2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

1 2021年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．

1．设集合},,,{4321aaaaA，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{B，则集合A

．

2．函数11)(2xxxf的值域为

．

3．设ba,为正实数，2211ba，32)(4)(abba，则balog ．

4．如果)cos(sin7sincos3355，)2,0[，那么的取值范围是 ． 2

5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为

．（用数字作答）

6．在四面体ABCD中，已知60CDABDCADB，3BDAD，2CD，则四面体ABCD的外接球的半径为

．

7．直线012yx与抛物线xy42交于BA,两点，C为抛物线上的一点，90ACB，则点C的坐标为 ． 3

8．已知naC)95,,2,1(2162003200nnnn，则数列}{na中整数项的个数为 ．

4 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(xxf，实数)(,baba满足)21()(bbfaf，2lg4)21610(baf，求ba,的值．

10．（本小题满分20分）已知数列}{na满足：tta(321R且)1t，121)1(2)32(11nnnnnntattatan(N)*．

试卷第1页，共2页2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数

学联合竞赛一试及加试试题（A卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题

1．设复数910iz

（i为虚数单位），若正整数n

满足2023n

z

，则n

的最大值为 .

2．若正实数a

，b

满足lg

2b

a，lglg

5ab

ab，则lg()ab

ab的值为 .

3．将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为x

，y

，z

，则事件

“

7

77CCCxyz



”发生的概率为 .

4．若平面上非零向量

，

，

满足



，2



，3



，则

的最小值

为 .

5．方程sincos2xx

的最小的20个正实数解之和为 .

6．设a

，b

，c

为正数，ab

.若a

，b

为一元二次方程2

0axbxc的两个根，且a

，

b

，c

是一个三角形的三边长，则abc

的取值范围是 .

7．平面直角坐标系xOy

中，已知圆与x

轴、y

轴均相切，圆心在椭圆

22

22:10xy

ab

ab内，且与

有唯一的公共点

8,9

.则

的焦距为 .

8．八张标有

A，

B，C

，D，E，F，G

，

H的正方形卡片构成下图.现逐一取走这些

卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按

D，

A，

B，E，C

，F，G

，

H的次序取走卡片，但不可按D，

B，

A，E，C

，

F，G

，

H的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 .

二、解答题

9．平面直角坐标系xOy

中，抛物线2

:4yx，F为

的焦点，

A，

B为

上的两个不

重合的动点，使得线段AB的一个三等分点

P位于线段

OF上（含端点），记Q

为线段AB

的另一个三等分点.求点Q

的轨迹方程.

10．已知三棱柱

111:ABCABC

的9条棱长均相等.记底面ABC

所在平面为

.若的另试卷第2页，共2页

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2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题

20）

注意事项：

1.本试卷共二大题，全卷满分120分。2.用圆珠笔或钢笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程logxsinx2在区间(0,

2

2

]上的实根个数为_________________.

2.设数列8(

11n1

的最小整数n是)的前n项和为Sn，则满足不等式|Sn6|

3125

_________________.

3.已知n（nN，n2）是常数，且x1，x2，，xn是区间0,

内任意实数，则函数2

的

最

大

值

等

于

f(x1,x2,,xn)sinx1cosx2sinx2cosx3sinxncosx1

_________________.

4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.

5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.

6.设O是平面上一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ACAB

，其中[0,)，则点P的轨迹为_________________.OPOA|AC||AB|

7.对给定的整数m，符号(m)表示1,2,3中使m(m)能被3整除的唯一值，那么

(220101)(220102)(220103)_________________.

8.分别以直角三角形的两条直角边a，b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为Va，Vb，Vc，则VaVb与(2Vc)的大小关系是_________________.

2

2

2

二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分16分）

年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷

一、选择题

1、下列三数16273,log82,log1242的大小关系正确的是 （ ）

A、16273log82log1242 B、27163log124log822

C、27163log124log822 D、27163log124log822

2、已知两点A（1,2），B（3,1）到直线L距离分别是2，52，则满足条件的直线L共有（ ）

A、1条 B、2条 C、 3条 D、 4条

3、设()fn为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

22212312314f。记1()()fnfn，1()(())kkfnffn，1,2,3...k，则2006(2006)f（ ）

A、20 B、4 C、42 D、145

4、设在xOy平面上，20yx，01x所围成图形的面积为13，则集合

2(,)|||||1,(,)|||1MxyyxNxyyx的交集MN所表示的图形面积为（ ）

A、13 B、23 C、1 D、43

5、在正边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ ）。

A、 B、21003 C、210031003 D、210031002

6、函数sincostancotsincostancot()sintancostancoscotsincotxxxxxxxxfxxxxxxxxx在(,)2xo时的最小值为（ ）。

A、2 B、4 C、6 D、8