2021届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案
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第 1 页 共 12 页 2021届高三下学期高三第二次模拟联考数学（理）试题—含答案
20XX学年度第二学期高三第二次模拟联考
数学（理科）试卷年级
班级 姓名 学号
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请将答案写在答题卡各
题目的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。
4.作图题可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破弄皱，不准使用涂改液、修正带。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合
题目要求的。 第 2 页 共 12 页 1.已知，则（ ）
A .{1,
2} B.{1,
2, 3} C.{0,
1,
2} D.{1,
2, 3 , 4,}
2.设复数满足，则复数所对应的点位于（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.如下图的茎叶图为某次10名学生100米跑步的成绩（s），由茎叶图可知这次成绩的平均数，中位数，众数分别为(
)A．
51.9 52 60 B．5
2 54 60 C．
51.9 53 60 D．5
2 53 62 4.已知随机变量服从正态分布，且，，
等于（ ）
A.0. 第 3 页 共 12 页 2B．
C．
D．
5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，
竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于( )
A．4
B．
2 C．3
D．5
6.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（
）
A．
B．
C． 第 4 页 共 12 页 D．
7.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(
)
A B C D 8.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
) A．
B.
C.
D.
9.设x，y满足约束条，则的最大值为
A.
B.
C.-3
D.3
10.将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的是（
）
A．函数的最小正周期为
B．是函数的一条对称轴
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上的最小值为 第 5 页 共 12 页 11.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角．已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，1]时，
，则( ) A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.向量，，若向量，共线，且，则的值为_________．
14.二项式展开式中的常数项是__________．
15.已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上）
①若，，，则满足条的三角形共有两个；
②若，则；
③若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形； 第 6 页 共 12 页 ④若，，的面积，则．
16.已知四点都在半径为2的球的表面上，，则三棱锥的体积为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和Tn.18.
（本小题满分12分）
如图，在边长为的菱形中，对角线与交于点，把沿折起得到，记点在底面的投影为点．（1）求证：点在直线上．
（2）若二面角的余弦值为，点是的中点，求与所成角的余弦值．
19.（本小题满分12分）
为推行“新课堂”教学法，某校分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验．为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
分数 第 7 页 共 12 页 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 甲班频数 5 6 4 4
1 乙班频数
1 3 6 5 5 (1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
甲班 乙班 总计 成绩优良
成绩不优良 总计 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
临界值表：
P(K2≥k0) 0．10
0．05
0．025
0．010
k0
2．706
3．84
1 5．024
6．635
(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．
20.（本小题满分12分） 第 8 页 共 12 页 已知点A(0，－2)，椭圆E：
＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
21.(本小题满分12分）
已知函数，.（1）讨论的单调性；
（2）当,， 为两个不相等的正数，证明：.请考生从22、23题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选
题目的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、不涂或多答，按本选考题的首题进行评分。
22.
(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线与直线的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）；
（2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求的取值范围.23.
(本小题满分10分) 选修4―5:不等式选讲 设函数 （1）
当时，求不等式的解集； 第 9 页 共 12 页 （2）
若的解集是全体实数，求的取值范围。
数学（理科）答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合
题目要求的。
1-5 CDCBA 6-10 ADCAD
11-12 BC 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.
14.
45
15.
②③
16.
2 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：（1）设等比数列{an}的公比为，由题意可得：
即：，即：，所以 （2）
18.解：（1）连接，平面，又，，故点在线段的垂直平分线上．为等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可知线段的垂直平分线即为直线，故点在直线上．
（2）为二面角的平面角．
，， ． 第 10 页 共 12 页 过作平行于的直线，并将其作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则， ．设与所成的角为，
则．
19.解
(1)由统计数据得2×2列联表：
甲班 乙班 总计 成绩优良 9
16
25 成绩不优良
11 4
15 总计
20
20 40 根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为k＝≈5．227>5．024，
∴能在犯错概率不超过0．025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．
X 0
1
2 3 P (2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为×8＝3，则X的可能取值为0，1，2，3．P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝．∴X的分布列为：
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． 第 11 页 共 12 页 20.解
(1)设F(c，0)，由条知，＝，得c＝．又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1．故E的方程为＋y2＝1．
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0．当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1，2＝．
从而|PQ|＝|x1－x2|＝．又点O到直线PQ的距离d＝．所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝．设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝．因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0．所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2．
21.解（1）函数的定义域为，.
若，，则在区间内为增函数；
若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；
当时，，在区间内为减函数.（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，
令，则原不等式也等价于即.下面证明当时，恒成立.设，则， 故在区间内为增函数，，即， 所以.22.
解（1）曲线，即，即，即或， 由于曲线过极点，∴曲线的极坐标方程为 直线，即， 即，即，直线的极坐标方程为 （2）由题得，设为线段的中点，圆心到直线的距离为， 则它在时是减函数， ∴的取值范围．
