线性代数期末复习试卷及答案

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1 线性代数期末练习（三）

一、填空题（每题3分，共30分）

1. 已知110,122xABy，且AB，则x= , y= .

2. 计算行列式222233331111abcdabcdabcd= .

3. 若tA31322101,且0,0ABB,则t = .

4. 设为齐次线性方程组0AX的解，*为非齐次线性方程组AX=b的解，则*2

为的解.

5. 设1234101200101201D，求11121314AAAA= .

6. 已知1100120000210031A，则1A= .

7. 设三阶方阵1212,,,,2,3AB，其中,,,12

均是三维列向量且1,33AB, 则AB .

8. 设3阶方阵A的特征值为1,1,2，则12A .

9. 已知向量(4,1,1),(,2,2)TTaa正交，则a .

10. n阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是 .

二、选择题（每题3分，共15分） 2 1. 若齐次线性方程组1231231232000xxxxkxxkxxx有非零解，则k必须满足（）.

()4Ak ()1Bk ()41Ckk或 ()41Dkk且

2. 设,,ABX为同阶矩阵，且,AB可逆，则下列结论错误的是（）.

1()=,AAXBXAB若则 1()=,BXABXBA若则

11(),CAXBCXACB若则 11(),DABXCXABC若则

3. 向量组12(2)ss，，，线性相关的充分必要条件是（）.

12()sA，，，中至少有一个零向量

12()sB，，，中任意一个向量可由其余向量线性表示

12()sC，，，中至少有一个向量可由其余向量线性表示

12()sD，，，中任意一个部分组线性相关

4. 已知三阶矩阵A的特征值为2,1,3，I为单位矩阵，则下列矩阵中可逆矩阵是（）.

()2AIA ()2BIA ()CIA ()3DAI

5. 设A为n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是（）.

()TAxAx二次型的负惯性指数为零 ()BA没有负特征值

() TCnCACC存在阶矩阵，使得 ()DA与单位矩阵合同

三、计算题（每题8分，共40分）

1. 计算行列式 1122331001100110011aaaaaa 3 2. 设033110,2123AABAB，求B.

3. 问常数k取何值时, 方程组1232123123424xxkxxkxxkxxx无解，有唯一解，或有无穷多解，并在有无穷多解时写出其全部解.

4.求向量组12(2,1,1,1,2),(1,1,2,1,4),TT3(2,3,1,1,2),T

4(3,6,9,7,9)T的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.

5. 求一个正交变换，将二次型22212312233(,,)2363fxxxxxxxx化为标准形.

四、综合题（每题5分，共15分）

1. 已知n阶矩阵A满足220AAI，证明AI可逆，并求其逆（其中I为单位矩阵）.

2.判断向量组112,223,334,441的线性相关性.

3. 如果n阶矩阵A满足2AI（其中I为单位矩阵），证明()()rAIrAIn（r表示矩阵的秩）.

线性代数期末练习（三） (参考答案)

一、填空题（每题3分，共30分）

1. 已知110,122xABy，且BA，则x= 0 , y= 1 .

2. 计算行列式222233331111abcdabcdabcd= (d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) .

3. 若tA31322101,且0,0ABB,则t =52. 4 4. 设为齐次线性方程组0AX的解，*为非齐次线性方程组AX=b的解，则*2为____AX=b_____的解

5. 设1234101200101201D，求11121314AAAA= --1 .

6. 已知1100120000210031A，则1A=2100110000110032

7. 设三阶方阵 1212,,,,2,3AB，其中,,,12

均是三维列向量且1,33AB, 则5AB.

8. 设3阶方阵A的特征值为1,1,2，则12A --4 .

9. 已知向量(4,1,1),(,2,2)TTaa正交，则a -2 .

10. n阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .

二、选择题（每题3分，共15分）

1. 若齐次线性方程组1231231232000xxxxkxxkxxx有非零解，则k必须满足（ C ）.

()4Ak ()1Bk ()41Ckk或 ()41Dkk且

2. 设,,ABX为同阶矩阵，且,AB可逆，则下列结论错误的是（ D ）.

1()=,AAXBXAB若则 1()=,BXABXBA若则

11(),CAXBCXACB若则 11(),DABXCXABC若则

3. 向量组12(2)ss，，，线性相关的充分必要条件是（ C ）.

12()sA，，，中至少有一个零向量 5 12()sB，，，中任意一个向量可由其余向量线性表示

12()sC，，，中至少有一个向量可由其余向量线性表示

12()sD，，，中任意一个部分组线性相关

4. 已知三阶矩阵A的特征值为2,1,3，则下列矩阵中非奇异矩阵是（ A ）.

()2AIA ()2BIA ()CIA ()3DAI

5. 设A为n阶对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是（ D ）.

()TAxAx二次型的负惯性指数为零 ()BA没有负特征值

() TCnCACC存在阶矩阵，使得 ()DA与单位矩阵合同

三、计算题（每题8分，共40分）

1.计算行列式 1122331001100110011aaaaaa

解：1223321100010====0110011rraaaaa原式1232331000100010011aarraa1432310001010010001arraa.

2.设033110,2123AABAB，求B.

解：由2ABAB，得(2)AIBA，即：1(2)BAIA .

而112331331(2)1101132121111AI，则1(2)BAIA1330330331113110=1232111123110.

3.问常数k取何值时, 方程组1232123123424xxkxxkxxkxxx无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无 6 穷多解时写出其全部解.

解：系数矩阵行列式为111114112kAkkk

当0A时，即1k且4k，有唯一解;

当1k时，2131111411141111,000511240238rrrr，无解；

当4k时，213111441144141160552011240228rrrr21232114410301501140114200000000rrrrr

方程组有无穷多解，其全部解为：1233,4,,xkxkxkk为任意常数.

4.求向量组12(2,1,1,1,2),(1,1,2,1,4),TT3(2,3,1,1,2),T 4(3,6,9,7,9)T的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.

解：对1234(,,,)A进行初等行变换，得

2123111711171117113611360241300491219121901020102111721230141100492429242902450049A1911100110111744010201020102900199001001444000000000000000000000000

于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为321,,,并且4123119244．

5. 求一个正交变换，将二次型222122332363fxxxxx化为标准形.

解：二次型的矩阵为200033033A，200||033(2)(6)033AE，得矩阵A的特征值为1230,2,6. 7 对特征值10，解方程0Ax，因200100033~011033000r，得1(0,1,1)T.

对特征值22，解方程(2)0AEX，因000013013~001031000r，得2(1,0,0)T.

对特征值36，解方程(6)0AEX，因400100033~011033000r，得3(0,1,1)T.

线性代数期末试卷附加答案

大学生校园网— 线性代数综合测试题

共3页第1页大学线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1. 若022150131x，则__________。

2．若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足。

3．已知矩阵nsijcCBA)(，，，满足CBAC，则A与B分别是阶矩阵。

4．矩阵323122211211aaaaaaA的行向量组线性。

5．n阶方阵A满足032EAA，则1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）

1. 若行列式D中每个元素都大于零，则0D。（）

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）

3. 向量组maaa，，，21中，如果1a与ma对应的分量成比例，则向量组saaa，，，21线性相关。（）

0100100000010010A，则AA1。（）

5. 若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)

1. 设A为n阶矩阵，且2A，则TAA（）。

① n2 ② 12n ③ 12n ④ 4

2. n维向量组 s，，，21（3  s  n）线性无关的充要条件是（）。

① s，，，21中任意两个向量都线性无关

② s，，，21中存在一个向量不能用其余向量线性表示

③ s，，，21中任一个向量都不能用其余向量线性表示大学生校园网— 线性代数综合测试题

线性代数期末考试试卷+答案.

安全专项培训



×××大学线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题分，共分）

若022150131x，则。

．若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足。

．已知矩阵nsijcCBA)(，，，满足CBAC，则A与B分别是阶矩阵。

．矩阵323122211211aaaaaaA的行向量组线性。

．n阶方阵A满足032EAA，则1A。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题分，共分）

若行列式D中每个元素都大于零，则0D。（）

零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）

向量组maaa，，，21中，如果1a与ma对应的分量成比例，则向量组saaa，，，21线性相关。（）

0100100000010010A，则AA1。（）

若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。

三、单项选择题每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题分，安全专项培训

 共分

设A为n阶矩阵，且2A，则TAA（）。

①n2②12n③12n④

n维向量组s，，，21（）线性无关的充要条件是（）。

①s，，，21中任意两个向量都线性无关

线性代数期末考试试卷答案

大学数学线性代数期末考试题样卷

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1. 若022150131x，则__________。

2．若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足。

3．已知矩阵nsijcCBA)(，，，满足CBAC，则A与B分别是阶矩阵。

4．矩阵323122211211aaaaaaA的行向量组线性。

5．n阶方阵A满足032EAA，则1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）

1. 若行列式D中每个元素都大于零，则0D。（）

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）

3. 向量组maaa，，，21中，如果1a与ma对应的分量成比例，则向量组saaa，，，21线性相关。（）

0100100000010010A，则AA1。（）

5. 若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)

1. 设A为n阶矩阵，且2A，则TAA（）。

① n2 ② 12n ③ 12n ④ 4

2. n维向量组 s，，，21（3  s  n）线性无关的充要条件是（）。

① s，，，21中任意两个向量都线性无关

② s，，，21中存在一个向量不能用其余向量线性表示

③ s，，，21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

大学数学 ④ s，，，21中不含零向量

线性代数期末试卷及详细答案

⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。每⼩题2分，共10分）1、设1D =

， 2D =345

510200

，则D =12D D O

O =_____________。 2、四阶⽅阵A B 、，已知A =

116

，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。 3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且3

B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2

A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么

1A -=_____________。

5、设()11,1,1

α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，

则t=_____________。⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程

132136

02214

x x x x -+-=-

--成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；

（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为

（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22

A B A+B =A B --；（C ）()()2

A E=A E A+E --；（D ）()2

22AB =A B

3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()*

*A=

（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2

n A A -；

4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵

（A ）100002?? ???；（B ）100010011??

；

（C ）011101001-?? ?- ? ?

；（D ）010002100??- ；

5、下列命题正确的是

（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，

，m α 线性⽆关；

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