考点二 命题及其关系、充分条件与必要条件
知识梳理
1．命题的概念
可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及相互关系
(1)
四种命题
命题
表述形式
原命题 若p，则q
逆命题 若q，则p
否命题 若非p，则非q
逆否命题 若非q，则非p
(2) 四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
4．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
(3) 如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件．
(4) 如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．
(5) 如果p q，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
典例剖析
题型一 四种命题及其相互关系
例1 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案 B
解析 将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
变式训练 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
答案 C
解析 由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.
充分条件与必要条件
【学习目标】
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；
2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；
3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系；
4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.
【要点梳理】
要点一：充分条件与必要条件、充要条件的概念
1. 符号pq与pq的含义
“若p，则q”为真命题，记作：pq；
“若p，则q”为假命题，记作：pq.
2. 充分条件、必要条件与充要条件
①若pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.
②如果既有pq，又有qp，就记作pq，这时p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件.
要点诠释：对pq的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q.
①“若p，则q”为真命题；
②p是q的充分条件；
③q是p的必要条件.
以上三种形式均为“pq”这一逻辑关系的表达.
要点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断
1. 从逻辑推理关系看
命题“若p，则q”，其条件p与结论q之间的逻辑关系.
①若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
②若pq，但qp，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；
③若pq，且qp，即pq，则p、q互为充要条件；
④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
2. 从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，则q：x∈B.
①若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若A是B的 真子集，则p是q的充分不必要条件；
③若A=B，则p、q互为充要条件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.
要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪个是条件，哪个是结论；
1
学员编号： 年 级： 高一 课时数：3
学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师:
课 题 四种命题形式 充分条件与必要条件
授课日期及时段
教学目的 1、 理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题，否命题，逆否命题
2、 理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。
教学内容
【知识梳理】
1.什么是命题？命题的四种形式？四种命题的关系？如何写命题的否定形式？
2.什么是推出关系？
3.如何通过证明逆否命题来证明一个命题的真假？
4.什么是充分条件？什么是必要条件？什么是充要条件？
5.如何从子集的角度来理解推出关系？
6.如何从子集的角度来理解充分条件与必要条件？
1、判断真假的语句称为命题，通常用陈述句表述。命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；
2、四种命题：原命题，否命题，逆命题，逆否命题，
记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
3．
4.在写命题的否定形式时，既要否定条件，又要否定结论。
5.推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系，表示如果这件事成立，则可推出这件事也成立。推出关系具有传递性。如果两个命题，A,BAB，且 BA，则称A,B为等价命题。 互否 原命题
，那末如果 逆命题
，那末如果
否命题
，那末如果 逆否命题
，那末如果 互否 互逆
互逆 逆 逆
否 否
2
6.一个命题和它的逆否命题等价，二者同真同假，所以当直接证明原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题。
专题02 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系；
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。
1．充分条件、必要条件与充要条件
（1)“若p,则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．
(2）如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q,则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．
p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
2．命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价（同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．
【特别提醒】等价命题和等价转化
（1)逆命题与否命题互为逆否命题;
（2)互为逆否命题的两个命题同真假;
（3）当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．
高频考点一 四种命题的关系及其真假判断
例1、（1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0"为假命题
(2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则｜z1|＝｜z2｜"，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ）
A．真、假、真 B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假
【答案】 (1)C （2)B
【感悟提升】(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明;判断一个命题为假命题，只需举出反例．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假"这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
