(安徽专用)2020版高考数学模拟试题精编2(无答案)

安徽省淮南市2020版高考数学二模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数的值是（）A .B .C . 2D .2. （2分）已知集合A={x｜x2＋x－2<0｝，集合B={x｜(x＋2)(3－x)＞0｝，则等于（）A . {x｜1≤x<3｝B . {x｜2≤x<3｝C . {x｜－2<x<1｝D . {x｜－2<x≤－1或2≤x<3｝3. （2分）(2020·福建模拟) 已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（）A . 16B . 14C . 12D . 84. （2分） (2017高一上·长春期末) 设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A . （2，3）B .C .D .5. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）A .B . -C . -2D . -7. （2分）（x+1+）6的展开式中的常数项为（）A . 32B . 90C . 140D . 1418. （2分）若x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A . 7B . 10C . 16D . 199. （2分）一几何体的三视图如下，则它的体积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·长春月考) 已知椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上不同于两点的动点，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·河南期中) 甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否去过市时，甲说：我没去过，乙说：丙去过，丙说：丁去过，丁说：我没去过。

2020年安徽合肥高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C.D.1.若集合，，，则（ ）．││A.B.C.D.2.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数满足，则（ ）．A.B.C.D.3.若实数满足约束条件，则的最小值是（ ）．4.已知为奇函数，当时，(是自然对数的底数），则曲线在处的切线方程是（ ）．A.B.C.D.5.若，则（ ）．A.B.C.D.6.已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（ ）．A.函数的最小正周期为B.函数图象的对称中心为C.函数的图象可由的图象向左平移得到D.函数的递增区间为7.《九章算术》中”勾股容方”问题：”今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数黄学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图图所示的矩形，该矩形长为．宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点．则下列推理正确的是①由图和图面积相等得； ②由可得；③由可得，；④由可得．贾朱朱贾青青图朱朱贾贾青青图图朱贾青A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择，，三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（ ）．A.种B.种C.种D.种9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为 .则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（ ）．A.B.C.D.10.已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于点，．若，则（ ）．A.B.C.D.11.若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.12.在三棱锥中，二面角、和的大小均等于，，设三棱锥外接球的球心为，直线与平面交于点，则（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量和满足，，则．14.三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者．在某次三人制足球传球训练中， 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第次传球后，球仍回到甲的概率等于 ．15.已知双曲线：（，）的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则双曲线的渐近线方程为 ．16.已知三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，，，成等差数列，则：（）；（）．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知等差数列的前项和为，，，数列满足．求数列和的通项公式．若数列满足，求数列的前项和．图（1）（2）18.如图，在矩形中，，在边上，．沿，将和折起，使平面和平面都与平面垂直，如图．图试判断图中直线与的位置关系，并说明理由．求平面和平面所成锐角二面角的余弦值．（1）（2）19.已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的左上方．若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，求此时直线的方程．求证：的内切圆的圆心在定直线上．（1）（2）20.某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：市场销售状态畅销平销滞销市场销售状态概率预期平均年利润（单位：万元）方案方案以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为（万件），通过核算，实行方案时新产品的年度总成本（万元）为，实行方案时新产品的年度总成本（万元）为，已知，，若按（）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价（元）分别为，，，且生产的新产品当年都能卖出去．试问：当取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．【答案】解析:∴．故选．（1）（2）21.已知函数．（是自然对数的底数）求的单调递减区间．记，若，试讨论在上的零点个数．（参考数据：）四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程．若直线与曲线交于，两点，，求的值．（1）（2）23.已知不等式的解集为．求的值．若三个正实数，，满足，证明：．A1.│││││││B2.，∴，∴，∴，∴．故选．解析:由实数，满足约束条件做出可行域如图：x–4–3–2–1123456789y8–6–4–2246OA CB化目标函数为由图可知，当直线过点时，有最小值，联立，解得此时故选：．A 3.C4.当时，则，∴，又为奇函数，∴，∴，因此，，当时，，∴，即切线斜率为，当时，，则切点为，∴切线方程为，故选．解析:，∵,∴，又∵，∴，∴．A 5.故选．解析:①重组后图形面积不发生改变．故有∴．①正确②由图得．故图中正方形的边长为为正方形对角线∴∴∴在图中，即有即．故②正确③由于为中点，∴在图中，∴即故③不正确④在图中．∴即故④正确综上选．D 6.B 7.解析:依据题意，可让甲先选择扶贫项目，有或，种选择再让乙进行选择．①若甲选择，则乙可选择或共种选择，若乙选择，则丙只能选择或，丁只能选，共种选择，若乙选择，则丙只能选或或，当丙选择时，丁只能选择，当丙选择或时，丁可选或，共（种）选择．②若甲选择，则乙可选择或共种选择，若乙选择，则丙只能选或，此时丁也有或两种选择，共有（种）选择，若乙选择，则丙可选或或，当丙选择时，丁只能选，当丙选择或时，丁可选或共有（种）选择，根据加法计数原理，可知总选法有（种）．故选．解析:该几何体的图形如图所示，由题意可知，设圆柱底面半径为，，所以，令，则．令，则，令，则，即，所以或，则可知，当时，．当时，．B 8.D 9.圆柱底所以当时，取得最大值，此时，此时，则，．所以．所以该几何体的表面积等于．故选．解析:设，，因为直线过点，由题意知，直线的斜率存在且不为，所以设直线方程为：，联立，消去整理得：，所以，．由抛物线的定义可知：，，所以，又因为，所以，则．所以．所以 ．故选.解析:表半球球底面体侧A 10.C 11.由题意可知，设，，则，令，∴在上递减，在上递增，又，则的图象过定点，在同一坐标系中，的图象如下，若有且仅有两个整数，，使得且，∴，∴，解得，即．故选．解析:如图，作平面，垂足为，过点作，垂足为，则即二面角的平面角，则，D 12.由二面角，，大小均等于知，点到直线，，的距离相等，即点是的内切圆的圆心，设半径为，则，∵在中，，不妨设，，，则为直角三角形，且，，设中点为，过点作直线的平行线，则三棱锥外接球的球心在直线上且位于平面下方，在直角中，易求得，设，则，又，所以，解得，则，故，则．故选：．13.解析:，，两边平方得．①，②，①②得，又，∴．将，代入②式，得．14.解析:本题可用树形图去求基本事件空间及满足条件的基本事件的个数．甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲从图中可以得到：基本事件总数为，回到甲手中的基本事件为个，所以满足条件的概率为：，故答案为：．解析:设双曲线的左焦点为，则有，∴，又，∴的周长，当、、三点共线时，的周长最小，此时，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为．解析:15. ;16.（）∵，，成等比数列，∴，由正弦定理可得，∵，，成等差数列，∴，∴，由正弦定理可知，由余弦定理可知，∴，∴，又，∴，∴；（）由（）可知，，∴，由余弦定理可知，又，，∴，，令，则，∴，∴，∴或（舍），∴，∴．故答案为：；．17.（1），．（1）（2）（1）解析:设的公差为，由，，可以得，解得，∴．又，∴，．两式相除得．经检验，时，满足上式，∴．∵，∴．解析:连结，分别取，的中点，，连结，，：由图（）可得，与都是等腰直角三角形且全等，则，，，如图：（2）．（1），证明见解析．（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为．18.（2）∵平面平面，交线为，平面，，∴平面，同理得，平面，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵，分别是，的中点，∴，∴．在边上取一点，使得，由图可得，为正方形，即，∵为的中点，∴，由（）知，平面，∴，，两两垂直，以点为坐标原点，直线，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：设，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为由得，令，则，，∴，由平面是坐标平面可得：平面一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则，（1）（2）∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．解析:设直线的方程为，设，，由得，则，，由，解得，又∵点在直线的左上方，∴，若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则，即，化简得，解得或（舍）．∴直线的方程为．∵．∴直线平分，即的内切圆的圆心在定直线上．（1）．（2）证明见解析．19.（1）当时，应选择方案；当时应选择方案；20.（1）（2）解析:∵，解得，，，；；，∴当时，应选择方案；当时应选择方案；当时，既可以选择方案也可以选择方案．因为，根据（）的结果，应选择方案，所以新产品的年度总成本为，设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为，和，则，，，∴的分布列为，设，，∴，，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴当时，取得最大值，即年产量为万件时，取得最大值．此时（万元），当时，既可以选择方案也可以选择方案．（2）在年产量为万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．（1）（2）由（）知，预期平均年利润的期望（万元），因为，所以在年产量为万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．解析:，定义域为，，由解得，解得，∴的单调递减区间为．故答案为：．由已知，∴，令，则，∵，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，∵，，①当，即时，，∴，∴，使得，∴当时，，当时，，∴在上单调递增，（1）．（2）当时，在上仅有一个零点，当时，在上有两个零点．21.（1）在上单调递减，∵，∴，又∵，∴由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点，②若时，，又∵在上单调递增，在上单调递减，又，∴，，使得，，且当，时，，当时，，∴在和上单调递减，在上单调递增，∵，∴，∵，∴，又∵，由零点存在性定理可得，在和内各有一个零点，即此时在上有两个零点，综上所述，当时，在上仅有一个零点，当时，在上有两个零点．解析:曲线的参数方程消去参数得，曲线的普通方程为．∵，（1），．（2）．22.（2）（1）（2）∴，∴直线的直角坐标方程为．设直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，∴，．∵点在直线上，∴．解析:由题意知，为方程的根，∴，解得，由解得，，∴．由知，∴，∴成立．（1）．（2）证明见解析．23.。

2020年安徽省淮北市⾼考数学⼆模试卷（理科）（解析版）2020年安徽省淮北市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（共12⼩题）.1．已知集合P＝已知集合P＝，则P∩Q＝（）A．?B．（1，2）C．（﹣1，0）D．（2，+∞）2．设复数（i为虚数单位），则复数＝（）A．﹣i B．0C．i D．2+i3．函数（0＜a＜1）的图象的⼤致形状是（）A．B．C．D．4．1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重⼤影响的论⽂“西⽅马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作⽤的进⼀步研究”，这⼀研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了⼈⼯繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的⽅法．若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为：y＝2t﹣1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发⽣变异，则该种病毒细胞实验最多进⾏的天数为（）天（lg2≈0.3010）A．25B．26C．27D．285．已知命题P：”存在正整数N，使得当正整数n＞N时，有1+＞2020成⽴”，命题Q：“对任意的λ∈R，关于x的不等式1.001x ﹣λx1001＞0都有解”，则下列命题中不正确的是（）A．P∧Q为真命题B．￢P∨Q为真命题C．P∨Q为真命题D．￢P∨￢Q为真命题6．2020年⾼校招⽣实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重⼤战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学⽣，聚焦⾼端芯⽚与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家⼈才紧缺的⼈⽂社会科学领域，有36所⼤学⾸批试点强基计划某中学积极应对，⾼考前进⾏了⼀次模拟笔试，甲、⼄、丙、丁四⼈参加，按⽐例设定⼊围线，成绩公布前四⼈分别做猜测如下：甲猜测：我不会⼊围，丙⼀定⼊围；⼄猜测：⼊围者必在甲、丙、丁三⼈中；丙猜测：⼄和丁中有⼀⼈⼊围；丁猜测：甲的猜测是对的．成绩公布后，四⼈中恰有两⼈预测正确，且恰有两⼈⼊围，则⼊围的同学是（）A．甲和丙B．⼄和丁C．甲和丁D．⼄和丙7．如图，圆O的直径MN＝3，P，Q为半圆弧上的两个三等分点，则＝（）A．3B．C．3D．98．已知某⼏何体的三视图（单位：cm）如图所⽰，则该⼏何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm39．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）满⾜f（x+）＝﹣f（x），若把函数f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）＝sin（x+）B．f（x）＝sin（2x﹣）C．f（x）＝sin（4x+）D．f（x）＝sin（2x﹣）10．已知锐⾓三⾓形△ABC，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c＝2，则△ABC⾯积的取值范围为（）A．（，2）B．（，2）C．（，）D．（，）11．已知函数f（x）＝eln（x﹣2），g（x）＝x，若f（x1）＝g（x2），则x1﹣x2的最⼩值为（）A．1B．2C．e D．312．已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，且抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C的右焦点F2重合，点P为C与E的⼀个交点，且直线PF1的倾斜⾓为45°，则双曲线的离⼼率为（）A．B．+1C．D．⼆、填空题（本⼤题共4题，每⼩题5分，共20分）13．展开式中x项的系数是．14．已知实数x，y满⾜，则的最⼩值为．15．已知圆O：x2+y2＝1，直线l：y＝2x+a，过直线l上的点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，若存在点P使得+＝，则实数a的取值范围是．16．已知正四棱锥P﹣ABCD的底⾯边长为，⾼为，其内切球与⾯PAB切于点M，球⾯上与P距离最近的点记为N，若平⾯α过点M，N且与AB平⾏，则平⾯α截该正四棱锥所得截⾯的⾯积为．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答；第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答）17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥⾯ABCD，AB＝AC＝AD ＝3，点M在线段AD 上，且2AM＝MD，N为PB的中点，AD∥BC，MN∥⾯PCD．（Ⅰ）求BC的长；（Ⅱ）若PA＝2，求⼆⾯⾓N﹣PM﹣D的余弦值18．2020年3⽉22⽇是第⼆⼗⼋届“世界⽔⽇”3⽉22﹣28⽇是第三⼗三届“中国⽔周”，主题为“坚持节⽔优先，建设幸福河湖”，效仿阶梯电价，某市准备实施阶梯⽔价．阶梯⽔价原则上以⼀套住宅（⼀套住宅为⼀户）的⽉⽤⽔量为基准，具体划分阶梯如表：梯类第⼀阶梯第⼆阶梯第三阶梯⽉⽤⽔量范围（⽴⽅⽶）（0，10]（10，15]（15，+∞]从本市居民⽤户中随机抽取10户，并统计了在同⼀个⽉份的⽉⽤⽔量，得到如图所⽰的茎叶图．（Ⅰ）若从这10户中任意抽取三户，求取到第⼆阶梯⽤户数X的分布列和数学期望；（Ⅱ）⽤以上样本估计全市的居民⽤⽔情况，现从全市随机抽取10户，则抽到多少户为第⼆阶梯⽤户的可能性最⼤？19．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，其短轴的两个端点分别为A，B，若△F1AB是边长为2的等边三⾓形．（Ⅰ）求椭圆C的⽅程；（Ⅱ）过点M（0，2）且斜率为k的直线交椭圆C于P，Q两点，在y轴上是否存在定点N，使得直线PN，QN的斜率乘积为定值，若存在，求出定点，若不存在，请说明理由．20．已知S n，T n分别为数列{a n}，{b n}的前n项和，a1＝1且2S n＝a n+1﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝3n﹣n﹣1成⽴，求满⾜等式T n＝a n的所有正整数n．21．若函数f（x）＝e x的图象与g（x）＝kx的图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为（x0，y0）．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x0）＜g（1）＜y0．选考题（本⼤题共10分请⽼⽣在第22、23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题计分）[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在直⾓坐标系xOy中，曲线C的参数⽅程为（α为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建⽴极坐标系，直线l的极坐标⽅程为ρcos（）＝2．（1）求曲线C和直线l的直⾓坐标⽅程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|?|PB|为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+2|x﹣1|的最⼩值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c为正实数，且，求证：．参考答案⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题所给的四个选项中只有⼀项符合题意）1．已知集合P＝已知集合P＝，则P∩Q＝（）A．?B．（1，2）C．（﹣1，0）D．（2，+∞）【分析】可以求出集合P，Q，然后进⾏交集的运算即可．解：P＝{x|x＜0或x＞2}，Q＝{x|﹣1＜x＜2}，∴P∩Q＝（﹣1，0）．故选：C．2．设复数（i为虚数单位），则复数＝（）A．﹣i B．0C．i D．2+i【分析】利⽤复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵＝，∴．故选：A．3．函数（0＜a＜1）的图象的⼤致形状是（）A．B．C．D．【分析】利⽤特殊点的坐标，排除判断函数的图象即可．解：函数（0＜a＜1）当x＝＞1时，f（x）＝﹣1，排除选项A、B．当x＝﹣a时，f（x）＝1，排除选项D，故选：C．4．1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重⼤影响的论⽂“西⽅马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作⽤的进⼀步研究”，这⼀研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了⼈⼯繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的⽅法．若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为：y＝2t﹣1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发⽣变异，则该种病毒细胞实验最多进⾏的天数为（）天（lg2≈0.3010）A．25B．26C．27D．28【分析】由题意可知2t﹣1≤108，两边同时取常⽤对数，利⽤对数得运算性质即可求出结果．解：∵y＝2t﹣1，∴2t﹣1≤108，两边同时取常⽤对数得：lg2t﹣1≤lg108，∴（t﹣1）lg2≤8，∴t﹣1≤，∴t≤≈27.6，∴该种病毒细胞实验最多进⾏的天数为27天，故选：C．5．已知命题P：”存在正整数N，使得当正整数n＞N时，有1+＞2020成⽴”，命题Q：“对任意的λ∈R，关于x的不等式1.001x ﹣λx1001＞0都有解”，则下列命题中不正确的是（）A．P∧Q为真命题B．￢P∨Q为真命题C．P∨Q为真命题D．￢P∨￢Q为真命题【分析】直接利⽤放缩法和真值表的应⽤及存在性问题的应⽤求出结果．解：对于命题P：”存在正整数N，使得当正整数n＞N时，有1+＞2020成⽴”，由于1+＜═＜2，故命题P是假命题；对于命题Q：“对任意的λ∈R，关于x的不等式1.001x﹣λx1001＞0都有解”，当x≤0时，当λ＞0时，关于x的关系式1.001x﹣λx1001＝0，故该命题为假命题．故选：A．6．2020年⾼校招⽣实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重⼤战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学⽣，聚焦⾼端芯⽚与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家⼈才紧缺的⼈⽂社会科学领域，有36所⼤学⾸批试点强基计划某中学积极应对，⾼考前进⾏了⼀次模拟笔试，甲、⼄、丙、丁四⼈参加，按⽐例设定⼊围线，成绩公布前四⼈分别做猜测如下：甲猜测：我不会⼊围，丙⼀定⼊围；⼄猜测：⼊围者必在甲、丙、丁三⼈中；丙猜测：⼄和丁中有⼀⼈⼊围；丁猜测：甲的猜测是对的．成绩公布后，四⼈中恰有两⼈预测正确，且恰有两⼈⼊围，则⼊围的同学是（）A．甲和丙B．⼄和丁C．甲和丁D．⼄和丙【分析】本题主要抓住甲、丁的预测是⼀样的这⼀特点，则甲、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设甲、丁的预测成⽴，则⼄、丙的预测不成⽴，可推出⽭盾，故甲、丁的预测不成⽴，则⼄、丙的预测成⽴，再分析可得出获奖的是甲和丁．解：由题意，可知：∵甲、丁的预测是⼀样的，∴甲、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．①假设甲、丁的预测成⽴，则⼄、丙的预测不成⽴，根据甲、丁的预测，丙获奖，⼄、丁中必有⼀⼈获奖；这与丙的预测不成⽴相⽭盾．故甲、丁的预测不成⽴，②甲、丁的预测不成⽴，则⼄、丙的预测成⽴，∵⼄、丙的预测成⽴，∴丁必获奖．∵甲、丁的预测不成⽴，⼄的预测成⽴，∴丙不获奖，甲获奖．从⽽获奖的是甲和丁．故选：C．7．如图，圆O的直径MN＝3，P，Q为半圆弧上的两个三等分点，则＝（）A．3B．C．3D．9【分析】利⽤向量三⾓形法则得到＝+，＝+，结合图形，结合平⾯向量数量积的运算性质代⼊即可．解：由图可得＝+，＝+，⼜因为P，Q为半圆弧上的两个三等分点，所以∠POM＝∠MNQ＝60°，||＝||＝||＝，则＝?（+++）＝?+?+2+?＝3××1+3××cos120°+32+3××cos120°＝9，故选：D．8．已知某⼏何体的三视图（单位：cm）如图所⽰，则该⼏何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【分析】由三视图可知：该⼏何体是⼀个棱长分别为6，6，3，砍去⼀个三条侧棱长分别为4，4，3的⼀个三棱锥（长⽅体的⼀个⾓）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该⼏何体是⼀个棱长分别为6，6，3，砍去⼀个三条侧棱长分别为4，4，3的⼀个三棱锥（长⽅体的⼀个⾓）．∴该⼏何体的体积V＝6×6×3﹣＝100．故选：B．9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）满⾜f（x+）＝﹣f（x），若把函数f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）＝sin（x+）B．f（x）＝sin（2x﹣）C．f（x）＝sin（4x+）D．f（x）＝sin（2x﹣）【分析】根据函数f（x）满⾜求出ω＝2，再根据函数图象平移后得到的函数图象为偶函数求出φ的值．解：函数f（x）＝sin（ωx+φ），满⾜，即sin（ωx++φ）＝﹣sin（ωx+φ），⼜ω＞0，令＝π，得ω＝2；把函数f（x）的图象向左平移个单位后，得到y＝sin[2（x+）+φ]的图象，其对应的函数为y＝sin（2x++φ）为偶函数，且|φ|＜；所以+φ＝，解得φ＝﹣；所以函数f（x）＝sin（2x﹣）．故选：D．10．已知锐⾓三⾓形△ABC，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c＝2，则△ABC⾯积的取值范围为（）A．（，2）B．（，2）C．（，）D．（，）【分析】由题设及正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求sin＝，即可求解B的值，由题设及三⾓形的⾯积公式，正弦定理得a＝＝＝+1，可求范围30°＜C＜90°，利⽤正切函数的性质可得tan C∈（，+∞），求得范围1＜a ＜4，即可得解△ABC⾯积的取值范围．解：∵，∴a sin（）＝a cos＝b sin A，∴由正弦定理可得：sin A cos＝sin B sin A，∵sin A＞0，∴可得：cos＝sin B＝2sin cos，∵B为锐⾓，也为锐⾓，∴可得sin＝，可得＝，可得B＝，∵c＝2，∵由题设知△ABC的⾯积S△ABC＝ac sin B＝a，由正弦定理得a＝＝＝+1．∵△ABC为锐⾓三⾓形，∴0°＜A＜90°，0°＜C＜90°，由（1）知A+C＝180°﹣B＝120°，∴30°＜C＜90°，∴tan C∈（，+∞），∴1＜a＜4，∴＜S△ABC＜2．∴△ABC⾯积的取值范围是（，2）．故选：A．11．已知函数f（x）＝eln（x﹣2），g（x）＝x，若f（x1）＝g（x2），则x1﹣x2的最⼩值为（）A．1B．2C．e D．3【分析】先根据f（x1）＝g（x2）得到ln（x1﹣2）＝；令ln（x1﹣2）＝＝k；则x1＝e k+2；x2＝ek；表⽰出x1﹣x2，再构造新函数求出其最值即可．解：∵函数f（x）＝eln（x﹣2），g（x）＝x，若f（x1）＝g（x2）；则eln（x1﹣2）＝x2?ln（x1﹣2）＝；令ln（x1﹣2）＝＝k；则x1＝e k+2；x2＝ek；∴x1﹣x2＝e k+2﹣ek；令h（x）＝e x+2﹣ex；∴h′（x）＝e x﹣e；则x＞1时，导函数⼤于0，原函数单调递增；x＜1时，导函数⼩于0，原函数单调递减；故h（x）min＝h（1）＝2；即x1﹣x2的最⼩值为2；故选：B．12．已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，且抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C的右焦点F2重合，点P为C与E的⼀个交点，且直线PF1的倾斜⾓为45°，则双曲线的离⼼率为（）A．B．+1C．D．【分析】不妨设F1（﹣c，0）、F2（c，0），分析可知，抛物线的准线与x＝﹣c重合，过点P作PQ⊥准线于Q，根据直线PF1的倾斜⾓为45°，可判断△QPF1为等腰直⾓三⾓形，设PF2＝PQ＝m，则PF1＝，结合双曲线的定义得①；再在△PF1F2中，由余弦定理可得m＝2c②，综合①②以及即可求得离⼼率．解：不妨设F1（﹣c，0）、F2（c，0），由题意可知，抛物线的准线与x＝﹣c重合，过点P作PQ⊥准线于Q，如图所⽰，∵直线PF1的倾斜⾓为45°，∴∠QPF1＝∠QF1P＝45°，即△QPF1为等腰直⾓三⾓形，设PF2＝PQ＝m，则PF1＝，由双曲线的定义可知，PF1﹣PF2＝2a，∴①，在△PF1F2中，由余弦定理可知，，∴，化简得m＝2c②，结合①②可知，．故选：B．⼆、填空题（本⼤题共4题，每⼩题5分，共20分）13．展开式中x项的系数是10．【分析】先写出展开式中的通项公式，再求出含x项的系数．解：∵展开式中的通项公式为T r+1＝C x5﹣r（﹣）r＝C（﹣1）r x5﹣2r，r＝0，1， (5)令5﹣2r＝1，解得r＝2．∴T3＝C（﹣1）2x＝10x．故答案为：10．14．已知实数x，y满⾜，则的最⼩值为．【分析】作出可⾏域，⽬标函数表⽰可⾏域内的点与原点连线的斜率，数形结合可得．解：作出实数x，y满⾜所对应的可⾏域，⽬标函数＝表⽰可⾏域内的点与原点连线的斜率的倒数加1，数形结合可知当直线经过点B（1，3）时，取最⼩值，则的最⼩值为．故答案为：．15．已知圆O：x2+y2＝1，直线l：y＝2x+a，过直线l上的点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，若存在点P使得+＝，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．【分析】根据题意，设PO与AB交于H，由向量加法的运算性质可得＝，结合直⾓三⾓形的射影定理可得PA2＝PH?PO，分析可得2＝2，由勾股定理分析可得，PA2＝PH?PO，则2＝2，⼜由点到直线的距离公式可得＝≤2，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，如图：设PO与AB交于H，若+＝，⽽+＝2，则有＝，在Rt△PAO中，PA2＝PH?PO，则2＝2，变形可得：（2﹣1）＝2，解可得：2＝4，即|PO|＝2，则有＝≤2，解可得：﹣2≤a≤2，即a的取值范围为：[﹣2，2]；故答案为：[﹣2，2]．16．已知正四棱锥P﹣ABCD的底⾯边长为，⾼为，其内切球与⾯PAB切于点M，球⾯上与P距离最近的点记为N，若平⾯α过点M，N且与AB平⾏，则平⾯α截该正四棱锥所得截⾯的⾯积为9．【分析】取AB，CD中点Q，R，连结PQ，PR，QR，取QR中点S，连结PS，则PS ⊥平⾯ABCD，根据已知可得△PQR为正三⾓形，正棱锥P﹣ABCD内切球的球⼼为正△PQR的内⼼O，与⾯PAB切于点M为PQ中点，球⾯上与P距离最近的点为OP与球⾯的交点，即在OP之间且ON长为内切球的半径，连结MN，并延长交PR于I，平⾯α过M，N与AB平⾏，可得平⾯α分别与平⾯PAB、平⾯PCD的交线为过M，I 与AB平⾏的直线，即可得截⾯为梯形，根据长度关系，即可求得平⾯α截该正四棱锥所得截⾯的⾯积．解：取AB，CD中点Q，R，连结PQ，PR，QR，取QR中点S，连结PS，则RQ⊥AB，S为正⽅形ABCD的中⼼，四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，∴PS⊥平⾯ABCD，∴PS＝6，在Rt△PSQ中，PQ＝＝＝4，同理，PR＝4，∴△PQR是正三⾓形，∴正四棱锥P﹣ABCD内切球的球⼼为正△PQR的内⼼O，内切球的半径是正△PQR的内切圆半径为2，内切球与平⾯PAB的切点M为正△PQR内切圆与直线PQ的切点，∴M为PQ中点，球⾯上与P距离最近的点为连结OP与球⾯的交点，即在OP之间，且ON＝2，∴N为OP中点，连结MN并延长交PR于I，平⾯α过M，N，I与直线AB平⾏，设平⾯α分别与平⾯PAB，平⾯PCD交于EF，GH，∵AB?平⾯PAB，∴EF∥AB，⼜∵AB∥CD，∴CD?α，∴CD∥α，同理可证GH∥CD，∴EF∥GH，连结GF，HE，则梯形EFGH为所求的截⾯，∵RQ⊥AB，PS⊥AB，PS∩RQ＝S，∴AB⊥平⾯PQR，∵IM?平⾯PQR，∴AB⊥IM，AB∥EF，∴EF⊥IM，连结OQ，则OQ为∠POS的⾓平分线，∴∠PQO＝30°，∵M，N是PQ，PO的中点，∴MN∥OQ，∴∠PMI＝∠PQO＝30°，⽽∠MPI＝60°，∴∠PIM＝90°，∴MI＝PM cos30°＝3，PI＝PM sin30°＝＝，⼜HG∥CD，∴HG＝＝，∴截⾯梯形EFGH的⾯积为S＝＝＝9．故答案为：9．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答；第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答）17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥⾯ABCD，AB＝AC＝AD ＝3，点M在线段AD 上，且2AM＝MD，N为PB的中点，AD∥BC，MN∥⾯PCD．（Ⅰ）求BC的长；（Ⅱ）若PA＝2，求⼆⾯⾓N﹣PM﹣D的余弦值【分析】（Ⅰ）取PC中点E，连结EN，ED，推导出EN∥MD，从⽽M，N，E，D四点共⾯，推导出MNED是平⾏四边形，由此能求出BC．（Ⅱ）取BC中点F，连结AF，则AF⊥BC，以A为原点，AF为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓N﹣PM﹣D的余弦值．解：（Ⅰ）取PC中点E，连结EN，ED，∵EN∥BC，AD∥BC，∴EN∥MD，∴M，N，E，D四点共⾯，∵MN∥平⾯PCD，⾯PCD∩⾯MNED＝ED，∴MN∥ED，∴MNED是平⾏四边形，∴EN＝MD＝2，BC＝2EN＝4．（Ⅱ）取BC中点F，连结AF，则AF⊥BC，∵AD∥BC，∴AF⊥AD，以A为原点，AF为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，由AF⊥AD，AF⊥AP，知⾯PMD的法向量＝（1，0，0），∵PA＝2，∴P（0，0，2），B（，﹣2，0），N（，﹣1，1），M（0，1，0），＝（0，1，﹣2），＝（，﹣1，﹣1），设平⾯PMN的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（，2，1），设⼆⾯⾓N﹣PM﹣D的平⾯⾓为θ，由图得θ是钝⾓，∴⼆⾯⾓N﹣PM﹣D的余弦值为：cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．。

高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A ={x |0＜x ＜4}，B ={x |-4＜x ≤2}，则A ∩B =（ ）A. （0，4）B. （-4，2]C. （0，2]D. （-4，4）2.若复数z 满足，则|z |=（ ）A.1B. C. 2 D.3.若双曲线（m ＞0）的焦点到渐近线的距离是2，则m 的值是（ ）A.2B.C. 1D. 44.在△ABC 中，，若，则=（ ).A.B.C.D.5.如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是（ ）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低6.若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的概率是（ ）A.B. C. D.7.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何?”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：1丈＝10尺)( )A. 1946立方尺 B. 3892立方尺 C. 7784立方尺 D. 11676立方尺8.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数g （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数g （x ）的图象关于点对称B. 函数g （x ）的周期是C. 函数g（x）在上单调递增D. 函数g（x）在上最大值是19.设函数，若函数g（x）=f（x）-b有三个零点，则实数b的取值范围是（ ）A. （1，+∞）B.C. （1，+∞）∪{0}D. （0，1]10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A. 17π+12B. 12π+12C. 20π+12D. 16π+1211.函数f（x）=x2+x sinx的图象大致为（ ）A. B.C. D.12.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点（0，1），（0，3），且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx（k＞0）关于y轴对称，则k 的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是______．14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若3a5-a1=10，则S13=______．15.若，则=______．16.已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．18.如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB=2GF，BF=CF．(Ⅰ)求证：AB⊥CG；(Ⅱ)若△ABC和梯形BCGF的面积都等于，求三棱锥G-ABE的体积．19.为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）．参考公式：r=，（x i-）2=10，（y i-）2=1.3，，=，=．20.已知直线与焦点为的抛物线()相切.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)过点的直线与抛物线交于，两点，求，两点到直线的距离之和的最小值.21.已知函数f(x)＝x2－3ax＋a2ln x (a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x≥e2(e为自然对数的底数)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为ρ2=4ρsinθ-3．（Ⅰ）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值．23.已知f（x）=|3x+2|（1）求f（x）≤1的解集；（2）若f（x2）≥a|x|恒成立，求实数a的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|0＜x＜4}，B={x|-4＜x≤2}；∴A∩B=（0，2]．故选：C．进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：由=，得z=1+2i．∴|z|=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：双曲线（m＞0）的焦点设为（c，0），渐近线方程设为bx-ay=0，可得：d==b，由题意可得b=m=2．故选：A．求得双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵；∴；∴．故选：A．根据即可得出，求出，然后代入即可．考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算．5.【答案】B【解析】解：根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为-0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：B．根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式表示的平面区域及几何概型中的面积型，属中档题．由不等式表示的平面区域得：x2+y2≤1所围区域为以原点为圆心，1为半径的圆面，|x|+|y|≤1所围区域为正方形ABCD所围成的区域，由几何概型中的面积型得：该点落在|x|+|y|≤1所围区域内的概率是P===，得解．【解答】解：x2+y2≤1所围区域为以原点为圆心，1为半径的圆面，|x|+|y|≤1所围区域为正方形ABCD所围成的区域，由几何概型中的面积型可得：该点落在|x|+|y|≤1所围区域内的概率是P===，故选：B．7.【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，是基础题．【解答】解：如图所示，正四棱锥P-ABCD的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺；截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺，所以，解得OO'=21，所以该正四棱台的体积是V=×21×（202+20×6+62）=3892（立方尺）．故选：B．8.【答案】C【解析】解：函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）=2sin（2x+）-1的图象，故：①函数g（x）的图象关于点对称，故选项A错误．②函数的最小正周期为π，故选项B错误．③当时，，所以函数的最大值取不到1．故选项D错误．故选：C．直接利用函数的图象的伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】D【解析】【分析】根据函数零点的定义转化为f（x）=b有三个根，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数图象之间的关系是解决本题的关键．【解答】解：函数g（x）=f（x）-b有三个零点，则函数g（x）=f（x）-b=0，即f（x）=b有三个根，当x≤0时，f（x）=e x（x+1），则f′（x）=e x（x+1）+e x=e x（x+2），由f′（x）＜0得x+2＜0，即x＜-2，此时f（x）为减函数，由f′（x）＞0得x+2＞0，即-2＜x＜0，此时f（x）为增函数，即当x=-2时，f（x）取得极小值f（-2）=-，作出f（x）的图象如图：要使f（x）=b有三个根，则0＜b≤1，故选：D．10.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：半个以3为半径的圆柱截取一个半径为1的圆柱．故：S=+=20π+12．故选C．首先把三视图转换为几何体进一步利用表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.【答案】A【解析】解：函数f（x）=x2+x sinx是偶函数，关于y轴对称，故排除B，令g（x）=x+sin x，∴g′（x）=1+cos x≥0恒成立，∴g（x）在R上单调递增，∵g（0）=0，∴f（x）=xg（x）≥0，故排除D，当x＞0时，f（x）=xg（x）单调递增，故当x＜0时，f（x）=xg（x）单调递减，故排除C．故选：A．根据函数的奇偶性排除B，再根据函数的单调性排除C，D，问题得以解决．本题考查了函数图象识别和应用，考查了导数和函数单调性的关系，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵圆C经过点（0，1），（0，3），且与x轴正半轴相切，∴圆心纵坐标为2，半径为2，则圆心横坐标为，∴圆心坐标为（，2），设过原点与圆相切的直线方程为y=k1x，由圆心到直线的距离等于半径，得，解得k1=0或．∴若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y=kx（k＞0）关于y轴对称，则k的最小值为．故选：D．由题意画出图形，求出圆C的圆心坐标与半径，再求出过原点与圆相切的直线的斜率，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13.【答案】m＞2【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．【解答】解：若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，则{x|x＞m}⊊{x|x＞2}，即m＞2，即实数m的取值范围是m＞2，故答案为：m＞214.【答案】65【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，3a5-a1=10，∴3（a1+4d）-a1=2a1+12d=2a7=10，∴S13===．故答案为：65．利用等差数列通项公式求出2a7=10，由此能求出S13的值．本题考查等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】【解析】解：∵，∴=cos[-（-2x）]=cos2（x+）=1-2sin2（x+）=1-2×=．故答案为：．利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的定义及简单几何性质,同时考查定理的应用,可得P，F2，M三点共线，|PF1|+|PM|+|MF1|=4a,可得|PF1|=，|PF2|=,由余弦定理可|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2可得a，c的关系，即可求离心率．【解答】解: 如图，∵F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，∴P，F2，M三点共线，设|PF1|=m，则|PM|=m，|MF1|=m,又|PF1|+|PM|+|MF1|=4a=3m,∵|PF1|=，|PF2|=,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2，∴a2=3c2，e=．故答案为.17.【答案】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理可得∴，∵B为三角形的内角，∴sin B≠0，∴，∴，∵C∈（0，π），∴，∴；（Ⅱ）由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab cos C，∴b2+4b-12=0，∵b＞0，∴b=2，∴．【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈（0，π），可求C的值；（Ⅱ）由已知利用余弦定理可求得b2+4b-12=0，解得b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．18.【答案】证明：（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF．由ABC-EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，∴BC∥FG．∵CB=2GF，∴，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．∵BF=CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC．∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴CG⊥AB.（Ⅱ）∵三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，且CB=2GF，∴AC=2EG，∴S△ACG=2S△AEG，∴．由（Ⅰ）知，CG⊥平面ABC．∵正△ABC的面积等于，∴BC=2，GF=1．∵直角梯形BCGF的面积等于，∴，∴，∴．【解析】（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF．推导出BC∥FG，四边形CDFG为平行四边形，从而CG∥DF．再求出DF⊥BC，从而CG⊥BC．进而CG⊥平面ABC，由此能证明CG⊥AB．（Ⅱ）由．能求出三棱锥G-ABE的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．…………………………（5分）（Ⅱ），，∴y关于x的线性回归方程是．当x=2019时，，即A地区2019年足球特色学校有208个．…………………………（12分）【解析】（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．（Ⅱ）根据公式计算线性回归方程，再令x=2019可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵直线l：x-y+1=0与抛物线C相切．由消去x得，y2-2py+2p=0，从而=4p2-8p=0，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2）．由消去x得，y2-4ty-4=0，∴y1+y2=4t，从而，∴线段AB的中点M的坐标为（2t2+1，2t）．设点A到直线l的距离为d A，点B到直线l的距离为d B，点M到直线l的距离为d，则，∴当时，可使A、B两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为．【解析】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．（Ⅰ）由消去x，=4p2-8p=0，解得p=2．即可．（Ⅱ）由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为ty=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2）.联立方程求得线段AB的中点M的坐标，求得点M到直线l的距离为d，即可求解21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．．①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＞0时，由f′（x）＞0，解得∪（a，+∞），由f′（x）＜0解得．∴f（x）的单调递增区间为和（a，+∞），单调递减区间是；（2）①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（e2）=e4-3ae2+2a2≥0恒成立，符合题意．②当a＞0时，由（1）知，f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在上单调递减．（ⅰ）若，即a≥2e2时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．∴对任意的实数x≥e2，f（x）≥0恒成立，只需f（e2）≥0，且f（a）≥0．而当a≥2e2时，f（e2）=2a2-3ae2+e4=（2a-e2）（a-e2）≥0且f（a）=a2-3a2+a2ln a=a2（ln a-2）≥0成立．∴a≥2e2符合题意．（ⅱ）若时，f（x）在[e2，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．∴对任意的实数x≥e2，f（x）≥0恒成立，只需f（a）≥0即可，此时f（a）=a2-3a2+a2ln a=a2（ln a-2）≥0成立，∴e2≤a＜2e2符合题意．（ⅲ）若a＜e2，f（x）在[e2，+∞）上单调递增．∴对任意的实数x≥e2，f（x）≥0恒成立，只需f（e2）=e4-3ae2+2a2≥0，即f（e2）=e4-3ae2+2a2=（2a-e2）（a-e2）≥0，∴符合题意．综上所述，实数a的取值范围是．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，属难题．（1）求出原函数的定义域，再求出导函数．然后对a分类求解原函数的单调区间；（2）由（1）知，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（e2）≥0恒成立，符合题意．当a＞0时，由（1）知，f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在上单调递减．然后分，和a＜e2三类求解实数a的取值范围．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4y-3，即x2+（y-2）2=1． (5)）（Ⅱ）设P点的坐标为（2cosθ，sinθ）．|PQ|≤|PC2|+1=，当时，|PQ|max=．…………………………（10分）【解析】（Ⅰ）根据平方关系式可得C1的直角坐标方程，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）|PQ|的最大值为C1上的点到圆心C2的最大值加上半径．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）由f（x）≤1得|3x+2|≤1，所以-1≤3x+2≤1，解得，所以，f（x）≤1的解集为．…………………………（5分）（2）f（x2）≥a|x|恒成立，即3x2+2≥a|x|恒成立．当x=0时，a∈R；当x≠0时，．因为（当且仅当，即时等号成立），所以，即a的最大值是．…………………………（10分）【解析】（1）去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为，根据基本不等式的性质求出a的最大值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．。

2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3，4}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {0,1，2}B. {0,1，4}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，1，4}2. 复数z 满足(1+i)z =√2(i 为虚数单位)，则|z|=( )A. 1B. √2C. 2D. 2√23. 设变量x,y 满足约束条件{x +y −3⩽0x −y +1⩾0y ⩾1，则目标函数z =2x +y 的最小值为( )A. −2B. 1C. 4D. 54. 在等差数列{a n }中，a 2=5，a 6=17，则a 14等于( )A. 45B. 41C. 39D. 375. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( )A. 911B. 511C. 311D. 2116. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为( )A. 2，0B. 2，π4C. 2，−π3D. 2，π67. 已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且2x+1=f(x)+g(x)，则g(−1)=( )A. 32B. 2C. 52D. 48.已知log2(a+4b)=2log2(2√ab)，则a+b的最小值是()A. 2B. √2+1C. 94D. 529.已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)且a<b，则不等式log a x+log b(2x−1)>0的解集为()A. (1,+∞)B. (0,1)C. (12,+∞) D. (12,1)10.已知点F1，F2是椭圆C：x24+y2=1的焦点，点M在椭圆C上且满足|MF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，则△MF1F2的面积为()A. √33B. √32C. 1D. 211.从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙二人中有且只有一人被选中的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 2312.如图为一个圆柱中挖去两个相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 13πB. 23πC. 43πD. 53π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知e为自然对数的底数，则曲线y=e x在点(1,e)处的切线方程为_______．14.已知数列{a n}满足a n+1=3a n+2，若首项a1=2，则数列{a n}的前n项和S n=______．15.已知双曲线C:x2−y24=1的右焦点为F，P是双曲线C左支上一点，点N(0,3)，则周长的最小值为____．16.已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．18.如图①，平面五边形ABCDE中，连接BE，AB=AE=√2，BA⊥AE，BC⊥CD，BE//CD，BE=2BC=2CD.以BE为折痕把△ABE折起，使得点A到达点P的位置，得到四棱锥P−BCDE，如图②，且平面PBE⊥平面BCDE，M为棱PE的中点．(1)证明：MD//平面PBC．(2)求三棱锥M−PCD的体积．19.已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点M(3,m)在抛物线E上，且|MF|=4．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(−1,0)，过焦点F的直线AB交抛物线E于点A，B，证明：存在以F为圆心的圆同时与直线AG，BG相切．20.在对人们休闲方式的一次调查中，并调查120人，其中女性70人，男性50人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式,其中n=a+b+c+d为是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动。

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5≤0}，B ＝{x |y =√x −3}，A ∩B ＝（ ） A ．[1，+∞）B ．[1，3]C ．（3，5]D ．[3，5]2．若复数z 满足（z ﹣1）（i ﹣1）＝i ，则z 对应的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四3．已知log 5a =25，b 15=25，(25)c =5，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b4．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥2x −2y +4≥02x −y −4≤0，若x 2+y 2+2x ≥k 恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．40B ．9C ．8D ．725．已知函数f （x ）的定义域为D ，满足：①对任意x ∈D ，都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，②对任意x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则称函数f （x ）为“成功函数“，下列函数是“成功函数”的是（ ） A ．f （x ）＝tan x B ．f （x ）＝x +sin x C ．f(x)=ln 2−x2+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x6．任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在4→2→1这个循环中，这就是世界数学名题“3x +1问题”．如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若N ＝6，则输出的i ＝（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．{a n }为等差数列，若a 2019a 2020＜−1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝（ ） A ．2019B ．2020C ．4039D ．40408．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为39．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣3，﹣4），角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的非负半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan β＝﹣2，则tan ∠QOP 的值为（ ）A ．﹣2B ．−211C ．−112D ．−1210．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB =√2，BC =CC 1=1，平面α过长方体顶点D ，且平面α∥平面AB 1C ，平面α∩平面ABB 1A 1＝l ，则直线l 与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．√33B ．√32C ．√36D ．√6611．点F 2是双曲线C ：x 29−y 23=1的右焦点，动点A 在双曲线左支上，直线l 1：tx ﹣y +t ﹣2＝0与直线l 2：x +ty +2t ﹣1＝0的交点为B ，则|AB |+|AF 2|的最小值为（ ） A ．8B ．5√3C ．9D ．6√312．设函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且∀x ∈（0，+∞），f （f （x ）﹣e x +x ）＝e ．若不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax 对x ∈（0，+∞）恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，e ﹣2]B ．（﹣∞，e ﹣1]C ．（﹣∞，2e ﹣3]D ．（﹣∞，2e ﹣1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．（x +2）9＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 9（x +1）9，则a 1+a 2+…+a 9＝ （用数字作答）．14．已知函数f （x ）={x ，x ≤1log 2(x −1)，x ＞1，则函数y ＝f （f （x ））﹣1的所有零点构成的集合为 ．15．在△ABC 中，D 为AB 边的中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为边BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →⋅DF →最小值为 ．16．已知点A （0，4），抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜4）的准线为1，点P 在C 上，作PH ⊥l 于H ，且|PH |＝|PA |，∠APH ＝120°，则抛物线方程为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共60分．17．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且bcosC+√3bsinC−a−c=0．（1）求B；（2）若b＝2，且sin A，sin B，sin C成等差数列，求△ABC的面积．18．如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，AE∥CF，CF⊥平面ABCD，AE=√33，CF=√3．（1）求证：平面BDE⊥平面BDF；（2）求二面角D﹣EF﹣B的大小．19．已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√22，左右焦点分别为F1，F2，且A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，△PF1F2面积的最大值为4．（1）求椭圆Γ的方程．（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆Γ上任意一点，直线MC、MD分别交x 轴于E、F，且满足AE2+BF2＝AB2，求证：AB＝2AD．20．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ456P 0.4 a b其中0＜a ＜1，0＜b ＜1．（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X （单位：元）， （i ）设X ＝5500时的概率为m ，求当m 取最大值时，利润X 的分布列和数学期望； （ii ）设某数列{x n }满足x 1＝0.4，x n ＝a ，2x n +1＝b ，若a ＜0.25，求n 的最小值． 21．已知函数f （x ）＝e x ﹣a （x +1）（a ∈R ）． （1）讨论函数f （x ）极值点的个数；（2）当a ＝1时，不等式f （x ）≥kx 1n （x +1）在[0，+∞）上恒成立，求实数k 的取值范围．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =√3sinα（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22，且在极坐标下点P (1，π2)．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求1|PA|+1|PB|的值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知实数x ，y 满足x +4y ＝2． （1）若|1+y |＜|x |﹣2，求x 的取值范围； （2）若x ＞0，y ＞0，求4x+1y 的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5≤0}，B ＝{x |y =√x −3}，A ∩B ＝（ ） A ．[1，+∞）B ．[1，3]C ．（3，5]D ．[3，5]【分析】分别求出集合A 、B ，从而求出A ∩B 即可． 解：∵集合A ＝{x |x 2﹣6x +5≤0}＝{x |1≤x ≤5}， B ＝{x |y =√x −3}＝{x |x ≥3}， ∴A ∩B ＝[3，5]， 故选：D ．【点评】本题考查了集合的运算，考查二次函数以及二次根式的性质，是一道基础题． 2．若复数z 满足（z ﹣1）（i ﹣1）＝i ，则z 对应的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，进一步求出z 的坐标得答案．解：由（z ﹣1）（i ﹣1）＝i ，得z ﹣1=ii−1=i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=12−12i ， ∴z =32−12i ，则z =32+12i ． ∴z 对应的点的坐标为（32，12），在第一象限． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知log 5a =25，b 15=25，(25)c =5，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b【分析】化对数式为指数式判断a ＞1，求解b ∈（0，1），化指数式为对数式判断c ＜0，则答案可求．解：由log 5a =25，得a =525＞50＝1，由b 15=25，得b =(25)5∈（0，1），由(25)c =5，得c =log 255＜0， ∴c ＜b ＜a ． 故选：C ．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，考查数学转化思想方法，是基础题．4．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥2x −2y +4≥02x −y −4≤0，若x 2+y 2+2x ≥k 恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．40B ．9C ．8D ．72【分析】已知x 、y 满足以下约束条件画出可行域，目标函数z ＝x 2+y 2+2x 是可行域中的点（x ，y ）到原点的距离的平方减1，求出最小值，然后求解z 的最大值． 解：变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥2x −2y +4≥02x −y −4≤0的可行域如图，x 2+y 2+2x 是点（x ，y ）到（﹣1，0）的距离的平方减1，故最小值为点P 到（﹣1，0）的距离的平方加1，z ＝x 2+y 2+2x 的最小值为：(2)2−1=72 若x 2+y 2+2x ≥k 恒成立，即72≥k ．k 的最大值为：72．故选：D ．【点评】此题主要考查简单的线性规划问题，是一道中档题，要学会画图．考查转化思想的应用．5．已知函数f （x ）的定义域为D ，满足：①对任意x ∈D ，都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，②对任意x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则称函数f （x ）为“成功函数“，下列函数是“成功函数”的是（ ） A ．f （x ）＝tan x B ．f （x ）＝x +sin x C ．f(x)=ln 2−x2+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x【分析】由①对任意x ∈D ，都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，得f （﹣x ）＝﹣f （x ）即函数为奇函数；②对任意x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，即函数单调递增，然后结合选项进行判断即可．解：由①对任意x ∈D ，都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，得f （﹣x ）＝﹣f （x ）即函数为奇函数；②对任意x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，即函数单调递增，A ：y ＝tan x 在定义域内不单调，不符合题意；B ：由f （x ）＝x +sin x 可得f （﹣x ）＝﹣x ﹣sin x ＝﹣f （x ）且由于f ′（x ）＝1+cos x ≥0恒成立，即f （x ）在R 上单调递增，符合题意；C ：结合复合函数单调性可知，y ＝ln2−x 2+x在（﹣2，2）内单调递减，不符合题意；D ：y ＝e ﹣x ﹣e x 在定义域R 上单调递减，不符合题意． 故选：B ．【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的判断，属于函数性质的综合应用． 6．任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在4→2→1这个循环中，这就是世界数学名题“3x +1问题”．如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若N ＝6，则输出的i ＝（ ）A．6B．7C．8D．9【分析】根据该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由题意，模拟程序的运行，可得n＝6，i＝1n不是奇数，n＝3，i＝2，不满足条件n＝1；n是奇数，n＝10，i＝3，不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝5，i＝4；不满足条件n＝1，执行循环体，n是奇数，n＝16，i＝5；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝8，i＝6；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝4，i＝7；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝2，i＝8；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝1，i＝9；满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为9．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．{a n }为等差数列，若a 2019a 2020＜−1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝（ ） A ．2019 B ．2020 C ．4039 D ．4040【分析】若a 2019a 2020＜−1，且它的前n 项和S n 有最小值，可得a 2019＜0，a 2020＞0．a 2019+a 2020＜0．再利用求和公式即可判断出结论． 解：若a 2019a 2020＜−1，且它的前n 项和S n 有最小值，∴a 2019＜0，a 2020＞0． ∴a 2019+a 2020＜0．S 4038＝2019（a 1+a 4038）＝2019（a 2019+a 2020）＜0． S 4039=4039(a 1+a 4039)2=4039a 2020＞0． 那么当S n 取得最小正值时，n ＝4039． 故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【分析】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求． 解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人， 故A 不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小， 故B 不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7．故D正确．故选：D．【点评】本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握．9．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的非负半轴，终边经过点P（﹣3，﹣4），角β的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ＝﹣2，则tan∠QOP的值为（）A．﹣2B．−211C．−112D．−12【分析】由已知可得：tanα=43．可得tan∠QOP＝tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ，代入即可得出．解：由已知可得：tanα=−4−3=43．∴tan∠QOP＝tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=43−(−2)1+43×(−2)=−2．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的定义、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=√2，BC=CC1=1，平面α过长方体顶点D，且平面α∥平面AB1C，平面α∩平面ABB1A1＝l，则直线l与BC1所成角的余弦值为（）A．√33B．√32C．√36D．√66【分析】由题意画出图形，得到平面α与平面ABB 1A 1的交线l ，找出异面直线所成角，由已知结合余弦定理求解． 解：如图，∵平面α过长方体顶点D ，且平面α∥平面AB 1C ， ∴平面α与平面A 1DC 1 重合，在平面ABB 1A 1中，过A 1作A 1E ∥AB 1，则A 1E ∥DC 1，即A 1E 为平面α与平面ABB 1A 1的交线l ， 连接AD 1，可得AD 1∥BC 1，又l ∥AB 1，则∠D 1AB 1 即为直线l 与BC 1所成角． 连接D 1B 1，由AB =√2，BC =CC 1=1，得AB 1=B 1D 1=√3，AD 1=√2，由余弦定理可得：cos ∠D 1AB 1=(√3)2+(√2)2−(√3)22×√3×√2=√66．即直线l 与BC 1所成角的余弦值为√66． 故选：D ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 11．点F 2是双曲线C ：x 29−y 23=1的右焦点，动点A 在双曲线左支上，直线l 1：tx ﹣y +t ﹣2＝0与直线l 2：x +ty +2t ﹣1＝0的交点为B ，则|AB |+|AF 2|的最小值为（ ） A ．8B ．5√3C ．9D ．6√3【分析】由题意求出直线l 1，l 2的交点B 为圆心在（0，﹣2），半径为1的圆，由双曲线的定义可得|AF 2|＝|AF 1|+2a ，所以|AB |+|AF 2|＝|AB |+|AF 1|+6，当A ，F 1，B 三点共线时，|AB |+|AF 2|最小，过F 1与圆心的直线与圆的交点B 且在F 1和圆心之间时最小．解：由双曲线的方程可得a ＝3，b =√3，焦点F （﹣2√3，0）， 可得|AF 2|＝|AF 1|+2a ＝|AF 1|+6， 所以|AB |+|AF 2|＝|AB |+|AF 1|+6，当A ，F 1，B 三点共线时，|AB |+|AF 2|最小，联立直线l 1，l 2的方程{tx −y +t −2=0x +ty +2t −1=0，可得{x =−t 2−1t 2+1y +2=2tt 2+1，消参数t 可得x 2+（y +2）2＝1，所以可得交点B 的轨迹为圆心在（0，﹣2），半径为1的圆， 所以|AB |+|AF 2|＝|AB |+|AF 1|+6≥|BF 1|﹣1+6=√(−2√3)2+22+5＝9， 当过F 1与圆心的直线与圆的交点B 且在F 1和圆心之间时最小． 所以|AB |+|AF 2|的最小值为9， 故选：C ．【点评】本题考查求轨迹方程及双曲线的性质，三点共线时线段之和最小，属于中档题． 12．设函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且∀x ∈（0，+∞），f （f （x ）﹣e x +x ）＝e ．若不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax 对x ∈（0，+∞）恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，e ﹣2]B ．（﹣∞，e ﹣1]C ．（﹣∞，2e ﹣3]D ．（﹣∞，2e ﹣1]【分析】先利用换元法求出f （x ）的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性来解决问题．解：设f （x ）﹣e x +x ＝t ，则f （t ）＝e ，∴f （x ）＝e x ﹣x +t ，令x ＝t 得f （t ）＝e t ﹣t +t ＝e ，解得t ＝1， ∴f （x ）＝e x ﹣x +1， f ′（x ）＝e x ﹣1，不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax ，x ∈（0，+∞）．即：a ≤e xx−2．令g （x ）=e xx−2，x ∈（0，+∞）．g ′（x ）=e x (x−1)2，可得x ＝1时，函数g （x ）取得极小值即最小值．∵不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax 对x ∈（0，+∞）恒成立， ∴a ≤e ﹣2．∴a 的取值范围是（﹣∞，e ﹣2]． 故选：A ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、换元法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．（x +2）9＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 9（x +1）9，则a 1+a 2+…+a 9＝ 511 （用数字作答）．【分析】在所给的等式中，分别令x ＝﹣1，x ＝0，可得要求式子的值． 解：∵（x +2）9＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 9（x +1）9， ∴令x ＝﹣1，可得a 0＝1．再令x ＝0，可得 1+a 1+a 2+…+a 9＝29，∴a 1+a 2+…+a 9＝511， 故答案为：511．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．已知函数f （x ）={x ，x ≤1log 2(x −1)，x ＞1，则函数y ＝f （f （x ））﹣1的所有零点构成的集合为 {1，3，9} ．【分析】函数y ＝f [f （x ）]﹣1的零点，即求方程f [f （x ）]﹣1＝0的解，利用换元法进行求解即可．解：由y ＝f （f （x ））﹣1＝0得f （f （x ））＝1， 设t ＝f （x ），则等价为f （t ）＝1， 当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1得x ＝1，当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3， 即t ＝1或t ＝3，当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1，得x ＝1，由f （x ）＝x +1＝3，得x ＝2（舍），故此时x ＝1，当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝3，得x ＝9， 综上x ＝1，或x ＝3或x ＝9，所以函数y ＝f [f （x ）]﹣1的所有零点所构成的集合为：{1，3，9} 故答案为：{1，3，9}．【点评】本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键．15．在△ABC 中，D 为AB 边的中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为边BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →⋅DF →最小值为154．【分析】建立平面直角坐标系，设E （x ，0），求出DE →⋅DF →的坐标，则DE →⋅DF →可表示为x 的函数，利用函数的性质得出最小值．【解答】解以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：则A （0，4），B （3，0），C （0，0），D （32，2）．设E （x ，0），则F （0，√1−x 2）.0≤x ≤1．∴DE →=（x −32，﹣2），DF →=（−32，√1−x 2−2）．∴DE →⋅DF →=94−32x +4﹣2√1−x 2=254−32x ﹣2√1−x 2． 令f （x ）=254−32x ﹣2√1−x 2，则f ′（x ）=−322x √1−x ． 令f ′（x ）＝0得x =35．当0≤x ＜35时，f ′（x ）＜0，当35＜x ＜1时，f ′（x ）＞0．∴当x =35时，f （x ）取得最小值f （35）=154． 故答案为：154．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，属于中档题． 16．已知点A （0，4），抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜4）的准线为1，点P 在C 上，作PH⊥l于H，且|PH|＝|PA|，∠APH＝120°，则抛物线方程为x2=165y．【分析】设抛物线的焦点为F（0，p2），则|AF|＝4−p2，由抛物线的定义可知，|PH|＝|PF|＝|PA|，不妨设点P在第一象限，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则Q为AF的中点，结合∠APH＝120°，可以用p表示出点P的坐标，然后将其代入抛物线方程，列出关于p 的方程，解之可得p的值，从而求得抛物线的方程．解：设抛物线的焦点为F（0，p2），|AF|＝4−p2，由抛物线的定义可知，|PH|＝|PF|，∵|PH|＝|PA|，∴|PA|＝|PF|，不妨设点P在第一象限，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则Q为AF的中点，|AQ|＝|FQ|=12|AF|=12(4−p2)，∵∠APH＝120°，∴∠APQ＝120°﹣90°＝30°，∴|PQ|=√3|AQ|=√32(4−p2)，|OQ|＝|FQ|+|OF|=12(4−p2)+p2=2+p4，∴点P的坐标为(√32(4−p2)，2+p4)，∵点P在抛物线C上，∴[√32(4−p2)]2=2p×(2+p4)，化简得5p2+112p﹣192＝0，解之得p=85或−24（舍负），∴抛物线方程为x2=165y．故答案为：x2=165y．【点评】本题考查抛物线的定义，求抛物线的标准方程，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共60分．17．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且bcosC+√3bsinC−a−c=0．（1）求B；（2）若b＝2，且sin A，sin B，sin C成等差数列，求△ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin C＞0，可得sin(B−π6)=12，又根据范围B−π6∈(−π6，5π6)，可求B的值．（2）由等差数列的性质，正弦定理可得a+c＝2b＝4，又根据余弦定理可求ac的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．解：（1）由bcosC+√3bsinC−a−c=0，则sinBcosC+√3sinBsinC=sinA+sinC，sinBcosC+√3sinBsinC=sin(B+C)+sinC，√3sinBsinC=sinCcosB+sinC，而sin C＞0，√3sinB−cosB=1，所以2sin(B−π6)=1，可得sin(B−π6)=12，而B∈（0，π），又B−π6∈(−π6，5π6)，所以B−π6=π6，故B=π3．（2）由sin A，sin B，sin C成等差数列，且b＝2，所以2sin B＝sin A+sin C，可得a+c＝2b＝4，又a2+c2﹣2ac cos B＝b2，则(a+c)2−2ac−2accos π3=4，可得：16﹣3ac＝4，所以ac＝4，则S=12acsinB=12×4×√32=√3．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，AE∥CF，CF⊥平面ABCD，AE=√33，CF=√3．（1）求证：平面BDE⊥平面BDF；（2）求二面角D﹣EF﹣B的大小．【分析】（1）证明BD⊥CF，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACFE，得到OF⊥BD，推出AE⊥平面ABCD，证明AE⊥AO且FC⊥CO，OF⊥OE，证明OF⊥平面BDE，然后证明平面BDE⊥平面BDF．（2）以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O做垂直于平面ABCD的为z轴建立空间直角坐标系．求出平面DEF的一个法向量，平面BEF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角D﹣EF﹣B的大小．【解答】（1）证明：因为AE∥CF，所以A、C、F、E四点共面．又CF⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CF，由菱形ABCD，所以，BD⊥AC，令BD∩AC＝O，且CF∩AC＝C，所以，BD⊥平面ACFE，而OF⊂平面ACFE，所以，OF⊥BD，因为AE∥CF且CF⊥平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，则AE⊥AO且FC⊥CO AE=√33，CF=√3，由菱形ABCD且∠BAD＝120，所以AO＝OC＝1，故tan∠EOA=√33，tan∠FOC=√3，则∠EOA=π6，∠FOC=π3，所以∠EOF=π2，即OF⊥OE，又OE∩BD＝O，所以OF⊥平面BDE，OF⊂平面BDF，平面BDE⊥平面BDF．（2）由菱形ABCD ，所以BD ⊥AC ，以OA ，OB 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系． 则∠BAD =2π3，所以A （1，0，0），B(0，√3，0)，D(0，−√3，0)，F(−1，0，√3)，E(1，0，√33)，所以EF →=(−2，0，2√33)，DF →=(−1，√3，√3)，BF →=(−1，−√3，√3)，令平面DEF 的一个法向量为n →=(1，y 1，z 1)，且EF →=(−2，0，2√33)，DF →=(−1，√3，√3)，由n →⋅EF →=0，−2+2√33z 1=0，所以z 1=√3，由n →⋅DF →=0，−1+√3y 1+√3z 1=0，所以y 1=−2√33，即n →=(1，−2√33，√3)，令平面BEF 的一个法向量为：m →=(1，y 2，z 2)，且EF →=(−2，0，2√33)，BF →=(−1，−√3，√3)，由m →⋅EF →=0，−2+2√33z 2=0，所以z 2=√3，由n →⋅BF →=0，−1−√3y 2+√3z 2=0，所以y 2=2√33，即m →=(1，2√33，√3)，所以cosθ=−cos ＜n →，m →＞=−n →⋅m →|n →|⋅|m →|=−1−43+31+43+3=−12，则θ=23π， 即二面角D ﹣EF ﹣B 的大小为23π．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理得到应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题． 19．已知椭圆Γ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，左右焦点分别为F 1，F 2，且A 、B 分别是其左右顶点，P 是椭圆上任意一点，△PF 1F 2面积的最大值为4． （1）求椭圆Γ的方程．（2）如图，四边形ABCD 为矩形，设M 为椭圆Γ上任意一点，直线MC 、MD 分别交x 轴于E 、F ，且满足AE 2+BF 2＝AB 2，求证：AB ＝2AD ．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得所求椭圆方程；（2）设C （2√2，﹣t ），D （﹣2√2，﹣t ），t ＞0，可令M （x 0，y 0），运用直线方程和两直线的交点，化简整理，即可得证．解：（1）由题意可得e =c a =√22，又c 2＝a 2﹣b 2，可得b ＝c ，而S ≤12×2c ×b ＝4，所以b ＝c ＝2，解得a 2＝8，b 2＝4， 所以椭圆的方程为x 28+y 24=1；（2）证明：设C （2√2，﹣t ），D （﹣2√2，﹣t ），t ＞0，可令M （x 0，y 0）， 由k MC =0x 0−22，故MC 的方程为y ﹣y 0=0x 0−22（x ﹣x 0）， 直线MC 交x 轴于E ，可令y ＝0，则x =y 0(2√2−x 0)y 0+t +x 0=2√2y 0+tx 0y 0+t ，即E （2√2y 0+tx 0y 0+t，0）， 由k MD =0x 0+2√2，故MD 的方程为y ﹣y 0=0x 0+2√2（x ﹣x 0），直线MD 交x 轴于F ，可令y ＝0，则x =−y 0(2√2+x 0)y 0+t +x 0=−2√2y 0+tx 0y 0+t，即F （−2√2y 0+tx 0y 0+t，0），因为AE 2+BF 2＝AB 2，所以（2√2y 0+tx 0y 0+t +2√2）2+（−2√2y 0+tx 0y 0+t−2√2）2＝（4√2）2，可得16y 02+2t 2x 02(y 0+t)+32y 0y 0+t=16，即8y 02+t 2x 02+16y 02+16y 0t ＝8（y 0+t ）2， 即t2x 02+16y 02＝8t 2，而x28+y 024=1，所以x 02＝8﹣2y 02，可得t 2（8﹣2y 02）+16y 02＝8t 2，可得（16﹣2t 2）y 02＝0，而M 为椭圆上一点，所以16﹣2t2＝0，解得t＝2√2，所以ABAD=2，即AB＝2AD．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法和应用，以及两点的距离公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ456P0.4a b其中0＜a＜1，0＜b＜1．（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元），（i）设X＝5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；（ii）设某数列{x n}满足x1＝0.4，x n＝a，2x n+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值．【分析】（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P．由题可知：a+b＝0.6，然后求解即可．方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，利用相互独立事件乘法乘积求解概率即可．（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．（ⅱ）由题可得x n+2x n+1＝a+b＝0.6，得到x n+1=−12x n+0.3，判断数列{x n﹣0.2}是等比数列，然后分类求解n的最小值．解：（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P．由题可知：a+b＝0.6，则P＝3×0.4×（a2+2ab+b2）＝0.4×（a+b）2＝0.4×0.62＝0.432．方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以P＝3×0.4×（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.432．（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000．P（X＝4000）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝4500）＝2×0.4×a＝0.8a，P（X＝5000）＝a2+2×0.4×b＝a2+0.8b，P（X＝5500）＝2ab，P（X＝6000）＝b2，所以P(X=5500)=2ab≤2×(a+b2)2=0.362=0.18，取最大值的条件为a＝b＝0.3所以分布列为：X40004500500055006000P0.160.240.330.180.09∴E（X）＝4000×0.16+4500×0.24+5000×0.33+5500×0.18+6000×0.09＝4900．（ⅱ）解：由题可得x n+2x n+1＝a+b＝0.6，所以x n+1=−12x n+0.3，化简得x n+1−0.2=−12(x n−0.2)，即{x n﹣0.2}是等比数列，首项为x1﹣0.2＝0.2，公比为−1 2，所以x n−0.2=(0.4−0.2)×(−12)n−1，化简得x n=0.2[1+(−12)n−1]由题可知：（1）由题可知：a=x n=0.2[1+(−12)n−1]＜0.6⇒(−12)n−1＜2，显然对所有n∈一、选择题*都成立；（2）b=2x n+1=0.4[1+(−12)n]＜0.6⇒(−12)n＜12，也是对所有n∈N*都成立；（3）a=x n=0.2[1+(−12)n−1]＜0.25⇒(−12)n−1＜14当n为偶数时，上述不等式恒成立；当n为奇数时，(12)n−1＜14，解得n＞5即n≥5综上所述，n的最小值为5．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，数列与函数的应用，考查转化思想以及计算能力，题目比较新颖，是难题．21．已知函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（a∈R）．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）当a＝1时，不等式f（x）≥kx1n（x+1）在[0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出导函数f'（x）＝e x﹣a，通过①当a≤0时，②当a＞0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．（2）当a＝1时，由题即e x﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，令h（x）＝e x ﹣x﹣1﹣kxln（x+1）且h（0）＝0，通过函数的导数，结合（ⅰ）当1﹣2k≥0时，（ⅱ）当1﹣2k＜0时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．求解k的取值范围．解：（1）f'（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，f'（x）＝e x﹣a＞0，所以f（x）在R上单调递增，无极值．②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0即函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，此时只有一个极值点．综上所述，当a≤0时，f（x）在R上无极值点；当a＞0时，函数f（x）在R上只有一个极值点．（2）当a＝1时，由题即e x﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立令h（x）＝e x﹣x﹣1﹣kxln（x+1）且h（0）＝0，则h′(x)=e x−1−k[ln(x+1)+xx+1](x≥0)，令g(x)=h′(x)=e x−1−k[ln(x+1)+x x+1](x≥0)，则g，(x)=e x−k[1x+1+1(x+1)2](x≥0)且g'（0）＝1﹣2k，（ⅰ）当1﹣2k≥0时，即k≤12时，由于x≥0，e x≥1，而k[1x+1+1(x+1)2]≤12[1x+1+1(x+1)2]≤1，所以g'（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，即h'（x）≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）＝0，即e x﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，故k≤12符合题意．（ⅱ）当1﹣2k＜0时，即k＞12时g'（0）＜0，由于g′(x)=e x−k[1x+1+1(x+1)2]在[0，+∞）上单调递增，令x ＝ln （2k ）＞0因为g′(ln2k)=eln2k−k[1ln2k+1+1(ln2k+1)2]＞2k −2k=0，故在（0，ln 2k ）上存在唯一的零点x 0，使g '（x 0）＝0，因此，当x ∈（0，x 0）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）＜g （0）＝0， 即h '（x ）＜0，h （x ）在（0，x 0）上单调递减，故h （x ）＜h （0）＝0，与题不符． 综上所述，k 的取值范围是(−∞，12]．【点评】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =√3sinα（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22，且在极坐标下点P (1，π2)．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求1|PA|+1|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）C 1的参数方程：{x =2cosαy =√3sinα（α为参数）得(x2)2+(3)2=1，曲线C 1的直角坐标方程：x 24+y 23=1．由ρsin(θ+π4)=√22，得√22ρsinθ+√22ρcosθ=√22， 所以曲线C 2的直角坐标方程为x +y ﹣1＝0．（2）点P的极坐标为(1，π2)，故其直角坐标为（0，1），由C2：x+y﹣1＝0，则其参数方程为{x=−√22ty=1+√22t，将C2的参数方程代入曲线C1的方程x24+y23=1，得7t2+8√2t−16=0①由于△＞0恒成立，不妨令方程①有两个不等实根t1、t2，由于t1t2=−167＜0，所以t1、t2异号，且|PA|⋅|PB|=16 7，则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=(−827)2+647=247，1 |PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA|⋅|PB|=247167=32．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4--5：不等式选讲]23．已知实数x，y满足x+4y＝2．（1）若|1+y|＜|x|﹣2，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求4x+1y的最小值．【分析】（1）由x+4y＝2，得y=12−x4，代入|1+y|＜|x|﹣2，可得|32−x4|＜|x|−2，即|6﹣x|＜4|x|﹣8，然后对x分类求解，取并集得答案；（2）由x＞0，y＞0，且x+4y＝2，得4x +1y=12(4x+1y)(x+4y)，展开后利用基本不等式求最值．解：（1）由x+4y＝2，得y=12−x4由|1+y|＜|x|﹣2⇒|32−x4|＜|x|−2，即|6﹣x|＜4|x|﹣8，当x＜0，则6﹣x＜﹣4x﹣8⇒x＜−143，∴x＜−143；当0≤x ≤6时，则6﹣x ＜4x ﹣8⇒x ＞145，∴145＜x ≤6； 当x ＞6时，则x ﹣6＜4x ﹣8⇒x ＞23，∴x ＞6． 故x 的取值范围为{x |x ＜−143或x ＞145}； （2）∵x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝2 ∴4x +1y=12(4x+1y )(x +4y)=12(4+4+16y x +x y)≥12(4+4+2√16)=8．当且仅当16y x=xy，即x ＝1，y =14时，4x+1y的最小值为8．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。

2020年安徽高三下学期高考模拟理科数学试卷（6月皖南八校联考）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第1题5分已知全集U={−1,0,1,2,3,4}，集合A，B满足∁U A={0,2,4}，∁U B={−1,0,1,3}，则A∩B=（）．A. {−1,0,1,2,3,4}B. {−1,1,2,3,4}C. {0}D. ∅2、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第2题5分若a−2i=(1+i)(1+bi)（a,b∈R，i为虚数单位），则复数a+bi在复平面内对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第3题5分2020年安徽高三下学期高考模拟文科（6月皖南八校联考）第3题5分已知a=0.30.4，b=40.3，c=log0.24，则（）．A. c<b<aB. c<a<bC. a<b<cD. b<c<a4、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第4题5分2020~2021学年天津西青区张家窝中学高二上学期期中第8题3分已知椭圆C的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，过点F1的直线与C交于A，B两点，若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为（）．A. x 216+y215=1B. x 28+y27=1C. x 24+y23=1D. x 23+y24=15、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第5题5分2020~2021学年3月河北衡水桃城区衡水中学高三上学期月考理科第4题5分2020年安徽高三下学期高考模拟文科（6月皖南八校联考）第6题5分已知正项等比数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且S1，S2，S3−2成等差数列，则a4=（）．A. 8B. 18C. 16 D. 1166、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第6题5分2020年安徽高三下学期高考模拟文科（6月皖南八校联考）第7题5分执行如图所示的程序框图，若输出S的值为105，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）．A. k<4？B. k<5？C. k>4？D. k>5？7、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第7题5分2020年安徽高三下学期高考模拟文科（6月皖南八校联考）第8题5分我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数y=−2sin2⁡x+cos⁡x+1，x∈(−π,π)的图象大致为（）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第8题5分2020~2021学年安徽黄山高二上学期期末理科第8题5分已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为34，PA与圆锥底面所成角为60°，若△PAB 的面积为√7，则该圆锥的体积为（）．A. 2√2πB. √2πC. 2√63πD. √63π9、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第9题5分已知函数f(x)={−x2+ax，x⩽22ax−5，x>2，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围为（）．A. (−∞,4)B. (−∞,14)C. (−∞,3)10、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第10题5分 2020年安徽高三下学期高考模拟文科（6月皖南八校联考）第10题5分2020~2021学年江西宜春丰城市江西省丰城中学高三上学期期中理科第10题5分将函数f(x)=3sin⁡2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x 1)−g(x 2)|=6的x 1，x 2，有|x 1−x 2|min =π6，则φ=（ ）．A. 5π12B. π3C. π4D. π611、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第11题5分 已知双曲线Γ:4x 2−y 2a 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =2．若动点P 满足|PF 1||PF 2|=√2，则直线PF 1的倾斜角θ的取值范围为（ ）．A. [0,π4]∪(π2,3π4] B. [π4,π2)∪[3π4,π) C. [0,π4]∪[3π4,π) D. [π4,π2)∪(π2,3π4]12、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第12题5分 已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )<f (x )恒成立，若f (e +1)=1（其中e 是自然对数的底数），则不等式f (ln⁡x +x )−e ln⁡x+x−e−1<0的解集为（ ）．A. (0,e )B. (e,+∞)D. (e +1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第13题5分已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则m = ．14、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第14题5分 已知a →，b →是两个非零向量，且|a →|=|b →|=|a →−b →|，则a →与2a →−b →的夹角为 ．15、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第15题5分 已知α是锐角，且cos⁡(α+π5)=13，则cos⁡(2α+π15)= ．16、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第16题5分已知四边形ABCD 是边长为5的菱形，对角线BD =8（如图1），现以AC 为折痕将菱形折起，使点B 达到点P 的位置，棱AC ，PD 的中点分为E ，F ，且四面体PACD 的外接球球心落在四面体内部（如图2），则线段EF 长度的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第17题12分 2020年安徽高三下学期高考模拟文科（6月皖南八校联考）第18题12分△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin⁡A =√53，B =2A ，b =4． (1) 求a 的值．(2) 若D 为BC 中点，求AD 的长．18、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第18题12分 如图，直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，AA 1=AC =2BD =4，点F ，Q 是棱BB 1，DD 1的中点，E ，P 是棱AA 1，CC 1上的点，且AE =C 1P =1．(1) 求证：EF//平面BPQ ．(2) 求直线BP 与平面PQE 所成角的正弦值．19、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第19题12分 2020~2021学年10月山西太原小店区山西大学附属中学高三上学期月考理科第20题已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点F 到直线x −y +1=0的距离为√2．(1) 求抛物线C 的方程．(2) 过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴交于点P ，若|AB →|=3|BP →|，求直线l 的方程．20、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第20题12分2020年安徽高三下学期高考模拟文科（6月皖南八校联考）第21题12分已知函数f(x)=(x+1)ln⁡x−(k+1)x+a+1，其中k，a∈R．(1) 若k=0，求函数f(x)的单调区间．(2) 若对任意x∈[1,e]，a∈[1,e]，不等式f(x)⩾0恒成立，求k的取值范围．21、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第21题12分2020年元旦联欢晚会上，A，B两班各设计了一个摸球表演节目的游戏：A班在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外完全相同，记事件A n：同学们有放回地每次摸出1个球，重复n次，n次摸球中既有红球，也有黄球，还有白球；B班在一个纸盒中装有1个蓝球，1个黑球，这些球除颜色外完全相同，记事件B n：同学们有放回地每次摸出1个球，重复n次，n次摸球中既有蓝球，也有黑球，事件A n发生的概率为P(A n)，事件B n发生的概率为P(B n)．(1) 求概率P(A3)，P(A4)及P(B3)，P(B4)．(2) 已知P(A n)=aP(A n−1)+b n−1P(B n−1)，其中a，b为常数，求P(A n)．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第22题10分2020年安徽高三下学期高考模拟文科（6月皖南八校联考）第22题10分在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为{x=cos⁡αy=3sin⁡α（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρsin⁡(θ+π4)=3√2．(1) 求曲线C的普通方程和直线l1的直角坐标方程．(2) 若射线l2的极坐标方程为θ=π3(ρ⩾0)，设l2与C相交于点A，l2与l1相交于点B，求|AB|．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年安徽高三下学期高考模拟理科（6月皖南八校联考）第23题10分2020年安徽高三下学期高考模拟文科（6月皖南八校联考）第23题10分已知a、b、c都是正数，求证：(1) b2a +c2b+a2c⩾a+b+c．(2) 2(a+b2−√ab)⩽3(a+b+c3−√abc3)．1 、【答案】 D;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 B;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;13 、【答案】4;14 、【答案】π6;15 、【答案】4√6−718;16 、【答案】√142<EF<4;17 、【答案】 (1) 3．;(2) AD=√3056．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√3535．;19 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) 2√2x−y−2√2=0或2√2x+y−2√2=0．;20 、【答案】 (1) 增区间为(0,+∞)，无减区间．;(2) (−∞,1]．;21 、【答案】 (1) 29，49，34，78．;(2) 1+(13)n−1−2(23)n−1(n∈N∗)．;22 、【答案】 (1) x+y=6．;(2) 5√3−6．;23 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;。

安徽省2020年高考文科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3}A =，集合{3,5}B =，则()U A C B = A ．{2,3,5}B ．{1,4,6}C ．{2}D ．{5}2．已知扇形OAB 的圆周角．．．为2rad ，其面积是28cm ，则该扇形的周长．．是（ ）cm ．A ．8B ．4C ．D ．3.“k ”是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若非零向量,a b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则,a b 的夹角为 A.6π B.3π C.56π D.23π 5. 已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：224x y +=相切，2l 与C 相交于A ，B 两点，则AB =C. 3D. 6. 函数()·ln xf x e x =的大致图象为 A. B. C. D.7. 以下列函数中，最小值为2的是 A ．1y x x=+B ．33x xy -=+C ．()1lg 01lg y x x x =+<< D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭8. 已知实数02224sin 24cos -=a ，0225sin 21-=b ，02023tan 123tan 2-=c ，则c b a ,,的大小关系为 A ．c a b >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a b c >>9．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象沿x 轴向左平移m (m ＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m 的最小值为 A.7π16B.15π16C.7π8D.π1610．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±12x D ．y ＝±2x 11. 已知点F 1，F 2分别是椭圆E ：22x y 259+=1的左、右焦点，P 为E 上一点，直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线，过点F 2作l 的垂线，交F 1P 的延长线于M ，则|F 1M|= A. 10B. 8C. 6D. 412. 已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （a-x ），若函数y=|x 2-ax-5|与y=f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），且mi i 1x =∑=2m ，则a=A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设A ={x|x 2−x −2<0}，B ={y|y =3x }，则A ∩B =( )A. (0,+∞)B. (0,2)C. (−1,0)D. (−1,2)2. 欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：e ix =cosx +isinx(i 为虚数单位).它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数z =3i +√2e π4i 的模为( )A. √3B. √5C. 2√2D. 23. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 34. 曲线y =xe x 在x =1处的切线方程为( )A. ex −y =0B. (1−e)x +y −1=0C. 2ex −y −e =0D. (1+e)x −y −1=05. (1−tan 215°)cos 215°的值等于( )A. 1−√32B. 1C. √32D. 126. 函数y =3tan x2的图象向左平移π3个单位得到的函数的一个对称中心是( )A. (π6,0)B. (2π3,0)C. (−2π3,0) D. (0,0)7. 已知log 2(a +4b)=2log 2(2√ab)，则a +b 的最小值是( )A. 2B. √2+1C. 94D. 528. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，要求甲与乙相邻，甲与丙不相邻，则不同的排法种数为( )A. 6B. 8C. 10D. 129. 图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. (83+2√2)π B. (83+4√2)πC. (4+2√2)πD. (8+4√2)π10. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与抛物线交于A ，B 两点，若NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|AF|−|BF|= ( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 若曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =ae x (a >0)至少存在两个交点，则a 的取值范围为( )A. [8e 2,+∞)B. (0,8e 2]C. [4e 2,+∞)D. (0,4e 2]12. 三棱锥A −BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉=π3，则二面角A −BD −C 的大小为( )A. π3B. 2π3C. π3或2π3D. π6或π3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 15. 已知F 是双曲线C ：x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当△APF 周长最小时，点P 的纵坐标为______ ．16. 在△ABC 中，已知A ，B ，C 成等差数列，且b =√3，则sinA+sinB+sinCa+b+c=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足a 1=3，a 4+a 5+a 6=45．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n ．18. 如图，在三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥C 1D ；(2)求平面ADC 1与平面ABB 1A 1所成二面角的正弦值．19. 作斜率为13的直线l 与椭圆C ：x 236+y 24=1交于A ，B 两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l 的左上方．(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； (2)若∠APB =60°，求△PAB 的面积．20.为了适应市场的变化，某企业准备投产一批特殊型号的新产品，已知该种产品的成本C与产量−3q2+20q+10(q>0)，该种产品的市场前景通过调研分析有如下结q的函数关系式为C=q33果：设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量ξq表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润．(1)分别求利润L1，L2，L3关于产量q的函数；(2)当产量q确定时，求期望Eξq；(3)试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．21.已知函数f(x)=e x−ex(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2<2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|2x +4|，f(x)≤M +3的解集为{x|−4≤x ≤2}。