2009四川高考数学(理科)试题及参考答案
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2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学
第Ⅰ卷
本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件AB，互斥，那么 球的表面积公式 24πSR
()()()PABPAPB 其中R表示球的半径
如果事件AB，相互独立，那么 球的体积公式 34π3VR
()()()PABPAPB 其中R表示球的半径
一、选择题：
1. 设集合2|5,|4210,SxxTxxx则ST
Ａ.|75xx Ｂ.|35xx Ｃ.|53xx Ｄ.|75xx
２.已知函数22log(2)()24(22axxfxxxxx当时在点处当时）连续，则常数a的值是
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
３.复数2(12)34ii的值是
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i
4.已知函数()sin()()2fxxxR，下面结论错误．．的是
A.函数()fx的最小正周期为2 B.函数()fx在区间0,2上是增函数
C.函数()fx的图像关于直线0x对称 D.函数()fx是奇函数
5.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，,2PAABCPAAB平面，则下列结论正确的是
Ａ.PBAD Ｂ.平面PABPBC平面
C. 直线BC∥平面PAE Ｄ.PDABC直线与平面所成的角为45
6.已知,,,abcd为实数，且cd。则“ab”是“acbd”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知双曲线2221(0)2xybb的左右焦点分别为12,FF，其一条渐近线方程为yx，点0(3,)Py在该双曲线上，则12PFPF•=
A. 12 B. 2 C .0 D. 4
8.如图，在半径为3的球面上有,,ABC三点，90,ABCBABC，球心O到平面ABC的距离是322，则BC、两点的球面距离是
A.3 B. C.43 D.2
9.已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C.115 D.3716
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 PFEDCBAABCO
12.已知函数()fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1)()xfxxfx，则5(())2ff的值是
A.0 B.12 C.1 D.52
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13.61(2)2xx的展开式的常数项是 （用数字作答）
14.若⊙221:5Oxy与⊙222:()20()OxmymR相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
15.如图，已知正三棱柱111ABCABC的各条棱长都相等，M是侧 棱1CC的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大小是 。16．设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:,fVVaV，记a的象为()fa。若映射:fVV满足：对所有,abV及任意实数,都有()()()fabfafb，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则(0)0f
②对,()2aVfaa设，则f是平面M上的线性变换；
③若e是平面M上的单位向量，对,()aVfaae设，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，,abV，若,ab共线，则(),()fafb也共线。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
ABCA1B1C1M
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
在ABC中，,AB为锐角，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，且310cos2,sin510AB
（I）求AB的值；
（II）若21ab，求,,abc的值。
18. （本小题满分12分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E。
19（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45ABAEFAFEAEF
（I）求证：EFBCE平面；
（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMBCE平面？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（III）求二面角FBDA的大小。
20（本小题满分12分）
已知椭圆2221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，离心率22e，右准线方程为2x。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点1F的直线l与该椭圆交于,MN两点，且222263FMFN，求直线l的方程。
ABCDEFP
21. （本小题满分12分）
已知0,1aa且函数()log(1)xafxa。
（I）求函数()fx的定义域，并判断()fx的单调性；
（II）若()*,lim;fnnnanNaa求
（III）当ae（e为自然对数的底数）时，设()2()(1)(1)fxhxexm，若函数()hx的极值存在，求实数m的取值范围以及函数()hx的极值。
22. （本小题满分14分）
设数列na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记*4()1nnnabnNa。
（I）求数列nb的通项公式；
（II）记*221()nnncbbnN，设数列nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n都有32nT；
（III）设数列nb的前n项和为nR。已知正实数满足：对任意正整数,nnRn恒成立，求的最小值。
2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学参考答案
（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B
(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A
（13） -20 （14）4 （15）90 （16）①②③
1.设集合2|5,|4210,SxxTxxx则ST
Ａ.|75xx Ｂ.|35xx Ｃ.|53xx Ｄ.|75xx
【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。
解析：由题)3,7(T),5,5(S，故选择C。
２.已知函数22log(2)()24(22axxfxxxxx当时在点处当时）连续，则常数a的值是
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
解析：由题得3222log2aa，故选择B。
３.复数2(12)34ii的值是
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i
【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
解析：12591625)43)(34(43)21(2iiii，故选择A。
4.已知函数()sin()()2fxxxR，下面结论错误．．的是A.函数()fx的最小正周期为2 B.函数()fx在区间0,2上是增函数
C.函数()fx的图像关于直线0x对称 D.函数()fx是奇函数
【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）
解：xxfcos)(，其中A、C显然正确，故选择D。
5.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，,2PAABCPAAB平面，则下列结论正确的是
Ａ.PBAD Ｂ.平面PABPBC平面
、C. 直线BC∥平面PAE
Ｄ.PDABC直线与平面所成的角为45
【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）
解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作PBAG于G，
因面PAB面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由EFBC//，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。
PFEDCBA
