函数的表示方法

第五讲 函数的表示方法

1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；

2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；

一、函数的常用表示方法简介：

1、解析法

如果函数yfxxA中，fx是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。

例如，s=602t，A=2r，2Srl,2(2)yxx等等都是用解析式表示函数关系的。

特别提醒：

解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。

解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。

2、列表法：

通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。

例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.

特别提醒：

列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。

列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。

3、图象法：

用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。

例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。

特别提醒：

图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。

图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。

二、函数图像：

1、判断一个图像是不是函数图像的方法：

要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。

函数的三种表示方法

全文共852字，预计阅读时间：3分钟

上周，我们学习了函数的概念和三个要素。你记得他们吗？如果忘记了，请及时复习！

今天我们将继续函数的学习，主要学习函数的不同表达方式和相关知识点，并额外拓展映射的内容，大家看好了！

一，函数的常见表示方法

在初中阶段，我们已经学习了函数的三种常用表示法，即解析法、列表法和图像法。你知道这三种方法各自的适用范围和优缺点吗？

解析法：

使用数学表达式表示两变量之间的对应关系，也就是函数式表达法，其优点是比较简洁明了，并且可以在已知定义域（自变量）的情况下根据函数式的特点求得值域（函数值），但是这种方法往往非常抽象，因此在之后的学习过程中，解析法常常和图像法结合使用；

列表法：

使用表格表示两变量之间的对应关系，这种方法的优点是并不需要计算就可以清晰地看出函数值，适合银行利率表之类的问题，但是大家也会发现，列表法的容量是非常有限的，而且是离散的，并不是连贯的；

图像法： 用图像来表示两个变量之间的对应关系，与前两者相比，图像法更直观，能看到变化趋势。然而，提取图像的过程往往很复杂，因此它常常与分析方法一起使用。

二，分 段 函 数

分段函数是指在一个定义域内，自变量的不同范围有不同对应关系的函数。

需要同学们注意的是：

1）虽然分段函数包括几个不同的对应关系，但是它依然是一个函数；

2）分段函数的定义域是几个部分的“并”（什么是并，大家还记得吗？）；

3）分段函数定义域的不同部分并不能相交；

4)由于分段函数包含若干对应关系，因此分段函数的图像不一定是连续曲线。

三，扩展学习 - 映射

人教版教材中已经删除了映射的内容，但是为了让学生更好的理解函数，我们先简单的了解一下映射的基本概念，并不是强制性的！

映射的定义是：

其中“f：A→B”表示A到B的映射，而“f：B→A”表示B到A的映射，这两者并不是同一个映射！

映射也有三个要素，即两个集合和一个对应的规则，和函数很像。但函数要求两个集合必须是数的集合，映射对集合没有特殊要求。 因此，我们可以说函数是一种特殊的映射。

表示函数关系的三种方法

函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了输入和输出的关系。表示函数关系的三种方法是：文字描述、图形表示和符号表示。

一、文字描述： 文字描述是最为基本和简单的一种函数表示方法。函数通常用一句话来描述，如：设$f(x)$为一个函数，若$x$为一个实数，则$f(x)=x^2-3x+5$。这种描述方法的局限在于需要大量文字来描述，对于函数的性质、定义域、值域等无法直观反映，难以实现精确计算。

二、图形表示： 图形表示是一种非常直观的函数表示方法，通过函数图像来表示函数的性质。函数图像是指由函数的值随输入变化而形成的点的图形。例如$f(x)=x^2-3x+5$这个函数的图像具有二次函数的基本特征，如开口向上或向下、对称轴、交点等。利用图形表示可以很直观地显示函数的性态，并知道函数的一些基本性质，如函数的单调性、最值、零点等等。

三、符号表示： 符号表示是精确而严谨的一种表示方法。符号表示主要通过定义、公式等方式来标识函数，如$f(x)=x^2-3x+5$就是一种符号表示函数的方式。它可以提供很多函数的相关信息，如定义域、值域、导数、极限等等。这种表示方法需要掌握丰富的数学符号和知识才能理解，可能不太直观。

综上所述，表示函数关系的三种方法各有优劣，需要根据不同情境和目标选择适合自己的方法。有些场合需要一种直观简单的方法，如初学者学习函数的基本概念可采用图形表示法；有些场合需要精确细致的方法，如深入研究函数的性质和行为，可以使用符号表示法。函数领域需要图形和符号表示方法相结合，这样可以更好地帮助我们理解和掌握函数的知识，使我们能更好地掌握数学，更好地应用数学。

编号：025 课题:函数的表示方法——第1课时 函数的表示方法

目标要求

1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象发、列表法、解析法）表示函数；

2.理解函数图象的作用；

3.会求函数的解析式.

重点难点

重点：函数的图象及其应用；

难点：函数的解析式的求法．

教学过程

基础知识点

1.表示函数的三种方法

解析法 用_______来表示两个变量之间的函数关系

列表法 用_______来表示两个变量之间的函数关系

图象法 用_______来表示两个变量之间的函数关系

2.本质:两个变量对应关系的三种不同方式的表示.

【思考】

函数的三种表示方法各有哪些优缺点?

提示:

表示

方法 优点 缺点

列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量对应的函数值 只能表示自变量可以一一列出的函数关系

图象法 能从整体上形象直观地表示出函数的变换情况 只能近似地求出函数值,而且有时误差较大

解析法 便于用解析式研究函数的性质 不够形象、直观,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来

【基础小测】

1.下列命题中正确的是 （ ）

A.任何一个函数都可以用解析法表示出来.

B.任何一个函数都可以用图象法表示出来.

C.函数的图象一定是连续不断的曲线.

D.有的函数的图象可以是一些孤立的点.

2.已知函数f(x)的图象如图所示,其中点A,B的坐标分别为(0,3),(3,0),则f(f(3))= ( ) A.2 B.4 C.0 D.3

3.某电脑城新进了100台笔记本电脑,每台售价4 000元,试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系,用解析法表示y=________.

关键能力·合作学习

类型一 函数的表示方法(数学建模)

【题组训练】

1.已知x∈Q时,f(x)=1;x为无理数时,f(x)=0,我们知道函数表示法有三种:①列表法,②图象法,③解析法,那么该函数y=f(x)应用________表示(填序号).