(2021)高考数学真题试卷(江苏卷)带答案解析

2021年江苏省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（）A.{}2 B.{}3,2 C.{}4,3 D.{}4,3,22.已知i z -=2，则()=+i z z （）A.i26- B.i24- C.i26+ D.i24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22 C.4D.244.下列区间中，函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆149:22=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若2tan -=θ，则()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.56-B.52-C.52 D.567.若过点()b a ,可以左曲线xe y =的两条切线，则（）A.ae b＜ B.be a＜ C.bea ＜＜0 D.aeb ＜＜08.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据n x x x 21，，由这组数据得到新样本数据n y y y 21，，其中()n i c x y i i ,2,1=+=，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()ααsin ,cos 1P ，()ββsin ,cos 2-P ，()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()0,1A ，则（）==C.213OP OP OP OA ⋅=⋅ D.321OP OP OP OA ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()165522=-+-y x 上，点()04，A ，()20，B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，23=PB D.当PBA ∠最大时，23=PB 12.在正三棱柱111C B A ABC -中，11==AA AB ，点P 满足1BB BC PB μλ+=，其中[]1,0∈λ，[]1,0∈μ，则（）A.当1=λ时，P AB 1∆的周长为定值B.当1=μ时，三棱锥BC A P 1-的体积为定值C.当21=λ时，有且仅有一个点P ，使得BP P A ⊥1D.当21=μ时，有且仅有一个点P ，使得B A 1⊥平面PAB 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl, 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，那么A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =-(i 为虚数单位)，那么z 的实部为 ．【答案】213．右图是一个算法流程图，那么输出的n 的值是 ． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，那么所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点，那么ϕ的值是 ． 【答案】6π6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80130]，上，其频率散布 直方图如下图，那么在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，假设21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ．【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积别离为12S S ，，体积别离为12V V ，，假设它们的侧面积相等，且1294S S =，那么12V V 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ．25510．已知函数2()1f x x mx =+-，假设对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，那么实数m 的取值范围是 ． 【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11．在平面直角坐标系xOy 中，假设曲线2by ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，那么a b +的值是 ． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，那么AB AD ⋅的值是 ． 【答案】2213．已知()f x 是概念在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．假设函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，那么实数a 的取值范围是 ． 【答案】()102， 14．假设ABC ∆的内角知足sin 22sin A B C =，那么cos C 的最小值是 ． 624-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤.15．(本小题总分值14 分)已知()2απ∈π，，5sin α=．（1）求()sin 4απ+的值； （2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题要紧考查三角函数的大体关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 总分值14分.（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=()210sin sin cos cos sin sin )444210αααααπππ+=++=； （2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-= 16．(本小题总分值14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，别离为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线PA ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题要紧考查直线与直线、直线与平面和平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.总分值14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥PA ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴PA ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC ==∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题总分值14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，别离是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右核心，极点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）假设点C 的坐标为()4133，，且22BF =（2）假设1FCAB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 【答案】本小题要紧考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 总分值14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b +=∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y +=（2）设核心12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，， ∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=① ∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c ⋅=-+-，即20xc by c -+=②①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --，∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bcbc b c a b --+=，化简得225c a =，∴55c a= 55 18．(本小题总分值16分)如图，为爱惜河上古桥OA ，计划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形爱惜区．计划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；爱惜区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两头O 和A 到该圆上任意一点的距离均很多于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形爱惜区的面积最大？解：本小题要紧考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查成立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.总分值16分. 解法一：如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，成立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率k BC=－tan ∠BCO=－43. 又因为AB ⊥BC ，因此直线AB 的斜率k AB=34. 设点B 的坐标为(a,b)，那么k BC=04,1703b a -=-- k AB=603,04b a -=- 解得a=80，b=120. 因此22(17080)(0120)150-+-=.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设爱惜区的边界圆M 的半径为r m,OM=d m,(0≤d ≤60).由条件知，直线BC的方程为4(170)3y x=--，即436800x y+-=由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即|3680|680355d d r--==.因为O和A到圆M上任意一点的距离均很多于80 m,因此80(60)80r dr d-⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dddd-⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d≤≤故当d=10时,68035dr-=最大，即圆面积最大.因此当OM = 10 m时，圆形爱惜区的面积最大.解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.因为tan∠BCO=43.因此sin∠FCO=45，cos∠FCO=35.因为OA=60,OC=170，因此OF=OC tan∠FCO=680 3.CF=850cos3OCFCO=∠,从而5003AF OF OA=-=.因为OA⊥OC，因此cos∠AFB=sin∠FCO==4 5，又因为AB⊥BC，因此BF=AF cos∠AFB==4003，从而BC=CF－BF=150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设爱惜区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，那么MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).因为OA⊥OC，因此sin∠CFO =cos∠FCO，故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--因此68035d r -=.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均很多于80 m,因此80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d=10时,68035dr -=最大，即圆面积最大.因此当OM = 10 m 时，圆形爱惜区的面积最大.19．(本小题总分值16分)已知函数()e e x xf x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）假设关于x 的不等式()e 1xmf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知正数a 知足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题要紧考查初等函数的大体性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方式分析与解决问题的能力.总分值16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x xf x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立 令e (1)xt t =>，那么211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立∴13m -≤ （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =-- ∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2e a >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，那么()e 1e 111'()1e 2e a m a a a a ---=-=>+， 当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 最多有两个零点，而(1)(e)0m m ==∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题总分值16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．假设对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，那么称{}n a 是“H 数列”．（1）假设数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．假设{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题要紧考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探讨能力及推理论证能力, 总分值16分.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列”（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-取2n =得1(1)d m d +=-，12m d =+ ∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-（3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，那么(3)22n n m -=+当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，那么(1)12n n m -=+∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列”因此命题得证. 数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】此题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.假设多做，那么按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题总分值10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点证明:∠OCB=∠D.本小题要紧考查圆的大体性质，考查推理论证能力.总分值10分. 证明：因为B, C 是圆O 上的两点，因此OB=OC. 故∠OCB=∠B.又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 因此∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D.B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题总分值10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，假设A α=B α，求x y ，的值． 【答案】本小题要紧考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.总分值10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题总分值10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x=交于A B ，两点，求线段AB 的长． 【答案】本小题要紧考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.总分值10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题总分值10分) 已知x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.本小题要紧考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.总分值10分.证明：因为x>0, y>0, 因此1+x+y2≥0>，1+x2+y ≥0>，因此(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. 22．(本小题总分值10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机掏出2个球，求掏出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机掏出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数别离记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率散布和数学期望()E X ． 22.【必做题】本小题要紧考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.总分值10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情形，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情形∴掏出的2个球颜色相同的概率1053618P == （2）X 的所有可能取值为432，，，那么 ∴X 的概率散布列为故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯= 23．(本小题总分值10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，记()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ． （1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n nnf f -πππ+成立．23.【必做题】此题要紧考查简单的复合函数的导数，考查探讨能力及运用数学归纳法的推理论证能力.总分值10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭ 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=-(2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边别离对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，因此1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).因此1()()444n n nf f πππ-+(n ∈*N ).。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题〔江苏卷，含解析〕一、填空题：本大题共14个小题,每题5分,共70分.1.集合 A 1,2,3，B 2,4,5，那么集合A B中元素的个数为_______.【答案】5【解析】试题分析： A B {1，2，3} {2，4，5} {12，，3，4，5}，5个元素考点：集合运算一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.【答案】6考点：平均数3.设复数z满足z234i〔i是虚数单位〕，那么z的模为_______.【答案】5【解析】试题分析：|z2||34i|5|z|25|z|5考点：复数的模根据如下图的伪代码，可知输出的结果S为________.S←1I←1While I 10S←S＋2I←I＋3End WhilePrint S〔第4题图〕【答案】7【解析】试题分析：第一次循环：S 3,I 4;第二次循环：S 5,I 7;第三次循环：S 7,I 10;结束循环，输出S7.考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5.6考点：古典概型概率6.向量a=(2,1)，b=(1,2),假设ma+nb=(9,8)(m,n R),m n的值为______.【答案】3【解析】试题分析：由题意得：2m n 9,m 2n8m 2,n 5,m n 3.考点：向量相等7.不等式2x2x4的解集为________.【答案】(1,2).【解析】试题分析：由题意得：221x2，解集为(1,2). xx考点：解指数不等式与一元二次不等式8.tan2，tan 1，那么tan的值为_______. 7【答案】3【解析】12tan()tan7试题分析：tan tan( 3.)tan()tan1127考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

江苏省2021年高考数学真题试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．若数组()2,1,3a =-和11,,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足2a b =-，则实数x 等于（ ）A ．-3B ．-2C ．32- D ．12-3．若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．-44．逻辑表达式A B +等于（ ） A ．A B +B ．A B ⋅C ．A B ⋅D ．A B ⋅5．已知()12nx -的展开式中2x 的系数为40，则n 等于（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）A B C ．2D 7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）AB ．2:1C ．D ．1:28．下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）A ．14条B ．12条C ．9条D ．7条9．若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（ ）A ．12x π=- B ．0x = C ．6x π=D ．23x π=10．已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b++的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．4二、填空题11．下图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 值是___________.12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且116a ，24a ，3a 成等差数列，则q 的值是___________.13．已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.14．以抛物线214y x =的焦点为圆心，且与直线x ⎧=⎪⎨⎪(t 为参数）相切的圆的标准方程是____________.15．已知函数()()2212,642,40x x f x x x +-≤<-⎧⎪=⎨+-≤≤⎪⎩，若其图像上存在互异的三个点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，使得312123y y yk x x x ===，则实数k 的取值范围是__________.三、解答题16．已知函数()()23log 2x f x a x a =-+的定义域是R .（1）求实数a 的取值范围;（2）解关于x 的不等式241421xx aa -->. 17．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上. (1) 求实数a 的值； (2) 求()()48f f -+的值； (3) 求函数()f x 的解析式.18．已知关于x 的二次函数()24f x ax bx a =-+.（1）若{}1,1,2,3a ∈-，{}0,1,2b ∈，求事件(){A f x =在[)1,+∞上是增函数}的概率; （2）若[]1,2a ∈，[]0,2b ∈，求事件B =“方程()0f x =没有实数根”的概率.19．已知向量()223sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，设函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最大值;（2）在锐角ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ，若()0,f B b ==3sin 2sin 0A C -=，求ABC 的面积.20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，21．已知数列{}n a 满足12a =，且()*1321n n a a n n N +=+-∈.（1）求证：数列{}n a n +为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n a 的前n 项和n S .22．某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m 2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m 2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：3a b ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.参考答案1．B 【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可. 【详解】 因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B. 2．C 【分析】数组的基本运算，由数组相等转化为对应项相等. 【详解】因为()2,1,3a =-，11,,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()22,1,2b x -=--.由2a b =-，得23x -=，32x =-.故选：C. 3．C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-. 【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-， 所以z 的虚部等于2-. 故选：C. 4．D 【分析】从集合角度去理解逻辑表达式 【详解】如图，A B +类似于()C A B U ，则A B +类似于()()U U U C C A B A C B ⋃=⋂故选：D. 5．A 【分析】写出x 2项，进一步即可解出. 【详解】()()222221n C x n n x -=-，所以()21405n n n -=⇒=.故选：A. 6．D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率 【详解】双曲线的渐近线为by x a =±，易知b y x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D. 7．C 【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解. 【详解】 根据题意作图，设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l . 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则有2cos45r l ︒=，l =.该圆锥的底面积与侧面积比值为22r rl ππ故选：C. 8．B 【分析】根据分步乘法计算原理即可求解. 【详解】由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①→⑧共有32212⨯⨯=条路径. 故选：B 9．A 【分析】 由2T πω=，可得2ω=，所以()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()32x k k Z πππ-=+∈，得51()122x k k Z ππ=+∈，从而可得到本题答案. 【详解】 由题，得222T ππωπ===，所以()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()32x k k Z πππ-=+∈，得51()122x k k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴为51()122x k k Z ππ=+∈， 当1k =-时，12x π=-，所以函数()f x 的一条对称轴为12x π=-.故选：A10．B 【分析】由奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，()()240f a f b +-=，可得24a b +=，即2(1)6a b ++=，所以12112[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】解：因为()()240f a f b +-=，所以(2)(4)f a f b =--， 因为奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数， 所以(2)(4)(4)f a f b f b =--=-， 所以24a b =-，即24a b +=， 所以226a b ++=，即2(1)6a b ++=， 所以12112[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭14(1)2261b a a b +⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦14(1)461b a a b +⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦1144(44)663⎡⎤≥=+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当4(1)1b a a b+=+，即1,32a b ==时取等号，所以121a b ++的最小值是43. 故选：B 11．2 【分析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果. 【详解】初始值：0S =，1n =当1n =时，33111014228S S n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进入循环；当13122n =+=时，3311319428228S S n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进入循环；当31222n =+=时，331919242822S S n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，终止循环，输出n 的值为2.故答案为：2. 12．4 【分析】根据三数成等差数列列等式，再将2a ，3a 用含1a 和q 的式子表示，代入等式求解. 【详解】因为{}n a 为等比数列，且公比为q ， 所以21a a q =⋅，231a a q =⋅且10a ≠，0q ≠. 因为116a ，24a ，3a 成等差数列， 所以1321624a a a +=⨯，有21111624a a q a q +⋅=⨯⋅，28160q q -+=， 解得4q =. 故答案为：4. 13．512-【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【详解】55cos sin 21313πθθ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以12cos 13θ=，所以sin θ5tan θcos θ12，所以()5tan 9tan 12θπθ-==-.故答案为：512-. 14．()2211x y +-= 【分析】将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案. 【详解】解：将抛物线方程化为标准方程得24y x =，所以焦点坐标为0,1，10y --=，所以点0,110y --=的距离为1d =，所以所求圆的方程为()2211x y +-=. 故答案为：()2211x y +-= 15．1,0【分析】先画出函数()f x 的图象，转化为函数y kx =与函数()f x 的图象有三个不同的交点，再画函数y kx =的图象，观察交点的个数，从而求得k 的取值范围．【详解】解：画出函数()f x 的图象如下图，由题意得函数图象上存在互异的三个点，且312123y y y k x x x ===， 则可看做函数y kx =与函数()f x 的图象有三个不同的交点， 由图知，当1k =-或0k =时，有且仅有两个交点，要使两个图象有三个不同的交点，则k 的取值范围为(1,0)-． 故答案为：(1,0)-． 16．（1）()0,1；（2）()2,6-. 【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出220x ax a -+>恒成立，然后通过∆<0即可得出结果； （2）本题首先可根据()0,1a ∈得出24142x x --<-，然后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）因为函数()()23log 2x f x a x a =-+的定义域是R ，所以220x ax a -+>恒成立，则2440a a ∆=-<，解得01a <<，a 的取值范围为()0,1.（2）241421xx aa-->，即24142x x a a --->， 因为()0,1a ∈，所以24142x x --<-，即24120x x --<，解得26x -<<， 故不等式241421x x aa -->的解集为()2,6-. 17．(1) 12a =；(2) 29-；(3) 1212log ()20()log 20x x x f x x xx -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.【分析】(1) 求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出a 的值； (2) 利用偶函数的性质，求(8)f ，进而可求出(4)(8)f f -+的值； (3) 利用偶函数的性质求出0x >时，()f x 的表达式. 【详解】(1) 由直线l 过定点可得：(2)5m x y +=--，由2050x y +=⎧⎨--=⎩，解得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线l 过定点()2,5A --.又因为0x <时，()log ()2a f x x x =-+， 所以(2)log 245a f -=-=-， 有log 21a =-，12a =. (2) 12(4)log 4810f -=-=-， 因为()f x 为偶函数，所以12(8)(8)log 81619f f =-=-=-， 所以(4)(8)29f f -+=-.(3) 由(1)知，当0x <时，12()log ()2f x x x =-+.当0x >时，0x -<，1122()log 2()log 2f x x x x x-=+⋅-=-，又()f x 为偶函数，所以12()()log 2f x f x x x =-=-，综上可知，1212log ()20()log 20x xx f x x x x -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.18．（1）512；（2）38.【分析】（1）根据题意有：0a >，且对称轴21bx a=，求出基本事件总数，再求出满足事件A 的事件数，然后利用古典概型概率公式求解；（2）方程240ax bx a -+=无实根，则[1a ∈，2]，[0b ∈，2]，且20a b ->，画出图形，由测度比是面积比得答案． 【详解】（1）根据题意有：0a >，且对称轴21bx a=． 基本事件总数为114312C C ⋅=，满足事件A 的事件数为(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)共有5个，P ∴（A ）512=； （2）方程240ax bx a -+=无实根，则22(4)40a b a ≠⎧⎨--<⎩， ∴2240a a b ≠⎧⎨->⎩， 又[1a ∈，2]，[0b ∈，2]，20a b ∴->， 如图，∴11(1)1322()28P B +⨯==．19．（1）max ()3f x =；（2【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得2()233f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可得()f x 的最大值；（2）由锐角ABC ，推出22333B πππ-<-<，再结合f （B ）0=，求得3B π=，由正弦定理知32a c =，再利用余弦定理求出2a =，3c =，最后由三角形面积公式得解． 【详解】（1）因为()223sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，所以函数()f x a b =⋅2cos 6cos 23cos 23x x x x x =-+=++2233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴当2sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max ()3f x =（2）∵ABC 为锐角三角形，02B π∴<<.25233B πππ∴<+< 又()0f B =2si n 23B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭24233B ππ∴+= 3B π∴= 3sin 2sin 032A C a c -=∴=2221cos 22a cb B ac +-==即222971432a a a +-= 2,3a c ∴==1232ABCS∴=⨯⨯=20．（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】 （1）2000245y x x x=+-，[60,110]x ∈2416≥= 当且仅当20005x x=时，即100x =取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =. 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元. 21．（1）见解析；（2）3nn a n =-；（3）12332n n n +--- 【分析】 （1）计算得到113n n a n a n+++=+，得到答案.（2）1333n n n a n -+=⨯=，得到数列通项公式.（3）根据分组求和法计算得到答案. 【详解】（1）由1321n n a a n +=+-，得()113n n a n a n +++=+，∴113n n a n a n+++=+，又113a +=，∴{}n a n +是首项为3，公比为3的等比数列.（2）1333n nn a n -+=⨯=，∴3n n a n =-.（3）()1233312nn S n =+++-+++()1133132n n n ++-=--()11213333222n n n n n n +++----=-=. 【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 22．甲2块，乙1块，8 m 2. 【分析】设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则所用原料的总面积32z x y =+，由题意列出关于x ，y 的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张， 则25240,0,x y x y x y x y N+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪∈⎩，所用原料的总面积32z x y =+． 由约束条件作出可行域如图，联立2425x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2x =，1y =，即(2,1)A ，由32z x y =+，得322z y x =-+，由图可知，当直线322zy x =-+过A 时，z 取得最小值为32218⨯+⨯=．故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为8 m 2． 23．（1）证明见解析；（2）0y -=；②2213x y +=.【分析】 （1）由ba=可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a====b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y bb+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部时，22293310b⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b >设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x xx y y y y+-++-=， 所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l 方程为910yx ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y =所以，直线l0y -；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==， 因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.。

2021年江苏省新高考数学试卷（新课标Ⅰ）1.设集合，，则()A. B.C. D.2.已知，则()A. B.C. D.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2B.C.4D.4.下列区间中，函数单调递增的区间是()A. B.C. D.5.已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则的最大值为()A.13B.12C.9D.66.若，则()A. B.C.D.7.若过点可以作曲线的两条切线，则()A. B. C. D.8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立9.有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中为非零常数，则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点，，，，则()A. B.C.D.11.已知点P 在圆上，点，，则()A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当最小时，D.当最大时，12.在正三棱柱中，，点P 满足，其中，，则()A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点P，使得D.当时，有且仅有一个点P，使得平面13.已知函数是偶函数，则__________.14.已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且若，则C的准线方程为______.15.函数的最小值为__________.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么__________17.已知数列满足，记，写出，，并求数列的通项公式；求的前20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，点D在边AC上，证明：；若，求20.如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点．证明：；若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足记M的轨迹为求C的方程；设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.22.已知函数讨论的单调性；设a，b为两个不相等的正数，且，证明：答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于简单题．直接利用交集运算可得答案．【解答】解：，，故选：2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，故选：3.【答案】B 【解析】解：由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，所以该圆锥的母线长为故选：设母线长为l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查正弦型函数单调性，是简单题．本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．【解答】解：令，则，当时，，，故选：5.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用．【解答】解：，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为故选：6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于基础题．由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征将其“弦化切”即可求得三角函数式的值．【解答】解：由题意可得：故选7.【答案】D【解析】解：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即取得坐标在x轴上方，如果在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在x轴或下方时，只有一条切线．如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知故选：画出函数的图象，判断与函数的图象的位置关系，即可得到选项．本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．【解答】解：由题意可知，两次取出的球的数字之和是8的所有可能为：，，，，，两次取出的球的数字之和是7的所有可能为，，，，，，甲，乙，丙，丁，A：甲丙甲丙，B：甲丁甲丁，C：乙丙乙丙，D：丙丁丙丁，故选：9.【答案】CD 【解析】【分析】本题考查平均数、中位数、标准差、极差，是基础题．利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．【解答】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，设原样本数据的样本方差和标准差分别为，，新数据的样本方差和标准差分别为，，因为…，，，，即，两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，…，，c为非零常数，原数据组的样本极差为，新数据组的样本极差为，两组样本数据的样本极差相同，故D正确．故选：10.【答案】AC【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，是中档题．由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．【解答】解：，，，，，，，，，，则，，则，故A正确；，，不能恒成立，故B错误；，，，故C正确；，，不能恒成立，故D错误．故选：11.【答案】ACD【解析】【分析】求出过AB的直线方程，再求出圆心到直线AB的距离，得到圆上的点P到直线AB的距离范围，判断A与B；画出图形，由图可知，当过B的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与B点间的距离，再由勾股定理求得判断C与本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．【解答】解：，，过A、B的直线方程为，即，圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离，点P到直线AB的距离的范围为，，，，点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大，此时，，故CD正确．故选：12.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于拔高题．判断当时，点P在线段上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当时，点P在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当时，取线段BC，的中点分别为M，，连结，则点P在线段上，分别取点P在，M处，得到均满足，即可判断选项C；当时，取的中点，的中点D，则点P在线的上，证明当点P在点处时，平面，利用过定点A与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断选项【解答】解：对于A，当时，，即，所以，故点P在线段上，此时的周长为，当点P为的中点时，的周长为，当点P在点处时，的周长为，故周长不为定值，故选项A错误；对于B，当时，，即，所以，故点P在线段上，因为平面，所以直线上的点到平面的距离相等，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项B正确；对于C，当时，取线段BC，的中点分别为M，，连结，因为，即，所以，则点P在线段上，当点P在处时，，，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，当点P在M处，，故选项C错误；对于D，当时，取的中点，的中点D，因为，即，所以，则点P在线的上，当点P在点处时，取AC的中点E，连结，BE，因为平面，又平面，所以，在正方形中，，又，BE，平面，故平面，又平面，所以，在正方体形中，，又，，平面，所以平面，因为过定点A与定直线垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P，使得平面，故选项D正确．故答案选：13.【答案】1【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于基础题．根据题意，可得也为R上的奇函数，即可得解.【解答】解：函数是偶函数，为R上的奇函数，故也为R上的奇函数，所以时，，所以，经检验，满足题意，故答案为：14.【答案】【解析】解：由题意，不妨设P在第一象限，则，，所以，所以PQ的方程为：，时，，，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：故答案为：求出点P的坐标，推出PQ方程，然后求解Q的坐标，利用，求解p，然后求解准线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用及求抛物线的标准方程，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】1【解析】【分析】本题考查利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．求出函数定义域，对x分段去绝对值，当时，直接利用单调性求最值；当时，利用导数求最值，进一步得到的最小值．【解答】解：函数的定义域为，当时，，此时函数在上为减函数，所以；当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时取得最小值，为，，函数的最小值为故答案为：16.【答案】5【解析】【分析】本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．依题意，对折4次共可以得到5种不同规格图形；对折k次共有种规格，且每个面积为，则，，然后再转化求解即可．【解答】解：易知有，，共5种规格；由题可知，对折k次共有种规格，且每个面积为，故，则，记，则，，，故答案为：5；17.【答案】解：因为，，所以，，，所以，，，所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，所以由可得，，则，，当时，也适合上式，所以，，所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，则的前20项和为……【解析】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．由数列的通项公式可求得，，从而可得求得，，由可得数列是等差数列，从而可求得数列的通项公式；由数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．18.【答案】解：由已知可得，X 的所有可能取值为0，20，100，则，，所以X 的分布列为：X 020100P 由可知小明先回答A 类问题累计得分的期望为，若小明先回答B 类问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100，，，，则Y的期望为，因为，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．【解析】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；由可得，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得，比较与的大小，即可得出结论．19.【答案】解：证明：由正弦定理知，，，，，，即，；由知，，，，在中，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，，，即，得，，，或，在中，由余弦定理知，，当时，舍；当时，；综上所述，【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大．利用正弦定理求解；要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解．20.【答案】解：证明：因为，O为BD的中点，所以，又平面平面BCD，平面平面，平面ABD，所以平面BCD，又平面BCD，所以；方法一：取OD的中点F，因为为正三角形，所以，过O作与BC交于点M，则，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，因为平面BCD，故平面BCD的一个法向量为，设平面BCE的法向量为，又，所以由，得，令，则，，故，因为二面角的大小为，所以，解得，所以，又，所以，故方法二：过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，由题意可知，，又平面BCD所以平面BCD，又平面BCD，所以，又，，FG、平面EFG，所以平面EFG，又平面EFG，所以，则为二面角的平面角，即，又，所以，则，故，所以，因为，则，所以，则，所以，则，所以【解析】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．利用等腰三角形中线就是高，得到，然后利用面面垂直的性质，得到平面BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明；方法一：建立合适的空间直角坐标系，设，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．方法二：过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，求出，，然后利用锥体的体积公式求解即可．21.【答案】解：由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为，根据题意，解得，的方程为；设，设直线AB的方程为，，，由，得，整理得，，，，设，同理可得，由，得，，，，，【解析】的轨迹C是双曲线的右支，根据题意建立关于a，b，c的方程组，解出即可求得C的方程；设出直线AB的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得，同理求得，再根据，即可得出答案．本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由函数的解析式可得，，，单调递增，，，单调递减，则在单调递增，在单调递减．证明：由，得，即，由在单调递增，在单调递减，所以，且，令，，则，为的两根，其中不妨令，，则，先证，即证，即证，令，则在单调递减，所以，故函数在单调递增，，，得证．同理，要证，即证，根据中单调性，即证，令，，则，令，，，单调递增，，，单调递减，又，，且，故，，，恒成立，得证，则【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题．首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可．。

2021年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题1.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．【答案】1【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【分析】利用交集定义直接求解．2.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．【答案】√10【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|= √(−1)2+32= √10．故答案为：√10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．【答案】18【考点】分层抽样方法= 【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6010006，100=18件，则应从丙种型号的产品中抽取300× 6100故答案为：18【分析】由题意先求出抽样比例即为6100，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．4.如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是________．【答案】-2【考点】选择结构，程序框图【解析】【解答】解：初始值x= 116，不满足x≥1，所以y=2+log2116=2﹣log224=﹣2，故答案为：﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．5.若tan（α﹣π4）= 16．则tanα=________．【答案】75【考点】两角和与差的正切公式【解析】【解答】解：∵tan（α﹣π4）=tanα−tanπ41+tanαtanπ4= tanα−1tanα+1= 16∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= 75，故答案为：75．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．【答案】32【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：43πR3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则V1V2=2πR34πR33= 32．故答案为：32．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．7.记函数f（x）= √6+x−x2定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．【答案】59【考点】一元二次不等式的解法，几何概型【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= 3−(−2)5−(−4)= 59，故答案为：59【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x23﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．【答案】2 √3【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x23﹣y2=1的右准线：x= 32，双曲线渐近线方程为：y= √33x，所以P（32，√32），Q（32，﹣√32），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：12×4×√3=2 √3．故答案为：2 √3．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．9.等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3= 74，S6= 634，则a8=________．【答案】32【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= 74，S6= 634，∴a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，解得a1= 14，q=2．则a8= 14×27=32．故答案为：32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3= 74，S6= 634，可得a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，联立解出即可得出．10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．【答案】30【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= 600x ×6+4x≥4×2× √900x⋅x=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6 +4x ，利用基本不等式的性质即可得出．11.已知函数f （x ）=x 3﹣2x+e x ﹣ 1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是________．【答案】 [-1， 12 ]【考点】函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法，基本不等式 【解析】【解答】解：函数f （x ）=x 3﹣2x+e x ﹣ 1e x 的导数为：f′（x ）=3x 2﹣2+e x + 1e x ≥﹣2+2 √e x ⋅1e x=0，可得f （x ）在R 上递增；又f （﹣x ）+f （x ）=（﹣x ）3+2x+e ﹣x ﹣e x +x 3﹣2x+e x ﹣ 1e x =0， 可得f （x ）为奇函数， 则f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，即有f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）=f （1﹣a ）， 即有2a 2≤1﹣a ， 解得﹣1≤a≤ 12 ， 故答案为：[﹣1， 12 ]．【分析】求出f （x ）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f （x ）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f （x ）为奇函数，原不等式即为2a 2≤1﹣a ，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 12.如图，在同一个平面内，向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1， √2 ， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），则m+n=________．【答案】 3【考点】平面向量的基本定理及其意义，两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= 5√2 ，sinα= 5√2 ． ∴C (15，75) ．cos （α+45°）= √22（cosα﹣sinα）= −35 ．sin （α+45°）= √22（sinα+cosα）= 45 ．∴B (−35，45) ．∵ OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ）， ∴ 15 =m ﹣ 35 n ， 75 =0+ 45 n ， 解得n= 74 ，m= 54 ． 则m+n=3． 故答案为：3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= 5√2 ，sinα= 5√2 ．C (15，75) ．可得cos （α+45°）= −35 ．sin （α+45°）= 45 ．B (−35，45) ．利用 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），即可得出． 13.在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．【答案】 [-5 √2 ，1]【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：根据题意，设P （x 0 ， y 0），则有x 02+y 02=50，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣12﹣x 0 ， ﹣y 0）•（﹣x 0 ， 6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y+x 02+y 02≤20， 化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立 {x 02+y 02=502x 0+y 0+5=0，解可得x 0=﹣5或x 0=1， 结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5 √2 ，1]， 故答案为：[﹣5 √2 ，1]．【分析】根据题意，设P （x 0 ， y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x 0+y 0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．14.设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D，其中集合D={x|x=n−1n，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是________．【答案】 8【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的周期性，对数函数的图象与性质，根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：∵在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f （x ）= {(x −1)2，x ∈Dx −1，x ∉D ，此时f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[4，5）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f （x ）的图象与y=lgx 无交点； 故f （x ）的图象与y=lgx 有8个交点； 即方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是8， 故答案为：8【分析】由已知中f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，其中集合D={x|x=n−1n，n ∈N *}，分析f （x ）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．二、解答题15.如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）AD ⊥AC ．【答案】 证明：（Ⅰ）因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，且A 、B 、E 、F 四点共面， 所以AB ∥EF ，又因为EF ⊊平面ABC ，AB ⊆平面ABC ，所以由线面平行判定定理可知：EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ， 因为BC ⊥BD ，所以FG ⊥BC ， 又因为平面ABD ⊥平面BCD ， 所以FG ⊥平面ABD ，所以FG ⊥AD ， 又因为AD ⊥EF ，且EF∩FG=F ， 所以AD ⊥平面EFG ，所以AD ⊥EG ， 故AD ⊥AC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】【分析】（Ⅰ）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．16.已知向量a=（cosx，sinx），b⃗=（3，﹣√3），x∈[0，π]．（Ⅰ）若a∥b⃗，求x的值；（Ⅱ）记f（x）= a⋅b⃗，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a=（cosx，sinx），b⃗=（3，﹣√3），a∥b⃗，∴﹣√3cosx+3sinx=0，∴tanx= √3，∵x∈[0，π]，∴x= π3，（Ⅱ）f（x）= a⋅b⃗=3cosx﹣√3sinx=2 √3（√32cosx﹣12sinx）=2 √3cos（x+ π6），∵x∈[0，π]，∴x+ π6∈[ π6，7π6]，∴﹣1≤cos（x+ π6）≤ √32，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x= 5π6时，f（x）有最小值，最大值﹣2 √3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值，同角三角函数间的基本关系【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= √3，问题得以解决，（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 1 ， l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】 解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= c a = 12 ，则a=2c ，①椭圆的准线方程x=±a 2c，由2×a 2c=8，②由①②解得：a=2，c=1， 则b 2=a 2﹣c 2=3， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 23=1 ；（Ⅱ）设P （x 0 ， y 0），则直线PF 2的斜率 k PF 2 = y 0x 0−1 ， 则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0−1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0−1y 0（x ﹣1），直线PF 1的斜率 k PF 1 = y 0x 0+1 ， 则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0+1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0+1y 0（x+1），联立 {y =−x 0−1y 0(x −1)y =−x 0+1y 0(x +1) ，解得： {x =−x 0y =x 02−1y 0，则Q （﹣x 0 ， x 02−1y 0 ），由Q 在椭圆上，则y 0=x 02−1y 0，则y 02=x 02﹣1，则 {x 024+y 023=1y 02=x 02−1 ，解得： {x 02=167y 02=97，则 {x 0=±4√77y 0=±3√77， ∵P 在第一象限，所以P 点的坐标为（4√77，3√77）【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=± 2a 2c，则2×2a 2c=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02﹣1，联立即可求得P 点坐标；18.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为10 √7 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度； （Ⅱ）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴ANAM = NPMC，AN40=1230，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= 45，sin∠EGM=sin∠EE1G1= 45，cos ∠EGM=−35，根据正弦定理得：EMsin∠EGM= EGsin∠EMG，∴sin ∠EMG=725，cos ∠EMG=2425，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= 35，∴EN= NPsin∠GEM =1235=20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，正弦定理【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC 于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E 作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．出sin∠GEM= 3519.对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（Ⅰ）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【考点】等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；﹣2（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．20.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣72，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣a3．由于当x＞﹣a3时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣a3时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣a3，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣a3）=0，即﹣a327+ a39﹣ab3+1=0，所以b= 2a29+ 3a（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣2a23+ 9a＞0，解得a＞3，所以b= 2a29+ 3a（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= −2a3，x1x2= b3，所以f（x1）+f（x2）= x13+ x23+a（x12+ x22）+b（x1+x2）+2 =（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2= 4a327﹣2ab3+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣72，所以b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣a3，从而f（﹣a3）=0，整理可知b= 2a29+ 3a（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为4a327﹣2ab3+2，进而问题转化为解不等式b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因式分解即得结论．21.如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；（Ⅱ）AC2 =AP•AB．【答案】证明：（Ⅰ）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC ∽△ACB ， ∴ ACAB = APAC ． ∴AC 2 =AP•AB ．【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，弦切角，与圆有关的比例线段【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC ．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC ∽△ACB ，即可证明． 22.已知矩阵A= [0110] ，B= [1002] ．（Ⅰ）求AB ； （Ⅱ）若曲线C 1：x 28+y 22=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ， 求C 2的方程．【答案】 解：（Ⅰ）AB= (0110)(1002) = (0210) ，（Ⅱ）设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点， 点P 在矩阵AB 的变换下得到点P′（x 0 ， y 0）， 则 (0210)(x y ) = (2yx) ，即x 0=2y ，y 0=x ， ∴x=y 0 ， y= x 02，∴y 028+x 028=1 ，即x 02+y 02=8，∴曲线C 2的方程为x 2+y 2=8．【考点】矩阵变换的性质，矩阵与矩阵的乘法的意义 【解析】【分析】（Ⅰ）按矩阵乘法规律计算；（Ⅱ）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C 1的方程化简即可．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 {x =−8+ty =t 2 （t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2s 2y =2√2s （s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】 解：直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d= 2√2s+8|√5= √2s−2)2√5，∴当s= √2时，d取得最小值√5= 4√55．【考点】二次函数在闭区间上的最值，点到直线的距离公式，参数方程化成普通方程，函数最值的应用【解析】【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．24.已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【答案】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．【考点】两角和与差的余弦公式，三角函数的最值，圆的参数方程，不等式的证明，同角三角函数基本关系的运用【解析】【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．25.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= √3，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1= √3，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（√3，−1，0），C（√3，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，√3），C1（√3，1，√3）．A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，−1，−√3 ）， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，1，√3 ）， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0) ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2，√3) ．（Ⅰ）∵cos ＜ A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √7×√7=−17 ． ∴异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为 17 ； （Ⅱ）设平面BA 1D 的一个法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，由 {n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，得 {√3x −3y =0−2y +√3z =0 ，取x= √3 ，得 n ⃗ =(√3，1，2√33) ； 取平面A 1AD 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(1，0，0) ． ∴cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √31×√3+1+43=34 ． ∴二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 34 ，则二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 √1−(34)2=√74．【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法【解析】【分析】在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，由AA 1⊥平面ABCD ，可得AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A ，B ，C ，D ，A 1 ， C 1 的坐标，进一步求出 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面BA 1D 与平面A 1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B ﹣A 1D ﹣A 的余弦值，进一步得到正弦值．26.已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m ，n ∈N * ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉（k=1，2，3，…，m+n ）．（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（Ⅱ）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E （X ）是X 的数学期望，证明E （X ）＜n (m+n)(n−1)．【答案】 解：（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ） = n−1m+n−1×n m+n ×n m+n−1×mm+n = n 2−n+mn (m+n)(m+n−1) = nm+n ．证明：（Ⅱ）∵X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ， P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，∴E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k ⋅C k−1n−1C n+mn ）= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k＜ 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k−1= 1C n+mn ⋅∑n+m k=nC k−2n−2n−1= 1(n−1)C n+mn •（ C n−2n−2+C n−1n−2+⋯+C n+m−2n−2 ） = 1(n−1)C m+nn⋅C m+n−1n−1= n(m+n)(n−1) ，∴E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件【解析】【分析】（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（Ⅱ）X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ，P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，从而E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k⋅C k−1n−1C n+mn）=1C n+mn ⋅∑n+m k=nC k−1n−1k，由此能证明E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．。

2021年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=________.2.复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是________.3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27−y23=1的焦距是________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________5.函数y= √3−2x−x2的定义域是________.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1+a22= - 3，S5=10，则a9的值是________.9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是________.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________.11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上， f(x)={x +a,−1≤x ＜0|25−x|,0≤x ＜1 其中a ∈R 若f(−52)=f(92) ，则f （5a ）的值是________.12.已知实数x ， y 满足 {x −2y +4≥02x +y −2≥03x −y −3≤0 ，则x 2+y 2的取值范围是________.13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ， F 是AD 上的两个三等分点， BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣1，则 BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.14.在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是________.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC 中，AC =6， cosB =45 , C =π4（1）求AB 的长；（2）求cos （A ﹣ π6）的值.16.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.17.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m,则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA,求直线l 的方程；（3）设点T （t,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}2,3B a a =+ ，若A B ={1}则实数a 的值为________.【答案】1【解析】1a =或者231a +=(取不到1)，所以1a =.【点评】今年的第一题属基础题，但难度较之前有提高，考察学生利用集合运算求参数的能力.2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________. 【答案】10【解析】13z i =-+，()221310z =-+=.【点评】第二题考察复数计算和模的计算，难度属于基础题，与往年难度基本持平. 3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件. 【答案】18【解析】总产量为1000件，所以应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件. 【点评】本题考察分层抽样，难度基础. 4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 . 【答案】2- 【解析】经判断1116<，()2212log 2log 24216y x =+=+=+-=-. 【点评】本题考查判断型的流程图和对数计算，属于基础题. 5.若tan 1-=46πα⎛⎫⎪⎝⎭,则tan α= . 【答案】75 【解析】tan 11tan 41tan 6πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,解得7tan 5α=.【点评】本题考察恒等变换，属于基础题.6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是 . 【答案】32【解析】设球的半径为r ，圆柱的体积23122V r r r ππ==，球的体积3243r V π=，所以1232V V =.【点评】本题考察圆柱内接球的体积计算，属于基础题.7.记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 . 【答案】59【解析】函数定义域D 为260x x +-≥，解得23x -≤≤，区间长度为5，区间[]4,5-长度为9，在区间[-4,5]上随机取一个数x ， x ∈D 的概率为59P =. 【点评】本题考察几何概型，难度中等.8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 . 【答案】23【解析】四边形F 1 P F 2 Q 中，PQ ⊥12F F ，渐近线方程为33y x =±，右准线为232a x c ==，当32x =时，32y =±,所以3PQ =，1224F F c ==，四边形F 1 P F 2 Q 的面积为134232S =⨯⨯=.【点评】本题考察双曲线的准线和渐近线方程，以及对角线互相垂直的四边形的面积的计算，学生可能在面积时易出错.9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为Sn ，已知36763，44S S ==， 则8a = . 【答案】32【解析】因为()3456123a a a a a a q ++=++，所以36338S S q S -==，所以2q =，那么3111172474S a a a a =++==，114a =，778112324a a q ==⨯=. 【点评】本题考察等比数列的基本计算，难度中等，学生要善于发现相邻的三项之间的比值为3q ，是简化计算的关键.10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是 【答案】 30【解析】设费用为y600436006442436004y x x x x ⨯=⨯+=+≥⨯ 当4360044x x ⨯=时等号成立，解得x =30.【点评】本题考查基本不等式取等条件，较为简单. 11.已知函数()312+x xf x x x e e =--，其中e 是自然数对数的底数，若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参照公式：圆柱体积公式：sh V =圆柱，其中s 为圆柱表面积，h 为高. 圆锥体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素个数为 ▲ ． 2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，则这组数据平均数为 ▲ ． 3. 设复数z 满足i z 432+=（i 是虚数单位），则z 模为 ▲ ． 4. 依照如图所示伪代码，可知输出成果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相似4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同概率为 ▲ ．6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-，若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,)，n m -值为 ▲ ．7. 不等式422<-xx 解集为 ▲ ．8. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 值为 ▲ ． 9. 既有橡皮泥制作底面半径为5，高为4圆锥和底面半径为2，高为8圆柱各一种. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相似新圆锥和圆柱各一种，则新底面半径为 ▲ ．10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切所有圆中，半径最大圆原则方程为 ▲ ．11. 设数列{}n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n (*N n ∈)，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上一种动点，若点P 到直线01=+-y x 距离不不大于c 恒成立，则实数c 最大值为 ▲ ．13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根个数为 ▲ ．14. 设向量a k =(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0 =k )，则∑=+⋅111)(k k k a a 值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要文字阐明、证明过程或演算环节． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB . （1）求BC 长； （2）求C 2sin 值. 16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条互相垂直直线型公路，为进一步改进山区交通现状，筹划修建一条连接两条公路山区边界直线型公路，记两条互相垂直公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，筹划修建公路为l ，如图所示，M ，N 为C 两个端点，测得点M 到12l l ， 距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 横坐标为t .①请写出公路l 长度函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为什么值时，公路l 长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）AB CD E A 1B 1C1如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>右焦点F 到左准线l 距离为3. （1）求椭圆原则方程；（2）过F 直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 方程.19.（本小题满分16分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关常数），当函数)(x f 有三个不同零点时，a 取值范畴正好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）与否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并阐明理由；（3）与否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II21．【选做题】本题涉及A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应答题区域．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答前两题评分．解答时应写出文字阐明、证明过程或演算环节．A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆外接圆圆O 弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆A（第21——AB ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 属性特性值2-一种特性向量，矩阵A 以及它另一种特性值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 半径.D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．指定区域内．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角余弦值；（2）点Q 是线段BP 上动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 长23．（本小题满分10分）PA BCDQ已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表达集合n S 所含元素个数.（1）写出(6)f 值；（2）当6n ≥时，写出()f n 表达式，并用数学归纳法证明.。

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕数学Ⅰ考前须知考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1．本试卷共 4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷总分值为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据x1,x2,⋯,x n的方差s21n n12x i x，其中xi1nnx i．i1柱体的体积V Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．锥体的体积V1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．3一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．集合 A { 1,0,1,6}，B {x|x 0,x R}，那么AIB▲.2．复数(a 2i)(1 i)的实部为0，其中i为虚数单位，那么实数a的值是▲.3．下列图是一个算法流程图，那么输出的S的值是▲.4．函数y76x x2的定义域是▲.5．一组数据6，7，8，8，9，10，那么该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者效劳，那么选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy中，假设双曲线x2y21(b0)经过点〔3，4)，那么该双曲线的b2渐近线方程是▲.8．数列{a n}(n N*)是等差数列，S n是其前n项和.假设a2a5a80,S927，那么S8的值是▲.9．如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，那么三棱锥E-BCD的体积是▲.410．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0)上的一个动点，那么点P到直线xx+y=0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点〔-e，-1)(e为自然对数的底数〕，那么点A的坐标是▲.12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.uuuruuur uuuruuur AB的值是▲.假设ABAC6AOEC，那么AC13．tanπ2，那么sin2π的值是▲.tan34414．设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且k(x2),0x1f(x)是奇函数.当x(0,2]时，f(x)1(x1)2，g(x)12，,1x2其中k>0.假设在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，那么k的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．〔1〕假设a=3c，b=2，cosB=2，求c的值；3〔2〕假设sinA cosB，求sin(B)的值．a2b216．〔本小题总分值14分〕（如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．（求证：〔1〕A1B1∥平面DEC1；（2〕BE⊥C1E．17．〔本小题总分值14分〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C:x 2y 21(ab0)的焦点为1a 2b 2 F 〔–1、0〕，F 2〔1，0〕．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:(x1)2 y 2 4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D.连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．DF 1=5．21〕求椭圆C 的标准方程；2〕求点E 的坐标．18．〔本小题总分值16分〕如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥AB 〔AB是圆O 的直径〕．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路 PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD 〔C 、D 为垂足〕，测得AB=10，AC=6，BD=12〔单位: 百米〕．〔1〕假设道路PB 与桥AB 垂直，求道路 PB 的长；〔2〕在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；〔3〕对规划要求下，假设道路PB和QA的长度均为d〔单位：百米〕.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．〔本小题总分值16分〕设函数f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、f'(x)为f〔x〕的导函数．1〕假设a=b=c，f〔4〕=8，求a的值；〔2〕假设a≠b，b=c，且f〔x〕和f'(x)的零点均在集合{3,1,3}中，求f〔x〕的极小值；〔3〕假设a0,0b,1,c1，且f〔x〕的极大值为M，求证:M≤4．2720．〔本小总分值16分〕定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列〞.〔1〕等比数列{a n}(n N*)满足：a2a4a5,a34a24a40，求证:数列{a n}为“M－数列〞；〔2〕数列{b n}满足:b11221,b n，其中S n为数列{b n}的前n项和．S nbn1①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，假设存在“M－数列〞{c n}(n N*)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k剟b k c k1成立，求m的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】此题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．假设多做，那么按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步．骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕矩阵A 3 12 21〕求A2；2〕求矩阵A的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程 ]〔本小题总分值10分〕在极坐标系中，两点A3,,B2,，直线l的方程为sin3.424 1〕求A，B两点间的距离；〔2〕求点B到直线l的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕设xR，解不等式|x|+|2x1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.〔本小题总分值10分〕设(1x)n a0a1x a2x2L a n x n,n⋯4,n N*.a322a2a4.〔1〕求n的值；〔2〕设(13)n ab3，其中a,bN*，求a23b2的值.23〔.本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy中，设点集A n{(0,0),(1,0),(2,0),,(n,0)}，B n(0,1),(n,1)},C n{(0,2),(1,2),(2,2),L,(n,2)},nN.令M n A n UB n UC n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距（（离.（1〕当n=1时，求X的概率分布；2021年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕数学Ⅰ答案一、填空题：此题考查根底知识、根本运算和根本思想方法.每题5分，共计70分.1.{1,6}4.[1,7]5 6.7 7.y2x5.10311.(e,1)12.3 13. 214. 1,210 34二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等根底知识，考查运算求解能力.总分值14分.解：〔1〕因为a3c,b2,cosB2 ，3由余弦定理cosBa2c 2 b 2 ，得 2 (3c)2c 2 (2)2，即c 21 .2ac 3 2 3c c33.所以c3〔2〕因为sinAcosB ，a2b由正弦定理a b ，得cosB sinB，所以cosB2sinB .sinAsinB2bb4从而cos 2B(2sinB)2，即cos 2B41cos 2B ，故cos 2B.5因为sinB0，所以cosB2sinB0，从而cosB2 5 .5因此sinBπ2 5.2cosB516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等根底知识，考查空间想象能力和推理论证能力 .总分值14分.证明：〔1〕因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB.在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED.又因为ED?平面DEC111平面DEC1，AB，所以A1B1∥平面DEC1.〔2〕因为AB=BC，E为AC的中点，所以B E⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等根底知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.总分值14分.解：〔1〕设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=5，AF2⊥x轴，所以DF2=DF12F1F22(5)2223，222因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为x2y21.43〔2〕解法一：由〔1〕知，椭圆C：x2y21，a=2，43因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为 1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.y2x2，得5x26x110，由1)2y2(x16解得x1或x 11.11512将x代入y2x2，得y，55因此B( 11,12).又F 2(1，0)，所以直线BF 2：y3(x1).554y3(x 1)13由4，得2，解得x1或xy 27x6x130.x 21743又因为 E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x1.将x1代入y3(x 1)，得y3.因此E(1,3).4 2 2解法二：由〔1〕知，椭圆C ：x 2y 2 141.如图，连结EF.3因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E=∠B.因为F 2A=F 2B ，所以∠A=∠B ，所以∠A=∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A.因为AF 2⊥x 轴，所以 EF 1⊥x 轴.x 13因为F 1(-1，0)，由x2y2，得y.4 123又因为E 是线段BF 2 与椭圆的交点，所以y3.23因此E(1, ).18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等根底知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力 .总分值16分.解：解法一： 〔1〕过A 作AE BD ，垂足为E.由条件得，四边形 ACDE 为矩形，DEBEAC6,AECD8.'因为PB ⊥AB ，所以cosPBD sin84ABE.105BD12所以PB15.cosPBD45因此道路PB的长为15〔百米〕.2〕①假设P在D处，由〔1〕可得E在圆上，那么线段BE上的点〔除B，E〕到点O的距离均小于圆O的半径，所以P 选在D处不满足规划要求.②假设Q在D处，连结AD，由〔1〕知AD AE2ED210，AD2AB2BD27，所以∠BAD为锐角.从而cosBAD02ADAB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆 O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.〔3〕先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°，对线段时PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且PB1AB，由〔1〕知，P1B=15，此时PD1PB1sinPBD1PB1cosEBA1539；5当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB PB11由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由〔2〕知，要使得QA≥15，点Q只有位于点.C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQQA2AC215262321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+3 21〔百米〕.解法二：〔1〕如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线 OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l 的方程为y=9，点A ，B 的纵坐标分别为 3，-3.因为AB 为圆O 的直径，AB=10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A 〔4，3〕，B 〔-4，-3〕，直线AB 的斜率为3.4因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为4，425 3x直线PB 的方程为y.33所以P 〔-13，9〕，PB(134)2 (93)2 15.因此道路PB 的长为15〔百米〕.2〕①假设P 在D 处，取线段BD 上一点E 〔-4，0〕，那么EO=4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②假设Q 在D 处，连结AD ，由〔1〕知D 〔-4，9〕，又A 〔4，3〕，所以线段AD ：y3x6(4剟x4).4在线段AD 上取点M 〔3，15〕，因为OM3215232 42 5，44所以线段AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求 .综上，P 和Q 均不能选在D 处.〔3〕先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P为l上一点，且PB AB，由〔1〕知，P B=15，此时P〔-13，9〕；1111当∠OBP>90°时，在△PPB1中，PBPB115.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由〔2〕知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q〔a，9〕，由AQ(a4)2(93)215(a4)，得a=4321，所以Q〔4321，9〕，此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P〔-13，9〕，Q〔4321，9〕时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ4321(13)17321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17321〔百米〕.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．总分值16分．解：〔1〕因为abc，所以f(x)(x a)(xb)(x c)(x a)3．因为f(4)8，所以(4a)38，解得a2．〔2〕因为b c，所以f(x)(xa)(x b)2x3(a2b)x2b(2ab)x ab2，从而f'(x)3(xb)x 2ab．令f'(x)0，得x b或x2ab．33因为a,b,2a b，都在集合{3,1,3}中，且a b，3所以2ab1,a3,b3．3此时f(x)(x3)(x3)2，f'(x)3(x3)(x1)．令f'(x)0，得x3或x1．列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,) f'(x)+0–0+ f(x)Z极大值]极小值Z所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)232．〔3〕因为a0,c1，所以f(x)x(x b)(x1)x3(b1)x2bx，f'(x)3x22(b1)x b．因为0b1，所以4(b1)212b(2b1)230，那么f'(x)有2个不同的零点，设为x1,x2x1x2．由f'(x)0，得x1b1b2b1,x2b1b2b1．33列表如下：x(,x1)x1x1,x2x2(x2,) f'(x)+0–0+f(x)Z极大值]极小值Z所以f(x)的极大值M fx1．解法一：Mfx1x13(b1)x12bx13x122(b1)x1b x1b12b2b1b(b1) 9x1399 2b2b1(b1)b(b1)223b b127927b(b1)2(b1)2(b1)2(b(b1)1)3272727b(b 1) 24．因此M4． 27 272727解法二：因为0 b 1，所以x 1 (0,1)．当x(0,1)时，f(x) x(xb)(x1) x(x 1)2．令g(x)x(x1)2,x (0,1)，那么g'(x) 3x1(x1)．31令g'(x) 0，得x．列表如下：3x(0,1)1(1,1)333g'(x) +–g(x)Z极大值]所以当x1时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max g14．3327所以当x(0,1)时，f(x)g(x)44，因此M．272720．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等根底知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．总分值 16分．解：〔1〕设等比数列 {a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.a 2a 4a 5a 12q 4a 1q 4a 1 1由4a 2 4a 10，得，解得．a 3a 1q 24a 1q4a 10q2因此数列{a n }为“M —数列〞.〔2〕①因为1 2 2 ，所以b n0．S n b nb n1由b 1 1,S 1 b 1 1222.得1 ，那么b 21 b 21 22，得 S nb nbn1，由b n b n 2(b n1 b n )S n1当n2时，由b nS nSn1，得bnb nbn1b n1bnb n，2b n12b n b n1整理得b n1b n12b n ．所以数列{b n }是首项和公差均为 1的等差数列.因此，数列{b nnnN *.}的通项公式为b=n②由①知，b k =k ，k N *.因为数列{c n }为“M –数列〞，设公比为q ，所以c 1=1，q>0.因为c k ≤b k ≤c k+1 ，所以q k 1 k q k，其中 k=1 23 ，，m.，，当k=1时，有q ≥1；当k=2，3 ，，m 时，有lnk lnq lnk ．kk1设f 〔x 〕=lnx(x1)，那么f'(x) 1 lnx ．xx 2令f'(x)0，得x=e.列表如下：x (1,e)e (e+ ∞ ) ，f'(x)+0 –〔fx 〕极大值因为ln2ln8 ln9 ln3 ，所以 f(k)max f(3)ln3 ．26 6 3 3取q33，当k=1，2， 3，4，5时，lnk, lnq ，即kq k ，k经检验知q k1k 也成立．因此所求m 的最大值不小于 5．假设m ≥6，分别取k=3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等根底知识，考查运算求解能力．总分值10分．解：〔1〕因为A312，2所以A23131 222233123112=115．=3222122106 2〔2〕矩阵A的特征多项式为f()31254. 22令f()0，解得A的特征值11,24.B．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等根底知识，考查运算求解能力．总分值10分．解：〔1〕设极点为O.在△OAB中，A〔3，〕，B〔2，〕，42由余弦定理，得AB=32(2)2232cos(4)5.2〔2〕因为直线l的方程为sin()3，4那么直线l过点(32,)，倾斜角为3．42又B(2,)，所以点B l的距离为(322)3)2.2到直线sin(42C．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等根底知识，考查运算求解和推理论证能力．总分值10分．解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x2，解得x<–1：3当0≤x ≤1时，原不等式可化为 x+1–2x>2，即x<–1，无解；2当x>1时，原不等式可化为x+2x –1>2，解得x>1.2综上，原不等式的解集为{x|x 1或x1}.322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等根底知识，考查分析问题能力与运算求解能力，总分值10分．解：〔1〕因为(1x)n C n 0 C 1n x C n 2x 2 LC n n x n ，n4，所以a 2C n2n(n1),a 3 C n 3n(n1)(n2) ，26a 4 C n 4 n(n 1)(n 2)(n3)．24因为a 32 2a 2a 4，所以[n(n1)(n2)]2 2 n(n 1) n(n 1)(n 2)(n3) ，62 24解得n5．〔2〕由〔1〕知，n 5 ．(13)n (13)5C 50C 153C 52(3)2 C 53(3)3 C 54(3)4 C 55(3)5ab3．解法一：因为a,bN *，所以aC 50 3C 52 9C 54 76,b C 51 3C 53 9C 55 44，从而a 2 3b 2 7623 44232 ．解法二：(13)5 C 50 C 15(3)C 52(3)2 C 53(3)3C 54(3)4 C 55(3)5C 50C 153C 52(3)2 C 53(3)3C 54(3)4C 55(3)5．因为a,b N *，所以(1 3)5a b3．因此a 23b 2(a b3)(ab3)(1 3)5(13)5 (2)532．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等根底知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．总分值10分．解：〔1〕当n1时，X的所有可能取值是1，2，2，5．X 的概率分布为P(X1)77,P(X2)44，C6215C6215P(X2)22,P(X5)22．C6215C6215〔2〕设A(a，b)和B(c，d)是从M n中取出的两个点．因为P(X n)1P(X n)，所以仅需考虑X n的情况．①假设b d，那么AB n，不存在X n的取法；②假设b0，d 1，那么AB(a c)21n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a0，c n或an，c0，有2种取法；③假设b0，d2，那么AB(ac)24n24，因为当n3时，(n1)24n，所以X n当且仅当ABn24，此时a0，c n或n，c0，有2种取法；④假设b1，d2，那么AB(a c)21n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a0，c n或a n，c0，有2种取法．综上，当X n时，X的所有可能取值是n21和n24，且P(X n21)4,P(X n24)2．C2n24C2n24P(Xn)1P(X n21)P(X n24)16因此，C2n24．。

2021年江苏省高考数学试卷(含答案解析)2021年江苏省高考数学试卷一.填空题1．〔5分〕集合A={1，2}，B={a，a2+3}．假设A∩B={1}，那么实数a的值为．2．〔5分〕复数z=〔1+i〕〔1+2i〕，其中i是虚数单位，那么z的模是．3．〔5分〕某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，那么应从丙种型号的产品中抽取件．4．〔5分〕如图是一个算法流程图：假设输入x的值为，那么输出y的值是．5．〔5分〕假设tan〔α﹣〕= ．那么tanα=．6．〔5分〕如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，那么的值是．7．〔5分〕记函数f〔x〕=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个第2页〔共37页〕数x，那么x∈D的概率是．8．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，那么四边形F1PF2Q的面积是．9．〔5分〕等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，S3=，S6= ，那么a8=．10．〔5分〕某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x的值是．11．〔5分〕函数f〔x〕=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．假设f〔a﹣1〕+f〔2a2〕≤0．那么实数a的取值范围是．12．〔5分〕如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．假设=m +n〔m，n∈R〕，那么m+n=．13．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，A〔﹣12，0〕，B〔0，6〕，点P在圆O：x2+y2=50上．假设≤20，那么点P的横坐标的取值范围是．14．〔5分〕设f〔x〕是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1〕上，f〔x〕=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，那么方程f〔x〕﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．〔14分〕如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，第3页〔共37页〕点E、F〔E与A、D不重合〕分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：〔1〕EF∥平面ABC；〔2〕AD⊥AC．16．〔14分〕向量=〔cosx，sinx〕， =〔3，﹣〕，x∈[0，π]．〔1〕假设∥，求x的值；〔2〕记f〔x〕=，求f〔x〕的最大值和最小值以及对应的x的值．第4页〔共37页〕17．〔14分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆（E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．1〕求椭圆E的标准方程；2〕假设直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．第5页〔共37页〕18．〔16分〕如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．〔容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计〕〔1〕将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中局部的长度；第6页〔共37页〕〔2〕将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E，另一端置于棱GG1上，求l没入水中局部的度．19．〔16分〕于定的正整数k，假设数列{an}足：an﹣k+an﹣k+1+⋯+an﹣1+an+1+⋯+an+k1+an+k=2kan任意正整数n〔n＞k〕成立，称数列{an}是“P〔k〕数列〞．〔1〕明：等差数列{an}是“P〔3〕数列〞；〔2〕假设数列{an}既是“P〔2〕数列〞，又是“P〔3〕数列〞，明：{an}是等差数列．第7页〔共37页〕20．〔16分〕函数f〔x〕=x3+ax2+bx+1〔a＞0，b∈R〕有极值，且导函数f′x〕的极值点是f〔x〕的零点．〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕1〕求b关于a的函数关系式，并写出定义域；2〕证明：b2＞3a；〔3〕假设f〔x〕，f′〔x〕这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．第8页〔共37页〕.非选择题，附加题〔21-24选做题〕【选修4-1：几何证明选讲】〔本小题总分值0分〕21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：〔1〕∠PAC=∠CAB；2〔2〕AC=AP?AB．第9页〔共37页〕[选修4-2：矩阵与变换]22．矩阵A=，B=．1〕求AB；〔2〕假设曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，曲线C的参数方程为〔s为参数〕．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．第10页〔共37页〕［选修4-5：不等式选讲］24．a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．第11页〔共37页〕【必做】25．如，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．1〕求异面直A1B与AC1所成角的余弦；2〕求二面角BA1DA的正弦．26．一个口袋有m个白球，n个黑球〔m，n∈N*，n≥2〕，些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n的抽内，其中第k次取出的球放入号k的抽〔k=1，2，3，⋯，m+n〕．123⋯m+n〔1〕求号2的抽内放的是黑球的概率p；〔2〕随机量x表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E〔X〕是X的数学期望，明E〔X〕＜．第12页〔共37页〕2021年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．〔5分〕〔2021?江苏〕集合A={1，2}，B={a，a2+3}．假设A∩B={1}，那么实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】此题考查实数值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．〔5分〕〔2021?江苏〕复数z=〔1+i〕〔1+2i〕，其中i是虚数单位，那么z的模是．【分析】利用复数的运算法那么、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=〔1+i〕〔1+2i〕=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】此题考查了复数的运算法那么、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．3．〔5分〕〔2021?江苏〕某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，那么应从丙种型号的产品中抽取18件．第13页〔共37页〕【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，那么应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】此题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．〔5分〕〔2021?江苏〕如图是一个算法流程图：假设输入x的值为，那么输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2 =2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于根底题．第14页〔共37页〕5．〔5分〕〔2021?江苏〕假设tan〔α﹣〕= ．那么tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan〔α﹣〕===6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】此题考查了两角差的正切公式，属于根底题6．〔5分〕〔2021?江苏〕如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，那么的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，那么球的体积为：R3，23圆柱的体积为：πR?2R=2πR．那么==．故答案为：．【点评】此题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计第15页〔共37页〕算能力．7．〔5分〕〔2021?江苏〕记函数f〔x〕=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，那么x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．22【解答】解：由6+x﹣x≥0得x﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，那么D=[﹣2，3]，那么在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，那么x∈D的概率P==，故答案为：【点评】此题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决此题的关键．8．〔5分〕〔2021?江苏〕在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，那么四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P〔，〕，Q〔，﹣〕，F1〔﹣2，0〕．F2〔2，0〕．那么四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】此题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．〔5分〕〔2021?江苏〕等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，S3=，S6=，那么a8=32．第16页〔共37页〕【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，S3=，S6= ，可得=，，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S3=，S6= ，∴=，=，解得a1=，q=2．那么a8==32．故答案为：32．【点评】此题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．〔5分〕〔2021?江苏〕某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用根本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240〔万元〕．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】此题考查了根本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．11．〔5分〕〔2021?江苏〕函数f〔x〕=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数第17页〔共37页〕的底数．假设f〔a﹣1〕+f〔2a2〕≤0．那么实数a的取值范围是[﹣1，]．【分析】求出f〔x〕的导数，由根本不等式和二次函数的性质，可得f〔x〕在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f〔x〕为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f 〔x〕=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′〔x〕=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f〔x〕在R上递增；又f〔﹣x〕+f〔x〕=〔﹣x〕3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f〔x〕为奇函数，那么f〔a﹣1〕+f〔2a2〕≤0，2即有f〔2a〕≤﹣f〔a﹣1〕=f〔1﹣a〕，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】此题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．〔5分〕〔2021?江苏〕如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．假设=m +n〔m，n∈R〕，那么m+n=3．【分析】如下图，建立直角坐标系．A〔1，0〕．由与的夹角为α，且第18页〔共37页〕tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos〔α+45°〕=．sin°〔α+45〕=．B．利用=m+n〔m，n∈R〕，即可得出．【解答】解：如下图，建立直角坐标系．A〔1，0〕．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos〔α+45°〕=〔cosα﹣sinα〕=．sin〔α+45°〕=〔sinα+cosα〕=．∴B．=m+n〔m，n∈R〕，∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．那么m+n=3．故答案为：3．【点评】此题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．〔5分〕〔2021?江苏〕在平面直角坐标系xOy中，A〔﹣12，0〕，B〔0，6〕，点P在圆O：x2+y2=50上．假设≤20，那么点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1]．第19页〔共37页〕【分析】根据题意，设P〔x0，y0〕，由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+50，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P〔x0，y0〕，那么有x02+y02=50，=〔﹣12﹣x0，﹣y0〕?〔﹣x0，6﹣y0〕=〔12+x0〕x0﹣y〔06﹣y0〕=12x0+6y+x02+y0220，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】此题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．〔5分〕〔2021?江苏〕设f〔x〕是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1〕上，f〔x〕=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，那么方程f〔x〕﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由中f〔x〕是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1〕上，f〔x〕=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f〔x〕的图象与y=lgx第20页〔共37页〕图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1〕上，f〔x〕=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f〔x〕是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2〕上，f〔x〕=，此时f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4〕上，f 〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞〕上，f〔x〕的图象与y=lgx无交点；故f〔x〕的图象与y=lgx有8个交点；即方程f〔x〕﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】此题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．（二.解答题15．〔14分〕〔2021?江苏〕如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F〔E与A、D不重合〕分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：〔1〕EF∥平面ABC；2〕AD⊥AC．第21页〔共37页〕【分析】〔1〕利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；2〕通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，那么EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：〔1〕因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；2〕在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，那么EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】此题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．〔14分〕〔2021?江苏〕向量=〔cosx，sinx〕，=〔3，﹣〕，x∈[0，第22页〔共37页〕]．〔1〕假设∥，求x的值；〔2〕记f〔x〕=，求f〔x〕的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】〔1〕根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，〔2〕根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：〔1〕∵=〔cosx，sinx〕，=〔3，﹣〕，∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，〔2〕f〔x〕==3cosx﹣ sinx=2〔cosx﹣sinx〕=2 cos〔x+〕，x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos〔x+〕≤，当x=0时，f〔x〕有最大值，最大值3，当x=时，f〔x〕有最小值，最大值﹣2．【点评】此题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于根底题17．〔14分〕〔2021?江苏〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．〔1〕求椭圆E 的标准方程；第23页〔共37页〕〔2〕假设直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】〔1〕由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，那么2×=8，即可求得a和c的值，那么b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；2〔2〕设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，那么即可求得l22及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y0=x0﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P〔m，n〕，当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：〔1〕由题意可知：椭圆的离心率e==，那么a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，那么b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；〔2〕方法一：设P〔x0，y0〕，那么直线PF2的斜率=，那么直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣〔x﹣1〕，直线PF1的斜率=，第24页〔共37页〕那么直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣〔x+1〕，联立，解得：，那么Q〔﹣x0，〕，由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，那么y0=，y02=x02﹣1，那么，解得：，那么，又P在第一象限，所以P的坐标为：P〔，〕．方法二：设P〔m，n〕，由P在第一象限，那么m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，那么=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣〔x+1〕，①直线l2的方程y=﹣〔x﹣1〕，②第25页〔共37页〕联立解得：x=﹣m，那么Q〔﹣m，〕，由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，2222即m﹣n=1，或m+n=1，由P〔m，n〕，在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P〔，〕．【点评】此题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．〔16分〕〔2021?江苏〕如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．〔容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计〕〔1〕将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中局部的长度；〔2〕将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中局部的长度．【分析】〔1〕设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP第26页〔共37页〕MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中局部的长度．〔2〕设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中局部的长度．【解答】解：〔1〕设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC?平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，222∴NP=12cm，且AM=AC+MC，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中局部的长度为16cm．2〕设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，sin∠GEM=sin〔∠EGM+∠EMG〕=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．第27页〔共37页〕∴玻璃棒l没入水中局部的度20cm．【点】本考玻璃棒l没入水中局部的度的求法，考空中、面、面面的位置关系等基知，考推理能力、运算求解能力、空想象能力，考数形合思想、化与化思想，是中档．19．〔16分〕〔2021?江〕于定的正整数 k，假设数列{an}足：an﹣k+an﹣k+1+⋯+an1+an+1+⋯+an+k﹣1+an+k=2kan任意正整数n〔n＞k〕成立，称数列{an}是“P〔k〕数列〞．〔1〕明：等差数列{an}是“P〔3〕数列〞；〔2〕假设数列{an}既是“P〔2〕数列〞，又是“P〔3〕数列〞，明：{an}是等差数列．【分析】〔1〕由意可知根据等差数列的性，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=〔an﹣3+an+3〕+〔an﹣2+an+2〕+〔an﹣1+an+1〕═2×3a n，根据“P〔k〕数列〞的定，可得数列{an}是“P〔3〕数列〞；〔2〕由“P〔k〕数列〞的定，an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可明数列{an}是等差数列．【解答】解：〔1〕明：等差数列{an}首a1，公差d，an=a1+〔n 1〕第28页〔共37页〕d，那么an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，=〔an﹣3+an+3〕+〔an﹣2+an+2〕+〔an﹣1+an+1〕，=2an+2an+2an，=2×3a n，∴等差数列{an}是“P〔3〕数列〞；2〕证明：由数列{an}是“P〔2〕数列〞那么an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①数列{an}是“P〔3〕数列〞an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③a n﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④由②﹣〔③+④〕：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1，整理得：2an=an﹣1+an+1，∴数列{an}是等差数列．【点评】此题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．〔16分〕〔2021?江苏〕函数f〔x〕=x3+ax2+bx+1〔a＞0，b∈R〕有极值，且导函数f′〔x〕的极值点是f〔x〕的零点．〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕1〕求b关于a的函数关系式，并写出定义域；2〕证明：b2＞3a；〔3〕假设f〔x〕，f′〔x〕这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】〔1〕通过对f〔x〕=x3+ax2+bx+1求导可知g〔x〕=f′〔x〕=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′〔x〕=6x+2a，通过令g′〔x〕=0进而可知f′〔x〕的极小值点为x=﹣，从而f〔﹣〕=0，整理可知b=+〔a＞0〕，结合f〔x〕=x3+ax2+bx+1〔a＞0，b∈R〕有极值可知f′〔x〕=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．第29页〔共37页〕〔2〕通过〔1〕构造函数h〔a〕=b2﹣3a=﹣+=〔4a3﹣27〕〔a3﹣27〕，结合a＞3可知h〔a〕＞0，从而可得结论；〔3〕通过〔1〕可知f′〔x〕的极小值为f′〔﹣〕=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f〔x〕的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】〔1〕解：因为f〔x〕=x3+ax2+bx+1，所以g〔x〕=f′〔x〕=3x2+2ax+b，g′〔x〕=6x+2a，令g′〔x〕=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′〔x〕＞0，g〔x〕=f′〔x〕单调递增；当x＜﹣时g′x〕＜0，g〔x〕=f′〔x〕单调递减；所以f′〔x〕的极小值点为x=﹣，由于导函数f′〔x〕的极值点是原函数f〔x〕的零点，所以f〔﹣〕=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+〔a＞0〕．因为f〔x〕=x3+ax2+bx+1〔a＞0，b∈R〕有极值，所以f′〔x〕=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，22所以4a﹣12b＞0，即a﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+〔a＞3〕．〔2〕证明：由〔1〕可知h〔a〕=b2﹣3a=﹣+=〔4a3﹣27〕〔a3﹣27〕，由于a＞3，所以h〔a〕＞0，即b2＞3a；〔3〕解：由〔1〕可知f′〔x〕的极小值为f′〔﹣〕=b﹣，设x1，x2是y=f〔x〕的两个极值点，那么x1+x2=，x1x2=，第30页〔共37页〕所以f〔x1〕+f〔x2〕=++a〔+〕+b〔x1+x2〕+2=〔x1+x2〕[〔x1+x2〕2﹣3x1x2]+a[〔x1+x2〕2﹣2x1x2]+b〔x1+x2〕+2=﹣+2，又因为f〔x〕，f′〔x〕这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，3因为a＞3，所以2a﹣63a﹣54≤0，2所以2a〔a﹣36〕+9〔a﹣6〕≤0，2所以〔a﹣6〕〔2a+12a+9〕≤0，2由于a＞3时2a+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是〔3，6]．【点评】此题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．.非选择题，附加题〔21-24选做题〕【选修4-1：几何证明选讲】〔本小题总分值0分〕21．〔2021?江苏〕如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，为垂足．求证：〔1〕∠PAC=∠CAB；2〔2〕AC=AP?AB．【分析】〔1〕利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．〔2〕由〔1〕可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：〔1〕∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．第31页〔共37页〕AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．〔2〕由〔1〕可得：△APC∽△ACB，∴=．2∴AC=AP?AB．【点评】此题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．〔2021?江苏〕矩阵A=，B=．〔1〕求AB；〔2〕假设曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】〔1〕按矩阵乘法规律计算；〔2〕求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：〔1〕AB==，2〕设点P〔x，y〕为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′〔x0，y0〕，那么=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，第32页〔共37页〕∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】此题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．〔2021?江苏〕在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，曲线C的参数方程为〔s为参数〕．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】此题考查了参数方程的应用，属于根底题．［选修4-5：不等式选讲］24．〔2021?江苏〕a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：〔ac+bd〕2≤〔a2+b2〕〔c2+d2〕，即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8〔cosαcosβ+sinαsinβ〕=8cos〔α﹣β〕≤8．当且仅当cos〔α第33页〔共37页〕﹣β〕=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：〔ac+bd〕2≤〔a2+b2〕〔c2+d2〕=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】此题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．〔2021?江苏〕如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．1〕求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；2〕求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．1〕直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；2〕求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD，AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标第34页〔共37页〕系．AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A〔0，0，0〕，B〔〕，C〔，1，0〕，D〔0，2，0〕，A1〔0，0，〕，C1〔〕．=〔〕，=〔．1〕∵cos＜＞=∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为〔2〕设平面BA1D的一个法向量为〕，，=．；，由，得，取x= ，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，那么二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】此题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．第35页〔共37页〕26．〔2021?江〕一个口袋有m个白球，n个黑球〔m，n∈N*，n≥2〕，些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n的抽内，其中第k 次取出的球放入号k的抽k=1，2，3，⋯，m+n〕．123⋯m+n〔1〕求号2的抽内放的是黑球的概率p；〔2〕随机量x表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E〔X〕是X的数学期望，明E〔X〕＜．【分析】〔1〕事件Ai表示号i的抽里放的是黑球，p=p〔A2〕=P〔A2|A1〕P〔A1〕+P〔A2|〕P〔〕，由此能求出号2的抽内放的是黑球的概率．〔2〕X的所有可能取，⋯，，P〔x= 〕=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，从而E〔X〕=〔〕=，由此能明E〔X〕＜．【解答】解：〔1〕事件Ai表示号i的抽里放的是黑球，p=p〔A2〕=P〔A2|A1〕P〔A1〕+P〔A2|〕P〔〕===．明：〔2〕∵X的所有可能取，⋯，，P〔x=〕=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，∴E〔X〕=〔〕==＜==?〔〕第36页〔共37页〕==，∴E〔X〕＜．【点评】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第37页〔共37页〕。

高考真题数学江苏卷2021年高考数学江苏卷真题2021年高考数学江苏卷的真题已经发布，许多考生在第一时间开始了紧张的备考。

本文将对2021年高考数学江苏卷的真题进行分析和解析，希望能够帮助考生更好地备战高考，取得理想的成绩。

一、选择题部分1.已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=2a，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点O，则四边形OBCD的周长为（）A. 4aB. 5aC. 6aD. 7a解析：由题意可得AD∥BC，AC∥BD，所以四边形ABCD是平行四边形。

平行四边形的特点是对角线相等，所以AC=BD=2AD=4a，∵OBCD是平行四边形，所以OBCD的周长为OC+CD+DB+BO=2a+2a+2a+2a=8a，得到答案为D. 7a。

2.已知正弦函数f(x)=Asinωx（A>0，0＜ω≤π）的图像经过点P(0，2)，点Q(4π，4)，直线y=2交函数f(x)的图像于两点，则实数ω的取值范围是（）A. 0＜ω≤πB. 0＜ω＜πC. 0＜ω＜π/4D. π/2＜ω≤π解析：由题意已知正弦函数的图像经过点P(0,2)和点Q(4π,4)，则得到的方程组为：2=A·sin(ω·0) 和4=A·sin(ω·4π)，解得A=1。

又因为函数的图像与y=2相交于两点，所以f(x)=2，即sinωx=2，所以ω=π/2和ω=3π/2。

综上所述，实数ω的取值范围是π/2＜ω≤π，所以答案为D。

二、解答题部分1. （12分）已知两个相交直线的方程分别为y=2x和y=-3x+16，直线Ax-By+C=0过点（3，-8）。

（1）求直线Ax-By+C=0与y=2x的交点P的坐标；（2）设两相交直线的夹角为45°，求A²+B²的值。

解析：（1）将y=2x代入直线Ax-By+C=0，得到2Ax-2By+C=0，再将点（3，-8）代入得到6A+16B+C=0，同时联立该式与y=2x，解得交点P 的坐标为（2，4）；（2）因为夹角为45°，所以存在关系式tg45°=-3/A+2/B，整理得到A²+B²=25。