关于回归删失数据的回归分析

1 关于随机删失数据的回归分析

这篇论文提出了在观测值随机删失，误差分布未知情况下，关于线性模型参数向量的一种新的估计量。这个估计量定义明确并易于计算。此论文假定估计量满足方差连续并服从渐近正态，并给出了一个实例。

1.摘要

此论文讨论的是关于删失数据线性模型中参数的估计方法。通常在

学研究中，当病人随机进入研究所设定的固定时间段内，则关于病人存活时间的观察值是不完整的，即缺失的。这种数据的缺失可能由大量原因引起：研究结束时病人依然存活；在研究未结束时，未死亡病人退出研究；或病人死于非研究所包含的原因。

通常以上情形能由以下随机删失线性模型描述。T,1,,iin为n个独随立机变量且满足:

1.1 iiiTx 1in，

其中1,nxx是已知的输入变量

1.21,,n相互独立同分布并且均值为零。、为未知参数，观察值不是{}iT，是

1.3 []iiiTY 和 min(,)iiiZTY 1in，

其中A记为集合A的指示量。

1.41,nYY为独立同分布的随机变量，并且与1,,n相互独立。

1,nYY随机变量为缺失变量当处理生存时间时，可以对生存时间iT做取以10为底的对数或取自然对数的处理。这是我们要考虑的问题是根据，算出11(,),(,)nnZZ的估计值。

Miller（1976）介绍了一种(,)的估计量，称为Kaplan-Meier最小二乘估计量（KMLS），它是由加权平方和最小得到的。权重是由基于残差的误差分布的Kaplan-Meier (1958)估计量确定的。后来Buckley和James(1979)提出(,)的另一种估计量，称为BJ估计量，BJ估计量是根据相同的期望值所得，这两种估计量都是用迭代方法计算所得。正如这两种方法的提出者所言，迭代值会在两个数值之间的波动中稳定下来。根据Buckley和James，BJ估计量比KMLE估计量迭代误差更小。在iiiYx独立同分布,,iid， 2 且与{i}相互独立的假设条件下。Miller给出了一个启发式的结论KMLS估计量具有渐近正态性。Buckley 和 James提出了在大样本情况下寻找估计量的一些方法，但却没有给出理论上的论证。

这篇论文提出了（,）的新的估计量（，），并研究其渐近分布理论。第二章是关于估计量（，）的定义。第三章提出了均方差的一致连续性和（，），服从渐进正态分布的充分条件（第7章将给出证明）。第四章将详细讨论第三章的充分条件，以及结论的含义和渐进方差的估计量。第五章推广到多元线性回归模型中，第六章阐述了用Miller核移植数据得出的估计量。

2.（，）的一些重要性质：定义精确，易于计算且不需要迭代过程。这个估计量另外一个重要性质是在计算和原理方面易于推广到多元线性模型中。而KMLS，BJ估计量则不具有此性质。

注释：对任意实数t,()()GtPYt，()()()iiiFtPXtFtx，1in，其中1()()FtPt；i从1到n求和；1,,1,ijjFnFHFGjnHFG ，1()[]niHnZ；对任意分布和任意生存函数rH代表1rH；当n时，极限值为d，代表“分布具有收敛性”，1O代表收敛于0，1pO代表着以概率1收敛于0；,kNu代表k维正态变量，为均值向量，为协方差阵，连续性代表着“均值平方差连续”。而且，在后面的章节中，所有关于分布的计算都是在假设1.1，1.2，1.4，以及后面我们将要提到的假设成立的条件下进行的，记122,()ixixnxxx

2.估计量的定义 假定1.1，1.2，1.4成立，且对任意0,Gtt的条件下：

2.1 ()iiiEZtGtdFtx, 1in 3 可以得到以下关系式

2.2 1()()iitiiEZGZtGtdFtxx 1in

因此变量1(),1tttZGZin在误差项是同分布的情况下服从与1.1参数相同的线性回归模型。此时，如果G已知，12xiiiixxZGZ是的最小二乘估计量。但在一般情况下G未知，很正常的要用一个估计量在数量上代替G。Susarla 和 Van Ryzin (1980),提出，1Gt的估计量由1.10式第二个因子给出，求逆即得的Gt估计量。

2.3 0,112jjZtnjjjGtNZNZ， t

其中NZ是数值大于z的iZ之和，即

2.4 iNZZz .

G渐进趋向于G估计量极限值的，选择估计量的极限值做G是因为我们在证明过程中有对G取对数。第七章内容说明了在满足本文条假设件下,()Gt是()Gt的一个一致估计量。

由于对于较大的t,()Gt的渐进方差会很大，我们定义了的估计如下

2.5 12xiiiiinxxZGZZM

其中nM是以特定速率趋向的实数序列。类似的，我们给出了的估计量：

2.6 1_1iiitnnZGZZMx.

3.定理陈述 这一章节论述了,的一致渐进分布的结论。由2.5、2.6可得下式：

3.1 1_12ixiiniinxdWGZaW

12xiiiniidWGZbW 4 其中

3.2iiiinWZZM，_iidxx且1iiiWWGZ， 1in，

其中

3.3 _12niixanxd ，2nixibd 1in，

由于和都是iW的线性组合，我们应当证明线性组合的一致性，然后证明，这两个线性组合具有联合渐进正态性。

为了证明定理，我们做出以下定义和假设。令：

3.4 1212,,,nniinniinniinniiLtaFtLtbFtKtaFtKtbFt t

和

3.5 _1LnjnjnL 1,2j .

（，）的一致性和渐进正态性需要在以下假设下成立，nininieab，且满足：

1A. 0Gt , t

2A. 0.nniiMetdFt

3A

3A. 22210nnMMniiietGtdFttdFt

4A. 38___220.nMtniietHtFsHsdGtdFt

5A. 2b时 liminfn_nHMb

6A. 121226___0nMtnjntGtHtFsHsdGsdKt，1,2.j

7A. 对于所有的1n，有2nic，2max0ni，

其中2niniVarA，niA同（7.27），1in，c是一个有限常数。 5 定理3.1 在满足15AA假设下，

21.ininiiEeWexo

推论3.1 假定15AA成立，且nininieab，1in，那么

12122,0,nnMMnndntdLttdLtN

其中,,1,2jkjk且

3.622___21111limnnMMnniiitnaVarWGZFtHtsdLsdGt

3.73.6式右侧用nib代替nia即得22的表达式

且

1122__12 lim + 3 .8nnnniniiiMMMnnttnabVarWGZFtHtsdLssdLsdGt 4.渐进性结论的讨论 在第二章中，我们介绍了估计量（，）的一般渐进性结论。这一节的目的是了解如何得到这些结论的，以及从应用角度假设条件的含义。

推论4.1： 若1Gx，且nM，那么在满足24AA条件下，2x，此外，在无删失数据的情形下，、为普通二小估计。

推论4.2，假设2A可以解释为与iET离差的平均值趋向于0.当nininieab或，1in，2x，则其充分条件是iET有界。同样的，3A可以理解为1,1iiWGZin方差的一个条件。如果这些方差是有界的，则3A在nininieab或，1in，条件下成立。下面是一个当ix有界时，方差有界的一个实例，Ｆ服从210,Nr，2r。G服从双指数分布，且尺度参数0。（注意在证明删失数据的最小二乘估计量的渐进正态性时，通常假定2x）

由定理3.1、3.2的假设很容易得到。如何挑选满足假设条件的nM是一个 6 十分重要和有趣的问题。如何得到nM的大小，如果lnrnMcn，其中021,0rc为已知常数，那么27AA成立时，当2x时，ix是有界的，那么当x时，2exp2xFxGx，0，特殊情况下，无论F和Ｇ是正态的还是比正态分布稍微右偏，定理3.1.2、3的结论依然成立。如果想通过数据选择nM，我们推测，在F和G满足定理3.1.2、3时，lnrniMcZ， 021,0rc可能包含多种选择。

引理4.3：推论3.1和定理3.1可以推广到i不是同分布的情形下，i只需要满足相互独立，且均值为0的条件即可。从应用角度看，现实情况里病人之间的误差不是同分布的，这些结论对于不是同分布情况下生存数据协方差的分析是适用的。在此给出了一个理论上的例子：当i服从20,iNr，其中ir是有界的，则G服从指数分布。