2024年中考数学总复习第一部分考点梳理第13讲二次函数的图象及性质

考点11 二次函数的图象性质及其相关考点

二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最

重要的考点。而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与

方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也

时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

一、二次函数的表达式

二、二次函数的图象特征与最值

三、二次函数图象与系数的关系

四、二次函数与方程、不等式（组）

五、二次函数图象上点的坐标特征

考向一、二次函数的表达式

1.二次函数的3

种表达式及其性质作用名称通式适用范围

一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达

式

顶点式y＝a（x-m）2+h（a≠0）当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式求其表

达式

交点式y＝a（x-x

1）(x-x

2)（a≠0）其中，（x

1，0）(x

2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，故知道抛

物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式

相互联系二次函数表达式间的转化，一般式往顶点式转化，常用配方法进行；

2.二次函数平移的方法：

①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），

②“左加右减（x），上加下减（y）”；

1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项 ，一次项系数为 ，常数项

为 ．

2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）

A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3

C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6

3．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经

过这两次平移后所得抛物线的解析式是（ ）

A．y＝2（x﹣3）2+3B．y＝2（x+3）2+3

C．y＝2（x﹣3）2+1D．y

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【复习目标】

1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．

2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．

3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律．

【知识梳理】

1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______．

3．抛物线的开口方向由a确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______．

4．抛物线与y轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y轴的_______半轴有交点；当c＝0时，抛物线过________．

5．若a_______0，当x＝2ba时，y有最小值，为_______；

若a_______0，当x＝2ba时，y有最大值，为_______．

6．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧．y随x的增大而_______．

7．当m>0时，二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝a（x＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝ax2＋k的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”．

【考点例析】

.

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 第一局部 第三章 课时13

如下图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过B(－1,0)，顶点坐标为C(1，－4)．

(1)求抛物线的函数解析式，并写出点A的坐标；

(2)连接AC，点D是线段AC上一个动点(不与点A，C重合)，过点D作y轴的垂线，垂足为E，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF.

①求△DEF的最大面积；

②求此时点D的坐标．

解：(1)∵抛抛物线的顶点坐标为C(1，－4)，

∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1) 2－4.

∵图象经过点B(－1,0)，

∴0＝a(－1－1) 2－4，解得 a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(－1,0)，

∴点A的坐标为(3,0)．

(2)①∵A(3,0)，C(1，－4)，

∴设直线AC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，那么有

 3m＋n＝0，m＋n＝4， 解得 m＝2，n＝－6，

∴直线AC的解析式为y＝2x－6.

∵点D在AC上，∴设点D(x,2x－6)，

∴S△DEF＝12DE·DF＝12·x·[－(2x－6)]＝－x2＋3x(1＜x＜3)，

∴当x＝－32×－1＝32时，S取最大值94.

②当x＝32时，点D的坐标为(32，－3)．

1

2024年中考数学真题汇编

专题14 二次函数的图象与性质+答案详解

（试题部分）

一、单选题

1

．（2024·

内蒙古包头·

中考真题）将抛物线2

2yxx=+向下平移2

个单位后，所得新抛物线的顶点式为（

）

A

．()2

13yx=+− B

．()

=+−2

yx12 C

．()2

13yx=−− D

．()2

12yx=−−

2

．（2024·

广东广州·

中考真题）函数2

1yaxbxc=++与

2k

y

x=

的图象如图所示，当（

）时，

1y

，

2y

均随

着x

的增大而减小．

A

．1x− B

．10x− C

．02x D

．1x

3

．（2024·

四川凉山·中考真题）抛物线()22

1

3yxc=−+

经过()()

1235

20

2yyy

−



，，，，，

三点，则

123yyy，，

的

大小关系正确的是（

）

A

．

123yyy

B

．

231yyy

C

．

312yyy

D

．

132yyy

4

．（2024·

四川达州·

中考真题）抛物线2

yxbxc=−++与x

轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1

，另

一个交点的横坐标小于1

，则下列结论正确的是（

）

A

．1bc+ B

．2b= C

．2

40bc+ D

．0c

5

．（2024·

四川泸州·

中考真题）已知二次函数()

2

231yaxaxa=+−+−

（x

是自变量）的图象经过第一、二、

四象限，则实数a

的取值范围为（

）

A．9

1

8a

B．3

0

2a

C．9

0

8a

D．3

1

2a

6

．（2024·

陕西·

中考真题）已知一个二次函数2

yaxbxc=++的自变量x

与函数y

的几组对应值如下表，

x

… 4−

2− 0 3 5 … 2

y … 24−

8−

0 3−

15− …

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（

）

A

．图象的开口向上 B

．当0x时，y

的值随x

的值增大而增大

C

．图象经过第二、三、四象限 D

．图象的对称轴是直线1x=

7

．（2024·

湖北·

中考真题）抛物线2

yaxbxc=++的顶点为()