江苏省南京市2019届高三9月学情调研测试数学试题含答案

1 结束 开始

I←1

S←1

S←2S 输出S N

Y

（第4题图） I≤5

I←I＋2 Y 江苏省南京市2019届高三9月学情调研测试

数学试题

注意事项：

1．本试卷共4页,包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分,考试时间为120分钟．

2．答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后,交回答题卡．

参考公式：

锥体的体积公式：V＝13Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高．

样本数据x1,x2,…,xn的方差s2＝1n i＝1∑n(xi－－x)2，其中－x＝1n i＝1∑nxi．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置．．．．上．

1．已知集合A＝{ x|1＜x＜5，x∈R }，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，那么集合A∩B中有 ▲ 个元素．

2．复数z＝(1＋bi)(2－i)，其中b∈R，i为虚数单位．若z是

纯虚数，则实数b的值为 ▲ ．

3．已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，

21，22，24，25，那么这组数据的方差为 ▲ ．

4．执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S的值

为 ▲ ．

5．若函数f(x)＝a＋12x－1 是奇函数，则实数a的值为 ▲ ．

6．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x的准线与双曲线 2 x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则

该双曲线的离心率是 ▲ ．

7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是 ▲ ．

8．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x＝π6 对称，则f(0)的值为 ▲ ．

9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1－ B1C1CB的体积是 ▲ ．

10．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋1n(n＋1) (n∈N*)，则a10

的值

为 ▲ ．

11．已知△ABC 的面积为3 15，且AC－AB＝2，cosA＝－14，则 BC 的长

为 ▲ ．

12．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， E为边BC上一点，且AB→·AE→＝6，

AD→·AE→＝32，则AB→·AD→的值为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(1，－1)，点P为圆(x－4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则 S1S2 的最小值是 ▲ ．

14．若函数f(x)＝12ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2两处取到极值，且 x2x1 ≥2，则实数a的取值范围 A

B C A1

B1 C1

（第9题图） 3 是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BC＝EC，F是BE的中点．

（1）求证：DE∥平面ACF；

（2）求证：平面AFC⊥平面ABE．

16．（本小题满分14分）

已知α，β为钝角，且sinα＝35，cos2β＝－35．

（1）求tanβ的值；

（2）求cos(2α＋β)的值．

17．（本小题满分14分）

销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式PA

E D

F B C

（第15题图） 4 ＝att＋1，销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为 9

4 万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x)万元．

（1）求函数f (x) 的解析式；

（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．

（1）求椭圆E的方程；

（2）求证：MR⊥PQ．

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2．

（1）求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图象相切的直线l的方程； （第18题图） O l y

x M 5 （2）若a＞0，求函数φ(x)＝|g(x)－2a2f(x)|在区间[1，＋∞) 上的最小值．

20．（本小题满分16分）

如果数列{an}共有k(k∈N*，k≥4)项，且满足条件：

① a1＋a2＋…＋ak＝0； ② |a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝1，

则称数列{an}为P(k)数列．

（1）若等比数列{an}为P(4)数列，求a1的值；

（2）已知m为给定的正整数，且m≥2．

① 若公差为正数的等差数列{an}是P(2m＋3)数列，求数列{an}的公差；

② 若an＝qn－1 3 ，1≤n≤m，n∈N*，m－n12，m＋1≤n≤2m，n∈N*，其中q为常数，q＜－1．判断数列{an}是否为P(2m)数列，说明理由．

南京市2019届高三年级学情调研

数学参考答案及评分标准 2018.09

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主6 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．

1．2 2．－2 3．6 4．8 5．12

6． 5 7．25 8．1 9．2 3 10．1910

11．8 12．－92 13．2－ 3 14．[ 2ln2，＋∞）

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．证明：（1）连结BD，交AC于点O，连结OF．

因为四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点，

所以O为BD的中点．

又因为F是BE的中点，

所以 在△BED中，OF∥DE．……………… 4分

因为OF 平面AFC，DE 平面AFC，

所以DE∥平面AFC． ……………… 6分

（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC．

又因为平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB面ABCD，

所以AB⊥平面BCE． …………………… 9分

因为CF平面BCE，所以AB⊥CF．

在△BCE中，因为CE＝CB， F是BE的中点，

所以CF⊥BE． …………………… 11分 A

E D

F B C

（第15题图） O 7 因为AB 平面ABE，BE 平面ABE，AB∩BE＝B，所以CF⊥面ABE．

又CF平面AFC，所以平面AFC⊥平面ABE． …………………… 14分

16．解：（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos2β－1，

所以 2cos2β－1＝－35，解得cos2β＝15． …………………… 2分

因为β为钝角，所以cosβ＝－ 55．

从而sinβ＝ 1－cos2β＝

1－15＝2 55． …………………… 5分

所以tanβ＝sinβcosβ＝2 55－ 55＝－2． …………………… 7分

（2）因为α为钝角，sinα＝35，

所以cosα＝－ 1－sin2α＝－

1－(35)2＝－45． …………………… 9分

所以 sin2α＝2sinαcosα＝2×35×(－45)＝－2425，

cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(35)2＝725． …………………… 11分 8 从而cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ

＝725×(－ 55)－(－2425)×2 55

＝41 5125． …………………… 14分

17．解：（1）由题意，P＝att＋1，Q＝bt，

故当t＝3时，P＝3a3＋1＝94，Q＝3b＝1． …………………… 3分

解得 a＝3，b＝13． …………………… 5分

所以 P＝3tt＋1，Q＝13t．

从而 f(x)＝3xx＋1＋3－x3，x∈[0，3]． …………………… 7分

（2）由（1）可得：f(x)＝3xx＋1＋3－x3＝133－(3x＋1＋x＋13)．

…………………… 9分

因为x∈[0，3]，所以x＋1∈[1，4]，

故 3x＋1＋x＋13≥2，

从而 f(x)≤133－2＝73． …………………… 11分

当且仅当3x＋1＝x＋13，即x＝2时取等号．