①②，解得a＝3，b＝23.

思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

跟踪演练3 已知平面向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，c＝(－cos x，－sin x)，x∈R，函数f(x)＝a·(b－c)．