高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理优化练习新人教A版选修2-3
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1.3.1 二项式定理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n＋1项．
答案：B
2．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
答案：D
3．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：先求出(1＋x)5含有x与x2的项的系数，从而得到展开式中x2的系数．(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，∴x2的系数为10＋5a＝5，∴a＝－1，故选D.
答案：D
4．使3x＋1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：Tr＋1＝Crn(3x)n－r1xxr＝Crn3n－rx5r2n，当Tr＋1是常数项时，n－52r＝0，当r＝2，n＝5时成立．
答案：B 桑水 5．(x2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：(1x2－1)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(1x2)5－r·(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.
当因式(x2＋2)提供x2时，则取r＝4；当因式(x2＋2)提供2时，则取r＝5.
所以(x2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是5－2＝3.
答案：D
6．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
解析：利用二项展开式的通项公式求解．
x2y7＝x·(xy7)，其系数为C78，
x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C68，
∴x2y7的系数为C78－C68＝8－28＝－20.
答案：－20
7．在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．
解析：二项展开式的通项公式Tk＋1＝Ck20x20－k·(43y)k＝Ck20(43)kx20－kyk(0≤k≤20)．要使系数为有理数，则k必为4的倍数，所以k可为0,4,8,12,16,20共6项，故系数为有理数的项共有6项．
答案：6
8．已知x＋2x2n的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14∶3，则展开式中的常数项为________．
解析：由已知条件得：C4n∶C2n＝14∶3，整理得：n2－5n－50＝0，
所以n＝10，所以展开式的通项为：
Tk＋1＝Ck10(x)10－k·2x2k
＝Ck10·2k·x1052k，
令10－5k2＝0，得k＝2，
所以常数项为第三项T3＝22C210＝180.
答案：180
9．用二项式定理证明1110－1能被100整除． 桑水 证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110×109＋…＋C910×10＋1)－1
＝1010＋C110×109＋C210×108＋…＋102
＝100×(108＋C110×107＋C210×106＋…＋1)，
∴1110－1能被100整除．
10.x＋23xn展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．
解析：由题意知C8n＝C9n，
∴n＝17，Tr＋1＝Cr17x172r·2r·x3r，
∴17－r2－r3＝1，
∴r＝9，
∴Tr＋1＝C917·x4·29·x－3，
∴T10＝C917·29·x，
其一次项系数为C91729.
[B组 能力提升]
1．若二项式2x＋ax7的展开式中1x3的系数是84，则实数a＝( )
A．2 B.54
C．1 D.24
解析：Tr＋1＝Cr7·(2x)7－r·axr＝27－rCr7ar·1x2r－7.令2r－7＝3，则r＝5.由22·C57a5＝84得a＝1.故选C.
答案：C
2．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝Crn1n－r·(3x)r＝Crn·3r·xr.依题意得C5n·35＝C6n·36，即nn－n－n－n－5！＝3×nn－n－n－n－n－6！(n≥6)，得n＝7.
答案：B
3．若(x＋a)5的展开式中的第四项是10a2(a为大于0的常数)，则x＝________. 桑水 解析：∵T4＝C35(x)2·a3＝10x·a3，
∴10xa3＝10a2(a>0)，∴x＝1a.
答案：1a
4．(2015年高考福建卷)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．
解析：Tr＋1＝Cr5x5－r·2r，令5－r＝2，得r＝3，所以x2的系数为C35×23＝80.
答案：80
5．若二项式x－ax6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，求a的值．
解析：∵Tr＋1＝Cr6x6－r－axr＝(－a)rCr6x362r－，
令r＝2，得A＝C26·a2＝15a2；
令r＝4，得B＝C46·a4＝15a4.
由B＝4A可得a2＝4，又a>0，
所以a＝2.
6．在二项式3x－123xn的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求展开式的第四项；
(2)求展开式的常数项．
解析：Tr＋1＝Crn(3x)n－r－123xr
＝－12rCrnx1233nr－.
由前三项系数的绝对值成等差数列，
得C0n＋－122C2n＝2×12C1n，
解这个方程得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)展开式的第4项为：
T4＝－123C38x23＝－73x2.
(2)当83－23r＝0，
即r＝4时，常数项为－124C48＝358. 桑水
