沪教版六年级数学第一学期 第十四讲 专题——圆和扇形的拓展
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第十四讲
圆和扇形的拓展
与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题，将所求的对象进行适当的移动、分割或拼补以简化计算是常用的方法．
圆的面积2πr；扇形的面积2π360nr；
圆的周长2πr；扇形的弧长2π360nr．
板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用
【例题1】
【基础题】求下列各图中阴影部分的面积．
(1)1010 (2)ba 【分析】在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为5的三角形，利用三角形面积公式可以求得；在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b，宽为a的长方形，利用长方形面积公式可以求得
解：
（1）S阴影 252101021
（2）S阴影abba
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专业文档 可修改 欢迎下载 【延伸题】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
【分析】割补法．如下图，格线部分的面积是36平方厘米．
解：
把不规则图形转化成了一个正方形，求得：
S=6×6=36（平方厘米）
【变形题】如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)
【解析】将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为2553.14239.25(cm)
【拓展题】如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (π取3)
【分析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
解：
如下图，连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为4的正方形．可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下4个14圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为224π119(平方厘米)．
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专业文档 可修改 欢迎下载 DCBA67CBADCBAODCBAOABCDE(2)(1)EDCBA板块二 曲线型面积计算
【例题2】
【基础题】如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的34倍，则角CAB的度数是________．
【解析】设半圆ADB的半径为1，则半圆面积为21ππ122，扇形BAC的面积为π42π233．因为扇形BAC的面积为2π360nr，所以，22ππ23603n，得到60n，即角CAB的度数是60度．
【延伸题】如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7，分别以,BC为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度？(π3)
【解析】
167212ABCS△,三角形ABC内两扇形面积和为21174，
根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360BC°,
所以120BC°,60A°.
【变形题】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．
【解析】如图，连接OC、OD、CD．
由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC和COD都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD的面积与OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846．
板块三 曲线型旋转问题
【例题3】
【基础题】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，60ABC，此时BC长5厘米．以点B为中心，将ABC顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(π取3)
【解析】注意分割、平移、补齐．
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，
因为60EBD，那么120ABE，
则阴影部分为一圆环的13．
所以阴影部分面积为221π753ABBC(平方厘米)． 最新 WORD 欢迎下载 可修改
专业文档 可修改 欢迎下载 A2A1ABCDEⅠⅡⅢⅣ
【延伸题】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，再绕顶点C顺时针旋转90°后到达长方形Ⅲ的位置，再绕顶点D顺时针旋转90°后到达长方形Ⅳ的位置，点A到达点E的位置．求点A走过的路程的长．
ⅣⅢⅡⅠEDCBA 【解析】因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．
这三段路程分别是：
第1段是弧1AA，它的长度是12π44(cm)；
第2段是弧12AA，它的长度是12π54(cm)；
第3段是弧2AE，它的长度是12π34(cm)；
所以A点走过的路程长为：1112π42π52π36π444(cm)．
【拓展题】如图所示，大圆周长是小圆周长的n(1n)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？
【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n”．
⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2π(1)n．
所以小圆绕自己的圆心转动了：2π(1)12πnn(圈)． 最新 WORD 欢迎下载 可修改
专业文档 可修改 欢迎下载 图（1） 图（2）
⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．
因为圆心滚动的距离为2π(1)n．
所以小圆绕自己的圆心转动了：2π(1)12πnn(圈)．
1、在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？
2、直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起如图，试求金属带的长度和阴影部分的面积。
3、如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．
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专业文档 可修改 欢迎下载 FEDCBA
4、如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)
5、半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
答案：
1、2
2、（4+π）米，（41-1）平方米。
3、2.5
4、15
5、1圈
1、最困难的事就是认识自己。20.11.1811.18.202010:2210:22:20Nov-2010:22
2、自知之明是最难得的知识。二〇二〇年十一月十八日2020年11月18日星期三
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4、与肝胆人共事，无字句处读书。11.18.202011.18.202010:2210:2210:22:2010:22:20
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8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。10:2210:22:2011.18.2020Wednesday, November 18, 2020 亲爱的用户：
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