2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理 新人教A版选修2-3

1 5.1 二项式定理

1．能用计数原理证明二项式定理．(难点)

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理 二项式定理

阅读教材P23～P24“例1”以上部分，完成下列问题．

1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________.

【答案】 C0nan＋C1nan－1b＋„＋Crnan－rbr＋„＋Cnnbn

2．二项式系数：__________________________________________________.

【答案】 Crn(r＝0,1,2，„，n)

3．二项式通项：______，即二项展开式的第______项．

【答案】 Crnan－rbr r＋1

4．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝________________________.

【答案】 1＋C1nx＋C2nx2＋„＋Crnxr＋„＋xn

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )

(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )

(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )

(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )

【解析】 (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．

(2)× 因为二项式的第k＋1项Cknan－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项 2 Cknbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．

(3)× 因为Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．

(4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn.

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

2

3[课时作业]

[A组　基础巩固]

1．若x∈{1,2,3}，y∈{5,7,9}，则x·y的不同值个数是( )

A．2 B．6

C．9 D．8

解析：求积x·y需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有

3×3＝9个不同的值．

答案：C2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个

数为( )A．40 B．16

C．13 D．10

解析：分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直

线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．

答案：C3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )

A．3种 B．6种

C．7种 D．9种

解析：分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3

种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．

答案：C4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )

A．30个 B．42个

C．36个 D．35个

解析：第一步，取b，有6种方法；第二步，取a，也有6种方法，根据分步乘法计数原理

得，共有6×6＝36种方法，即虚数有36个．

答案：C5．如图所示，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂

色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则

不同的涂色方法共有( )A．288种 B．264

种2

3C．240种 D．168种

解析：先涂A，D，E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后按B，C，F的顺序涂色，

分为两类；一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一种是B与E

和D均不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264

种．

答案：B6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，

word

1 / 11 二项式定理习题课

教学目标

知识与技能

1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．

4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．

过程与方法

1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．

2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．

3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．

情感、态度与价值观

1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．

2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．

3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．

重点难点

教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．

教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．

教学过程

复习巩顾

前面我们学习了二项式定理，请回顾：

1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，word 2 / 11 通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．

2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)

(1)对称性：____________________.

(2)性质2：______________________.

(3)二项式系数的最大值________________________．

学必求其心得，业必贵于专精

1 章末达标测试(一）

(本卷满分150分，时间120分钟）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有

A．210个 B．300个 C．464个 D．600个

解析 由于组成无重复数字的六位数，个位数字小于十位的与个位数字大于十位的一样多，所以有错误!＝300(个）．

答案 B

2．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有

A．7种 B．8种 C．6种 D．9种

解析 要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”,分3类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法,买3张IC卡有2种方法，共有2＋3＋2＝7种不同的买法．

答案 A

3．若A错误!＝6C错误!，则m等于

A．9 B．8 C．7 D．6

解析 由m(m－1)(m－2）＝6·错误!，解得m＝7。

答案 C 学必求其心得，业必贵于专精

2 4．(1＋x）3＋（1＋x)4＋…＋（1＋x)n＋2(x≠－1,n∈N*）的展开式中x2的系数是

A．C错误! B．C错误! C．C错误!－1 D．C错误!－1

解析 先把(1＋x）3，(1＋x)4，…，(1＋x)n＋2看作等比数列求和．

原式＝错误!＝错误!［(1＋x)n＋3－（1＋x)3］，

原式展开式中x2的系数就是(1＋x)n＋3与（1＋x)3展开式中x3的系数之差，C错误!－C错误!＝C错误!－1，故选D.

答案 D

5．若从1，2，3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有