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§4 数列在日常经济生活中的应用学习目标1.理解单利、复利的含义(数学抽象)2.能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题(数学建模)必备知识·自主学习导思1.数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些?2.建立数学模型的关键是什么?1.三种常见的应用模型(1)零存整取:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取,规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(2)定期自动转存:例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.(3)分期付款:分期付款是购物的一种付款方式.即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求,分期付清.数列在日常经济生活中的应用主要有哪些?提示:零存整取,定期自动转存,分期付款等.2.常用公式(1)复利公式:按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和S=P(1+r)n.(2)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为r,对于时间x的总产值y=N(1+r)x.(3)单利公式:利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和为S=P(1+nr). 复利与单利的区别是什么?提示:(1)复利在第二次以后计算时,将上一次得到的利息也作为了本金,而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)银行的定期自动转存是复利计息方式. ( )(2)企业对某一项目投资,每年比上一年递增50万元,则各年的投资额构成等差数列.( )(3)企业对某一项目投资,每年比上一年递增10%,则各年的投资额也构成等差数列. ( ) 提示:(1)√.(2)√.(3)×.应是等比数列.2.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%,q%,则这两年的平均增长率是( )A.B.p%·q%C.D. -1【解析】选D.设该工厂最初的产值为1,这两年的平均增长率为r,则(1+p%)(1+q%)=(1+r)2. 于是r=-1.3.我国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长(寸)135 125.115.1105.295.385.475.5节气清明(白露) 谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长(寸)65.5 55.645.735.825.916.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸.【解析】设晷影长为等差数列{a n},公差为d,a1=130.0,a13=14.8,则130.0+12d=14.8,解得d=-9.6.所以a6=130.0-9.6×5=82.0.所以《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸.答案:82.04.(教材二次开发:习题改编)2020年5月小刘在中国银行存入10万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息为万元.(精确到0.001)【解析】10年后的本息a10=10×(1+0.022 5)10≈12.492(万元).答案:12.492关键能力·合作学习类型一等差数列模型(数学建模、逻辑推理)【典例】我国古代著名的《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分;且“冬至”时日影长度最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为( )A.953分B.1 052分C.1 151分D.1 250分【思路导引】首先“冬至”时日影长度最大,为1 350分,“夏至”时日影长度最小,为160分,即可求出d=-,进而求出立春”时日影长度为1 052分.【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分,且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.所以1 350+12d=160,解得d=-,所以“立春”时日影长度为1 350+×3=1 052(分).等差数列模型的判定(1)认真审题:解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.(2)抓住关键:若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.(3)常见问题:银行的单利计息;出租车费用;电话计费等.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1 150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后,买这40套住房实际花了多少钱?【解析】因购房时付150万元,则欠款1 000万元,依题意分20次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{a n}.则a1=50+1 000×1%=60,a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5,…所以a n=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N+).所以{a n}是以60为首项,-为公差的等差数列.所以a10=60-9×=55.5.所以第10个月应付55.5(万元).a20=60-19×=50.5.所以S20=×(a1+a20)×20=10×(60+50.5)=1 105.所以实际共付1 105+150=1 255(万元).类型二等比数列模型(数学建模、逻辑推理)【典例】(2020·安福高一检测)某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于2018年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清,若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长每年的偿还金额是( )A. B.C. D.【思路导引】根据题意建立方程a=x+x++…+x,再结合等比数列求和公式,即可求出x的值.【解析】选 D.设每年偿还的金额为x,则a=x+x+x+ (x)所以a=x,解得x=.等比数列模型的判定(1)复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式为:本利和=本金×(1+利率)n.定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用.(2)在数列应用题中,通过阅读题目题意,发现a n+1与a n之间的关系满足=q (q为常数,且q ≠0),则数列{a n}为等比数列.所以这一类题目可用等比数列的模型解决.某大学张教授年初向银行贷款20万元用于购房,银行贷款的年利率为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清,每年年初还一次,并且在贷款后次年年初开始归还,问:每年应还多少万元?(参考数据:1.110≈2.594)【解析】设每年还款x万元,则每年还款后的余额为:第一年:20×(1+10%)-x,第二年:(20×1.1-x)×1.1-x=20×1.12-(1.1+1)x,第三年:[20×1.12-(1.1+1)x]×1.1-x=20×1.13-(1.12+1.1+1)x,第n年:20×1.1n-(1.1n-1+1.1n-2+…+1.1+1)x.a n=20×1.1n-x=20×1.1n-x,十年还清,即十年以后余额为零,所以20×1.110-x=0,x=≈3.255(万元)答:如果10年还清,每年应还约3.255万元.类型三等差数列、等比数列的综合应用(逻辑推理、数学建模)【典例】某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案,一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案,每年贷款1万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前年多获利5千元.两种方案,使用期限都是十年,到期一次性归还本息,若银行贷款利息按年息10%的复利计算,比较两种方案,哪个获利更多?(计算数据精确到千元,1.110≈2.594,1.310≈13.786)【思路导引】分清两种方案分别属于什么数列模型,然后分别建立不同数列模型解决.【解析】方案甲:十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9,所以S10=≈42.62(万元).又贷款本息总数为10(1+10%)10=10×1.110≈25.94(万元),甲方案净获利42.62-25.94≈16.7(万元).乙方案获利构成等差数列,首项为1,公差为,前10项和为T10=1+++…+==32.50(万元),而贷款本息总数为1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]=1.1×≈17.53(万元),乙方案净获利32.50-17.53≈15.0(万元).比较两方案可得甲方案获利较多.将实际问题转化为数列问题的注意事项(1)分清是等差数列还是等比数列.(2)分清是求a n,还是求S n,特别要准确确定项数n.(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式.甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元.(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式,(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?【解析】(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a n,b n.则有a1=a,当n≥2时,a n=(n2-n+2)-[(n-1)2-(n-1)+2]=(n-1)a,所以a n=b n=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(b n-b n-1)=a(n∈N+).(2)易知b n<3a,所以乙超市将被甲超市收购,由b n<a n,得a<(n-1)a.所以n+4>7,所以n≥7,即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.课堂检测·素养达标1.某工厂总产值月平均增长率为p,则年平均增长率为( )A.pB.12pC.(1+p)12D.(1+p)12-1【解析】选D.设原有总产值为a,年平均增长率为r,则a(1+p)12=a(1+r),解得r=(1+p)12-1.2.通过测量知道,温度每降低6℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27℃时,该元件的电子数目接近( )A.860个B.1 730个C.3 072个D.3 900个【解析】选C.由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,=10,可得a11=3·210=3 072.3.(教材二次开发:习题改编)根据市场调查,预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量S n(单位:万件)大约是S n=(n=1,2,…,12).据此预测,本年度内,需求量超过5万件的月份是( )A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月【解题指南】现根据题意得到第n个月时的需求量,再由需求量大于5得到n的范围,进而得到结果.【解析】选 C.日用品从年初开始的n个月内累计的需求量S n(单位:万件)大约是S n=(n=1,2,…,12),则第n个月的需求量a n=S n-S n-1=>5⇒3n2-45n+27×6<0,n2-15n+54<0,6<n<9.4.一个热气球在第一分钟上升了25米的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125米吗?【解析】用a n表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,得a n+1=a n,因此,数列{a n}是首项a1=25,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为:S n=a1+a2+…+a n===125×<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125米.。
数列解题误区剖析误区1、 误解定义例1 已知一个数列}{n a 的前n 项和c bn an s n ++=2（0≠a ），问数列}{n a 是否构成等差数列？错解：11,a s a b c ==++ 1()(1)2.n n n a s s b a n a -=-=++-⋅1()2()(1)22n n a a b a an b a n a a +∴-=++-+--⋅=∴ }{n a 为等差数列。
剖析：易见 a c a c b a a a b a a 22)(2)(12≠-=++-++=-故}{n a 不为等差数列，究其原因：c b a a ++=1， )1(2)(-⋅++=n a a b a n ，)2(≥n 。
即通项公式为一分段函数，故须注意12a a -与n n a a -+1)2(≥n 是否相等。
误区2、误解公式例2 已知等差数列}{n a 中，若,45076543=++++a a a a a 求82a a +。
错解：1073a a a =+ ，1064a a a =+ ，1052a a =1054502a ∴= ， 10180a ∴= 2810a a a += 28180a a ∴+=剖析：上述过程似乎有道理，但缺乏根据，结果纯属巧合，不可取。
实际上，在等差数列}{n a 中，当q p n m a a a a ，q p n m +=++=+有时成立，（注意，等式两边均为两项），故正解如下：37546522a a a a a a +=+=且 所以由 34567450a a a a a ++++=可得55450.a =590a ∴=又2852a a a +=，38290180a a ∴+=⨯=误区3、误解题意例3 首项是125，第10项起开始比1大的等差数列的公差d 的范围是 （ ） A ．875d > B ．925d < C ．837525d << D ．837525d <≤ 错解：由题意101a >，即19125d +>，解得875d >，故选A. 剖析：错误原因在于审题仅考虑到101a >这一条件而没有注意到题中“开始”这一关键字眼.当然也有选C 者，虽注意到这一点，但由91a <来求d 的范围而造成错解.正解如下：由题意，有10911a a >⎧⎨≤⎩，即1912518125d d ìïï+>ïïíïï+?ïïïî，解得837525d <≤，故应选D. 误区4、盲目类比 例4 已知四个数成等比列，其积为16，中间二个数的和为5，求这个等比数列的公比． 错解：设四个数为33,,,a a aq aq q q ，依题意得416①5.②a a aq q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩由①得2a =±，代入②中整理得22520q q ±+=，∴2q =±或12q =±． 故原数列的公比为24q =或14． 剖析：当三数成等比数列时，三个数可设为a q，a ，aq ，从而简化运算．因此类推当四个数成等比数列时，四个数可设为3a q ，a q ，aq ，aq3，其公比为q2，往往忽略“四个数是正数”这个条件可用此种设法． 上述解法中，视公比为2q （正数），忽视了公比为负的情况．正解如下：设这四个数为23,,,a aq aq aq ，依题意得23216,5.a aq aq aq aq aq ⎧⋅⋅⋅=⎪⎨+=⎪⎩ 解此方程组，得公比q 为4或14或338-+．。
数列求和的常用方法一、分解相加法如果一个数列的第n 项能分解成多项的代数和，各项是等差（或等比）数列通项公式右边的形式可用此法，分别求和即可。
求和 121+341+581+…+[（2n-1）+n 21] 4+44+444+......+44 (4)解：（1）原式=[1+3+5+…+（2n-1）]+[21+221+…+n 21] =2)121(-+n n +211])21(1[21--n =n2+1-（21）n （2）∵44…4=94（10n-1） ∴原式=94（101+102+…+10n）-94n=94·101)101(10--n -94n=8140（10n-1）-94n 二、裂相相消法如果一个数列的第n 项能裂为两项的差，可用此法。
相加，消中间项，即可求和。
例2 已知数列{an}中，an=)3)(1(3++n n ，求Sn 解：令)3)(1(3++n n =1+n A -3+n B ，则)3)(1(3++n n =)3)(1()3()(++-+-n n B A n B A ∴⎩⎨⎧=-=-330B A B A →A=B=23，∴an=23（11+n -31+n ）， ∴Sn=23[（21-41）+（31-51）+（41-61）+…+（11-n -11+n ）+（n 1-21+n ）+（11+n -31+n ）] = 23（21+31-21+n -31+n ）=45-)3)(2(2156+++n n n } n 个点评：∵（n+3）-（n+1）=2，解题时可直得an=23（11+n -31+n ） 三、乘比（公比）相减法 若{an}组成等差数列，{bn}组成等比数列，求{anbn}的前n 项和的方法是给Sn 等式两边同乘公比后两等式相减便可求和。
例3 求1+6+27+…+n·3n -1解：Sn=1·30+2·31+3·32+…+n·3n -1，3Sn=1·31+2·32+…+3·33+…+（n-1）·3n -1+n·3n（1-3）Sn=1·30+（31+32+…+3n -1）-n·3n=1+31)31(31---n -n·3n=-21+213n-n·3n， ∴Sn=41+（2n -41）3n 四、并项求和法对某些项正负相间的数列，在求其前n 项和时，有时可根据其规律，若干项并为一组，从而求和例4 求和Sn=-1+3-5+7-…+（-1）n （2n-1）解：当n 为偶数时，Sn=（-1+3）+（-5+7）+…——[-（2n-3）+（2n-1）]=2+2+…+2=2n ·2=n 当n 为奇数时，则n-1为偶数Sn=-1+3-5+7-…-（2n-1）=-1+（3-5）+（7-9）+……+[（2n-3）-（2n-1）]=-1+（-2）+（-2）+…+（-2）=-1+（-2）21-n =-1-n+1= -n 五、归纳——猜想——证明法在利用上述几种方法求和困难时，可考虑此法例5 求an=22)12()12(8+-n n n 的前n 项的和 解：S1=a1=98，S2=2524，S3=4948，猜想Sn=22)12(1)12(+-+n n =1-2)12(1+n 以下用数列归纳法证明（略）六、倒序相加法：与推等差数列前n 项和方法相同例6 求Sn=3nn n n nC C C 3621 ++解：Sn=0·n n n n n nC C C C 363210++++ ，又Sn=3n·01103)1(3nn n n n n C C C n C ⨯++-+- 两式相加 2Sn=3n 1101023,23)(333-=∴⨯=+++=+++n n n n n n n n n n n n S n C C C n nC nC C。
数列解题误区剖析
误区1、 误解定义
例1 已知一个数列}{n a 的前n 项和c bn an s n ++=2（0≠a ），问数列}{n a 是否
构成等差数列？
错解：11,a s a b c ==++Q 1()(1)2.n n n a s s b a n a -=-=++-⋅
1()2()(1)22n n a a b a an b a n a a +∴-=++-+--⋅=
∴ }{n a 为等差数列。
剖析：易见 a c a c b a a a b a a 22)(2)(12≠-=++-++=-
故}{n a 不为等差数列，究其原因：
c b a a ++=1， )1(2)(-⋅++=n a a b a n ，)2(≥n 。
即通项公式为一分段函数，故须注意12a a -与n n a a -+1)2(≥n 是否相等。
误区2、误解公式
例2 已知等差数列}{n a 中，若,45076543=++++a a a a a 求82a a +。
错解：1073a a a =+Θ ，1064a a a =+ ，1052a a =
1054502
a ∴= ， 10180a ∴= 2810a a a +=Q 28180a a ∴+=
剖析：上述过程似乎有道理，但缺乏根据，结果纯属巧合，不可取。
实际上，在
等差数列}{n a 中，当q p n m a a a a ，q p n m +=++=+有时成立，（注意，等式两边均为两项），故正解如下：
37546522a a a a a a +=+=Q 且 所以由 34567450a a a a a ++++=可得
55450.a =590a ∴=
又2852a a a +=，38290180a a ∴+=⨯=
误区3、误解题意
例3 首项是
125
，第10项起开始比1大的等差数列的公差d 的范围是 （ ） A ．875d > B ．925d < C ．837525d << D ．837525
d <≤ 错解：由题意101a >，即19125d +>，解得875d >，故选A. 剖析：错误原因在于审题仅考虑到101a >这一条件而没有注意到题中“开始”这
一关键字眼.当然也有选C 者，虽注意到这一点，但由91a <来求d 的范围而造成错解.正解如下：
由题意，有10911a a >⎧⎨≤⎩，即1912518125d d ìïï+>ïïíïï+?ïïïî，解得837525d <≤，故应选D. 误区4、盲目类比
例4 已知四个数成等比列，其积为16，中间二个数的和为5，求这个等比数列
的公比． 错解：设四个数为33,,,a a aq aq q q ，依题意得416①5.②a a aq q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
由①得2a =±，代入②中整理得22520q q ±+=，∴2q =±或12
q =±． 故原数列的公比为24q =或14
． 剖析：当三数成等比数列时，三个数可设为a q
，a ，aq ，从而简化运算．因此类推当四个数成等比数列时，四个数可设为3
a q ，a q ，aq ，aq3，其公比为q2，往往忽略“四个数是正数”这个条件可用此种设法． 上述解法中，视公比为2q （正数），忽视了公比为负的情况．正解如下：
设这四个数为23
,,,a aq aq aq ，依题意得23216,5.a aq aq aq aq aq ⎧⋅⋅⋅=⎪⎨+=⎪⎩
解此方程组，得公比q 为4或14或338-+．。
