平面向量的基本原理

学必求其心得，业必贵于专精

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1 平面向量基本定理含解析

6.3 平面向量基本定理及坐标表示

6．3.1 平面向量基本定理

[目标］ 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．

[重点] 平面向量基本定理．

[难点] 平面向量基本定理的应用．

要点整合夯基础

知识点 平面向量基本定理

[填一填］

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

［答一答］

1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？

提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．

2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一学必求其心得，业必贵于专精

点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使OP→＝错误!＋错误!？

提示：能。 过点P作OA、OB的平行线，分别与OB、OA相交，交点即为N、M.

3．若向量a，b不共线，且c＝2a－b,d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．

提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ（3a－2b)，即(2－3λ)a＋（2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底。

典例讲练破题型

类型一 基底的概念

［例1] 下面说法中，正确的是（ ）

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．

平面向量基本定理推论

1.引言

1.1 概述

概述部分的内容：

在平面向量的研究中，平面向量基本定理是一个基础且重要的定理。它是数学中向量的基本理论之一，描述了向量的基本性质和运算规律。通过平面向量基本定理，我们可以深入理解和应用向量的概念，解决各种与向量相关的问题。

本文将以平面向量基本定理为基础，介绍其重要的推论。这些推论是从平面向量基本定理中推导出来的，通过进一步分析和推理，得到了更具体、更实用的结论。这些推论将帮助我们更好地理解和应用向量的性质，在解决实际问题中发挥重要作用。

通过对平面向量基本定理及其推论的学习，我们可以更深入地了解向量的几何和代数性质，进一步提升我们的数学思维和解题能力。同时，这些推论也为我们进一步研究和应用向量提供了良好的基础。

本文将首先对平面向量基本定理进行简要介绍，然后详细阐述与该定理密切相关的两个重要推论。最后，我们将对全文进行总结，并展望通过平面向量基本定理及其推论可以进一步拓展的领域和问题。

通过对这一主题的深入探讨，我们可以更好地理解平面向量的性质和运算，提高数学素养和问题解决能力。同时，也为我们学习和研究其他相关数学理论打下了坚实的基础。让我们开始这篇关于平面向量基本定理推论的探索吧！

1.2文章结构

文章结构部分的内容可以写成这样：

1.2 文章结构

本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。

- 引言部分（Section 1）对平面向量基本定理的推论进行了概述，说明了本文的背景和目的。

- 正文部分（Section 2）详细阐述了平面向量基本定理及其两个推论。2.1小节介绍了平面向量基本定理的定义和特性，帮助读者建立起相关概念。2.2小节阐述了推论1，探讨了其推导过程和应用。2.3小节则讨论了推论2，深入分析了其意义和实际应用。

- 结论部分（Section 3）对全文进行了总结，并对未来可能的研究方向进行了展望。

通过以上的文章结构，读者可以逐步了解平面向量基本定理及其推论，并对其理论和应用有一个清晰的认识。同时，文章结构的合理安排也使得读者可以更好地掌握文章的逻辑脉络，提高了文章的可读性和科学性。

数学必修二平面向量基本定理

平面向量是解决平面几何问题的重要工具，它不仅在数学中有着重要的应用，而且在物理学、工程学等自然科学中也具有广泛应用。平面向量的基本定理指的是平面向量的加法、减法和数量乘法满足一定的运算规律。下面将分别从平面向量的定义、运算规则以及基本定理来介绍平面向量的基本原理。

一、平面向量的定义

平面向量可以看作是有大小和方向的有向线段，通常用一个有箭头的字母来表示，如→a、→b等。向量的大小用模长或长度表示，记作|→a|或||→a||。平面向量的方向用有方向的线段表示。有向线段的起点称为向量的起点，终点称为向量的终点。向量的起点和终点可以重合，也可以不重合。

平面向量有两个重要的性质：大小和方向。大小是指向量的长度，方向是指向量的指向。如果两个向量的大小和方向都相等，则这两个向量相等。对于两个相等的向量，必有相同的大小和相同的方向。

二、平面向量的运算规则

1. 加法运算

设有两个平面向量→a和→b，它们的和记作→c=→a+→b。求得和向量的方法是将→b的起点与→a的终点相接，连接起→a的起点和→b的终点得到一条新的线段，新线段的方向即为和向量的方向，新线段的长度即为和向量的大小。

2. 减法运算

设有两个平面向量→a和→b，它们的差记作→c=→a-→b。求得差向量的方法是将→b的起点与→a的终点相接，连接起→b的起点和→a的起点得到一条新的线段，新线段的方向即为差向量的方向，新线段的长度即为差向量的大小。

3. 数量乘法

设有一个平面向量→a和一个实数k，它们的数量乘积记作→b=k→a。数量乘法的运算是将向量→a的长度乘以实数k得到一个新的长度，方向不变。

平面向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意平面向量→a、→b和→c，有：

→a+→b=→b+→a；（交换律）

(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。（结合律）

平面向量的乘法运算满足结合律和分配律，即对于任意平面向量→a、→b和实数k和l，有：

平面向量的坐标平移与平移矩阵

平面向量的坐标平移是指在平面内对向量进行平移操作，即通过改变向量的起点和终点的位置来实现。平移操作是二维向量的基本操作之一，并且在图形学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

1. 平面向量的坐标平移原理

平面向量是由起点和终点两个点确定的，并且可以看作是从起点指向终点的箭头。当平面向量发生平移时，只需要改变向量的起点和终点的位置，而不改变向量本身的方向和长度。

2. 平移矩阵的推导

平移操作可以用矩阵来表示，称为平移矩阵。设平面向量p的坐标为(x, y)，进行平移操作后得到的新向量p'的坐标为(x', y')。根据向量的定义，可以得到以下关系：

x' = x + a

y' = y + b

其中a和b分别表示平移的横向和纵向的平移距离。将上述关系转化为矩阵形式，可以得到平移矩阵T如下：

T = | 1 0 a |

| 0 1 b |

| 0 0 1 | 其中，平移矩阵T是一个3x3的矩阵，第三行用于保持向量的齐次坐标为1。

3. 平面向量的坐标平移示例

假设有一个平面向量p的坐标为(2, 3)，现在需要将该向量沿横向平移3个单位长度，纵向平移5个单位长度。根据坐标平移原理和平移矩阵的定义，可以得到平移后的向量p'的坐标：

x' = x + 3 = 2 + 3 = 5

y' = y + 5 = 3 + 5 = 8

因此，平移后的向量p'的坐标为(5, 8)。

4. 平面向量的坐标平移性质

通过平移矩阵可以得到以下平面向量的坐标平移性质：

(1) 平移矩阵是可逆的，即可以通过平移矩阵的逆矩阵来实现平移操作的逆过程。

(2) 平移矩阵的乘法满足结合律，即两个平移矩阵相乘的结果等于两次平移的结果。

(3) 平移矩阵的乘法满足交换律。对于两个平移矩阵T1和T2，T1 ×

T2 = T2 × T1。

(4) 平面向量的坐标平移可以与其他几何变换（如旋转、缩放等）相结合，从而实现多个变换的组合。 5. 平面向量的坐标平移应用