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线性代数教案-第六章 二 次 型

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第六章二次型

二次型的一个重要议题就是化二次型为标准型,即通过变量的代换,将其化简为一个只含平方项的二次型.一个二次型总可与一对实对称方阵联系着,这实际上就是用一个线性变换将此方阵对角化.本章内容即以此议题为中心展开,兼及正定二次型及正定矩阵的一些基本性质.

一、教学目标与基本要求：

1 二次型与其标准型的矩阵关系

定义6.1.1设A,B都是n阶方阵.若存在满秩(可逆)方阵C,使BACCT,则称B是A的合同矩阵,亦称B与A合同.

类似于矩阵的等价关系及相似关系,合同关系亦具有以下性质:

(1)自反性:任意方阵与自身合同；

(2)对称性:若B与A合同,则A与B合同；

(3)传递性:若B与A合同,D与B合同,则D与A合同.

定理6.1.1设A为对称阵.若B与A合同,则B亦是对称阵,且)()(ARBR.

2化二次型为标准型

上一节的讨论表明,对于任意二次型

xxAfT,

总可求得一个正交阵C,作变换

yxC,

就把f化为标准型

2222211TnnyyyfΛyy.

这里n,,,21是A的全部特征值,对角阵)diag(21n,,,Λ.

该节主要举例化二次型为标准型

还须指出,由于实对称阵的特征值是确定的,二次型经正交变换化得的标准型,在不考虑各平方项次序的意义下是唯一的.但是,所用的正交变换却不唯一,这因为在构造正交阵时,选取属于各特征值的特征向量的方式并不唯一,只要它们独立即可.

用正交变换化二次型为标准型,具有保持二次型所表示的几何图形的形状不变的优点.但是,也可以用别的多种方法去寻求多种满秩(可逆)的线性变换,把二次型化为标准型.如用初等变换法,拉格朗日(Lagrange)配方法等.

3 正定二次型

定理6.3.1(惯性定理) 任意一个秩为r、系数为实数的二次型 )(1nxxf,,

均可化为规范型.而且,不论用何种满秩线性变换,所化得的规范型是唯一的.换言之,该二次型的正、负惯性指数是唯一确定的.

定义6.3.1设有实系数二次型

xxAxxfnT1)(,,

如果对于任意的θxT1][nxx,,,都有

(1)0TxxAf,则称f为正定二次型,并称实对称阵A是正定的(可记为A＞0)；

(2)0TxxAf,则称f为负定二次型,并称实对称阵A是负定的(可记为A＜0).

如果一个二次型既不是正定的也不是负定的,则称它是不定二次型.

定理6.3.2对于实系数二次型

xxAxxfnT1)(,,

而言,下述命题等价:

(1) f是正定的.

(2) f的正惯性指数为n.

(3)A的特征值均大于零.

(4)存在n阶可逆实方阵B,使BBAT.

定理6.3.3 对实对称阵A而言,下述命题等价:

(1) A是正定的.

(2) A的特征值全大于零.

(3)存在可逆实方阵B,使BBAT.

(4) A与单位阵E合同.

推论若A是正定的,则0detA.

定理6.3.4 n阶对称阵][ijaA正定的充分必要条件是: A的各阶主子式都为正,即

0det1111rrrraaaa)21(nr,,,.

而A负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即

0det)1(1111rrrrraaaa)21(nr,,,.

二、本章各节教学内容及学时分配：

第一节二次型与其标准型的矩阵关系 2课时

第二节化二次型为标准型 2课时 第三节正定二次型 2课时

三、本章教学内容的重点难点：

本章主要学会如何对角化一个矩阵.

四、本章教学内容的深化和拓宽：

指导学生对角化矩阵解决几何实际问题。

五、本章的思考题和习题：

1(3) 2 (2) 3 (2)(4) 4 5 6 7 8(2)(3)

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线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题

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1

第六章 二次型

本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.

§1 二次型及其矩阵

一、二次型及其矩阵

定义1 关于n个变量nxxx,,,21的二次齐次函数

2222211121),,,(xaxaxxxfnnnnnnnnxxaxxaxxaxa1,1313121122222 (1)

若取jiijaa,则ijjijiijjiijxxaxxaxxa2于是(1)式可写成

jinjiijnxxaxxxf1,21),,,( (2)

称为n元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.

记,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAnxxxx21

则二次型),,,(21nxxxf又表示为AxxxxxfTn),,,(21,其中A为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21nxxxf的矩阵,也把),,,(21nxxxf 叫做对称矩阵A的二次型.

对称矩阵A的秩,叫做二次型AxxxxxfTn),,,(21的秩.

例1 写出二次型

32312123222132184422),,(xxxxxxxxxxxxf的矩阵，并求出二次型的秩.

解 写出二次型所对应的对称矩阵为A,242422221A

因为二次型的秩就是对称矩阵A的秩.

14002202214~6808602212~224242222123321312rrrrrrrrA二次型的秩为3.

§2 化二次型为标准型

一、二次型合同矩阵

二次型),,,(21nxxxf经过可逆的线性变换 2 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111 (3)

线性代数：第五章二次型

线性代数：第五章二次型

线性代数：第五章⼆次型

第五章 ⼆次型

§1 ⼆次型及其矩阵表⽰

⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.

定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式

(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.

线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成

把(3)的系数排成⼀个矩阵

(4)

它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以

把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或

应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令

,

于是线性替换（4）可以写成

或者.

经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设

(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换 (8)得到⼀个的⼆次型 ，

⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.

把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.

这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。

定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.

合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.

2) 对称性:如果与合同,那么与合同.

3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.

因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。

最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.

这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.

东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型

东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型

教学基本要求：

1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.

2.了解合同变换和合同矩阵的概念.

3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.

4.了解惯性定理.

5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.

第六章 二次型

本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.

“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？

二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.

通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.

一、二次型与合同变换

1. 二次型

n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数

f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2

+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+…+…+2an-1 nxn-1xn (6.1)

称为一个n元二次型.当系数aij均为实数时，称为n元实二次型. (P131 定义6.1)

以下仅考虑n元实二次型.

设11121n112222n21n2nnnnaaaxaaaxA,xaaax，那么

f(x1,x2,…,xn)=xTAx. (6.2)

式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.

例6.1(例6.1 P132)

二次型f与对称矩阵A一一对应，故称A是二次型f的矩阵，f是对称矩阵A的二次型，且称A的秩R(A)为二次型f的秩. (定义6.2 P132)

由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.

定义6.2 仅含平方项的二次型

f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2 (6.3)

第六章 二次型总结

第六章 二次型总结

第六章 二次型（一般无大题）

基本概念

1. 二次型: n个变量12,,,nxxx的二次齐次函数

212111121213131122222232322(,,,)222222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxax

称为n元二次型,简称二次型. 其中ijjiaa,则

21211112121313112212122223232221122331112112122221212(,,,)2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnTfxxxaxaxxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxaxxaxaaaxaaaxxxxaaaxxAx

因此，二次型也记AXXfT,A称为二次型f的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A的秩称为二次型的秩，记作R（f）=R（A）.

例题：写出下列二次型的矩阵：（p书126例6.1）

2.合同矩阵的定义及性质

2.1合同矩阵定义 设,AB均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得TCACB，则称矩阵A与B合同，记AB.实对称矩阵A与B合同的充要条件是二次型TxAx与TxBx有相同的正,负惯性指数.(A的正, 负惯性指数：A的特征值的个数)

合同是矩阵之间的另一种关系，它满足

（1）反身性，即TAEAE；

（2）对称性，即若TBCAC，则有11TACBC；

（3）传递性，若111TACAC和2212TACAC，则有21212TACCACC

因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.

在数域P中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.

2.2 合同矩阵的性质 性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.

性质2 在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.