平面向量基本定理
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平面向量基本定理教案
教材内容：
人教版必修四第二章第三节第一课时
教材分析：
本节课的主要内容实质是向量在平面内的用基底线性表示。本节课的内容是学生在学习了向量的相关概念及向量的线性运算的基础上对向量在平面内的进一步理解，是平面向量坐标表示的基础，为向量的坐标表示提供理论依据。在知识系统中起到了承上启下重要作用。
学情分析：
从知识水平来看学生已经学习了向量的相关概念以及线性运算，在物理学中学习了有实际意义的向量的合成与分解，有了一个良好的知识基础。学生在这个基础之上能够很快的进入数学情境。但学生在用基底线性表示任意向量上有一定的思维难度，需要教师从特殊到一般层层递进的引导。从思维、心理水平发展水平来看，此阶段学生已经具备一定的逻辑思维、探究归纳、类比推理水平。在知识学习的过程中有了一定的主动性。
教学目标：
知识与技能：了解平面向量的基本定理；掌握平面内任意一个向量都能够用不共线的两个向量表示方法，并能够在具体问题中选用适当的基底。
过程与方法：在适当的教学情境中培养学生发现问题、解决问题的水平；通过引导学生对定理在具体问题中的应用，培养学生分析问题、解决问题的水平；在教学过程中多采用探究合作的教学方法，培养学生合作探究自主学习水平。
情感、态度与价值观：通过本节课的内容，让学生发现知识的内在联系，让学生用联系的观点看待内容；让学生体验到知识系统的整体性与应用性；在教学过程中充分让学生领悟数学的无穷魅力。
教学重点：平面向量的基本定理
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用
教学过程：
一、创设情境，导入新知
我们知道矢量是有实际意义的向量，那么我们来看这样的一道题。
引例：小明和哥哥共提一桶5kg的水，小明与哥哥的手臂与水平面的夹角都为45°，那么小明和哥哥分别用了多大的力？
分析：如果要提起5kg的水，即有一个大小50N方向向上的力与之平衡即可。那么这50N的力来自于哥哥与弟弟的分力。根据平行四边形法则求解合力在定方向上的分力。
【设计意图】：通过创设简单的物理学里的合成与分解情境，在未形成概念之前让学生初步感受基底。在练习思考中探究向量加法的逆运算，引发学生思考如何把任意的向量用其他两个分量线性表示呢？激发学生探求新知的欲望。
二、启发合作，探究交流
问题1：已知平面内的任意两个向量21,ee，你能作出2123eea吗?
预设：学生在向量的线性运算知识基础上，使用平行四边形法则，得出答案。
【设计意图】：从学生已有的知识着手，向新知过渡。让学生作出向量的图形，直观的感受向量与基底之间的关系。
问题2：那么已知任意非零a，那么能够表示成2211ee的形式吗？
提示：若向量不共起点，我们先将其平移至同一起点。
预设：问题1中的a是由21,ee线性运算得到的。如果a是任意的，那么很据平行四边行法则，将a视为平行四边形的对角线，必定能找到一组邻边。那么对于任意的a也能得到这个结论。
【设计意图】：学生在问题1的基础上很容易就能知道a能够由其他两个向量经过向量的线性运算得到。进而理解任意的非零向量a都能够得到这个结论。由正向运算向逆向运算过渡，由特殊个例向一般任意a过渡。
问题3：平面内的任意向量a都能够由这个平面内的两个向量表示出来吗？
预设：有同学未加详细思考，没有注意到细节问题，答案是肯定的，但是肯定有同学在问题1，作图的过程中已经考虑到任意向量21,ee共线的情况，或者出现有同学在图形中观察到了共线的情况下这个命题是不成立的。最后得出任意的向量a都能够用平面内的其他两个不共线向量线性表示
【设计意图】：此处学生的思维出现了分歧，不同基础的学生发现问题的角度是不一样的。通过不同思维的碰撞能够使学生发现、补充自己的不足。在与同学交流、探索中的过程中获得新知，建立学习过程中的自信心，培养数学学习的成就感。在此提供给学生试误的机会，更助于学生对概念的理解，突破重点。
问题4：已知任意的向量a都能够用平面内的其他两个不共线向量线性表示，那么这种表示是唯一的吗？如果21,ee确定了，那么21,是唯一确定的吗？
预设：根据前3个问题的探讨，已经能够知道这种表示是不唯一的。那么反过来当21,ee确定了，会发现线性表示的系数是唯一的。
【设计意图】：进一步的廓清概念的外延。让学生在探究中辨析定理，理解定理。 总结：平面内任意向量都能够由这个平面内任意两个不共线的向量表示出来。这两个向量确定之后，任何一个向量都能够用这个向量来量化。
三、知识建构，形成概念
1、平面向量的基本定理：
如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,，使211eea。
（ 21,ee叫做表示这个平面内所有向量的一组基底）
定理解读：
1.21,ee不共线。
2.21,ee确定之后，21,是唯一确定的。
3.任意向量都能够有无穷多对基底线性表示。
2、关于向量夹角的规定：范围：],0[
【设计意图】：让学生通过合作探究的方式自主完成对新知的构建。在学生自主合作探究之后给出严格的定理。有助于学生对定理的理解。并且对定理的关键内容实行解读，突破难点。
四、牛刀小试，夯实基础
例1：已知21,ee，求作向量2135.2ee？还有其他的做法吗？
例2：引例中小明与哥哥提水，哥哥有什么方法能够让弟弟更省力？
【设计意图】：两道例题由易到难，层层递进。例题1 即为概念的基础使用，例题2融入引例情境。让同学们深入探究将数学知识应用具体问题。符合当代数学“人人学习有用的数学”理念。在例题2中能够让同学实行开放式的讨论。让学生能在学习新知过后，解决问题，建立数学学习的自信心。
五、教学评价
1、过程性评价：在新知构建过程中，我将采用问题探究的形式展开课堂，课堂结构层层深入。在问题探究环节，教师作为课堂活动引导者、组织者和合作者，我将重视学生思维的转变，在问题抛出之后针对学生的回答及讨论情况，对存疑问题实行讨论，在学生合作探讨的过程中对部分学生实行个别点拨。
2、终结性评价：
随堂小测：书上简单例题1—3道
大致把握本节课学生对内容的掌握情况，以便后续学习活动的展开。同时让学生检验学习的成果。
六、随堂归纳，课堂小结 提出问题：本节课我们主要学习了哪些知识，他们之间的内在联系？
在探究学习过程中你体会最深刻的是什么？
这个知识能够应用到那些方面？
对于本节课的内容你有什么疑惑的地方？有什么感想（收获）？
【设计意图】：让学生自主对本节课的知识实行梳理，针对学生没有注意到的点即时的反馈，发现问题，即时解决问题。达到生生合作，师生合作的的良性沟通。
七、课后作业，课堂延展
1、必做题：书：
2、选做题：在正方体中将体对角线视为a，那么以他的边和对角线为基底共有多少组表示方法？
3、探究题：
平面向量我们能够用两组基来线性表示，那么在空间中，向量也能够用基底来线性表示表示吗？
八、板书设计
平面向量基本定理
引入：
问题1：
问题2：
问题3：
问题4：
定理：
注意：1、
2、
3、 例题：
(教师板演、学生答题)
