高考数学压轴题

1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点1,2M，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点3,0P，交抛物线于,AB两点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.

2．已知正项数列na中，16a，点1,nnnAaa在抛物线21yx上；数列nb中，点,nnBnb在过点0,1，以方向向量为1,2的直线上.

（Ⅰ）求数列,nnab的通项公式；

（Ⅱ）若nnafnb, n为奇数, n为偶数，问是否存在kN，使274fkfk成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）对任意正整数n，不等式11202111111nnnnaanabbb成立，求正数a的取值范围.

3．将圆O: 4yx22上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),得到曲线C.

(1) 求C的方程;

(2) 设O为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证: ON2OE的充要条件是3|AB| .

4．已知函数241)x(fx)Rx(.

(1) 试证函数)x(f的图象关于点)41,21( 对称;

(2) 若数列}a{n的通项公式为)m,,2,1n,Nm()mn(fan , 求数列}a{n的前m项和;Sm

(3) 设数列}b{n满足: 31b1, n2n1nbbb.

设1b11b11b1Tn21n. 若(2)中的nS满足对任意不小于2的正整数n, nnTS恒成立, 试求m的最大值.

5．E、F是椭圆2224xy的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点Pl，过点E的直线交椭圆于A、B两点.

（1） 当AEAF时，求AEF的面积；

（2） 当3AB时，求AFBF的大小；

（3） 求EPF的最大值.

6．已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.

(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.

(2) 对任意n  a , 证明f n + 1’ ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn’(n)

7．已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？

(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]xxxx，是否满足题设条件？

8．设定义在R上的函数43201234()fxaxaxaxaxa（其中ia∈R，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．

（1） 求f (x)的表达式；

（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2,2上；

（3） 若+212(13),(N)23nnnnnnxyn，求证：4()().3nnfxfy

9．设M是椭圆22:1124xyC上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

10．过抛物线yx42上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，.0PBPA

（1）求点P的轨迹方程； （2）已知点F（0，1），是否存在实数使得0)(2FPFBFA？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

11．设函数xaxxxfln1)(在),1[上是增函数.

（1） 求正实数a的取值范围；

（2） 设1,0ab，求证：.ln1bbabbaba

12．如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，90C，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，3BDDC，ABC!的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．

(1) 求双曲线E的方程；

(2) 若一过点(,0)Pm（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MPPN，问在x轴上是否存在定点G，使()BCGMGN？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

13．已知数列na各项均不为0，其前n项和为nS，且对任意*nN都有(1)nnpSppa（p为大于1的常数），记12121CCC()2nnnnnnnaaafnS．

(1) 求na；

(2) 试比较(1)fn与1()2pfnp的大小（*nN）；

(3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)112nppnfnfffnpp剟，（*nN）．

14．如图，已知双曲线C：xaybab2222100()，的右准线l1与一条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

（Ⅰ）求证：OMMF；

（Ⅱ）若||MF1且双曲线C的离心率e62，求双曲线C的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足APAQ，试判断的范围，并用代数方法给出证明.

15．已知函数fxxnxnfnnxnnN()()[()]()(*)00111，，

数列{}an满足afnnNn()(*)

（Ⅰ）求数列{}an的通项公式；

（Ⅱ）设x轴、直线xa与函数yfx()的图象所围成的封闭图形的面积为Saa()()0，求SnSnnN()()(*)1；

（Ⅲ）在集合MNNkkZ{|2，，且10001500k}中，是否存在正整数N，使得不等式aSnSnn10051()()对一切nN恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

（Ⅳ）请构造一个与{}an有关的数列{}bn，使得lim()nnbbb12存在，并求出这个极限值.

16．设双曲线yax22231的两个焦点分别为FF12、，离心率为2.

（Ⅰ）求此双曲线的渐近线ll12、的方程；

（Ⅱ）若A、B分别为ll12、上的点，且2512||||ABFF，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

（Ⅲ）过点N()10，能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OPOQ·0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

17．已知数列an的前n项和为SnNn()*，且Smmann()1对任意自然数都成立，其中m为常数，且m1.

（Ⅰ）求证数列an是等比数列；

（Ⅱ）设数列an的公比qfm()，数列bn满足：babfbnn11113，()

()*nnN2，，试问当m为何值时，lim(lg)lim(nbanbbbbbbnn3122334 …bbnn1)成立？

18．设椭圆)0(12222babyax的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过FQA,,三点的圆恰好与直线l：033yx相切，求椭圆方程．

19．给定正整数n和正数b，对于满足条件baan211的所有无穷等差数列na，试求1221nnnaaay的最大值，并求出y取最大值时na的首项和公差．

20．垂直于x轴的直线交双曲线2222yx于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）

（Ⅰ）证明：;22020为定值yx

（Ⅱ）过P作斜率为002yx的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.

21．已知函数xxxfsin)(

（Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数xfx

（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xfxffx求证

（Ⅲ）)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xfxffZkkkkkx与猜想的大小关系.

22．已知f(x)=222xax(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=x1的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

23． 如图，P是抛物线C：y=21x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q. （Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求||||||||SQSTSPST的取值范围.

24．已知.,2,1,1,}{,011naaaaaaannn满足数列

（Ⅰ）已知数列}{na极限存在且大于零，求nnaAlim（将A用a表示）；

（Ⅱ）设;)(:,,2,1,1AbAbbnAabnnnnn证明

（Ⅲ）若,2,121||nbnn对都成立，求a的取值范围.

25．设数列na的前n项和为nS，已知1231611aaa，，，且1(58)(52)123nnnSnSAnBn，，，，，其中AB，为常数.

(Ⅰ)求A与B的值；

(Ⅱ)证明：数列na为等差数列；

(Ⅲ)证明：不等式51mnmnaaa对任何正整数mn，都成立.

26．已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT

（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；

（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.

27．函数)(xfy在区间（0，+∞）内可导，导函数)(xf是减函数，且.0)(xf 设