高中数学第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义知识巧解学案新人教A版必修

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义[提出问题]问题1：按照向量的加法法则，若a 为非零向量，则a ＋a 的长度与|a |的关系怎样？ 提示：按三角形法则，|a ＋a |＝2|a |.问题2：我们知道，x ＋x ＋x ＝3x ，那么a ＋a ＋a 能否写成3a 呢？ 提示：可以．问题3：3a 与a 的方向有什么关系？－3a 与a 的方向呢？ 提示：3a 与a 方向相同．－3a 与a 方向相反． [导入新知] 1．向量数乘运算一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |； (2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ＞0时，与a 方向相同，当λ＜0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，则 (1)λ(μ a )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )， λ(a －b )＝λa －λb . [化解疑难]从两个角度看数乘向量 (1)代数角度：λ是实数，a 是向量，它们的积仍是向量；另外，λa ＝0的条件是λ＝0或a ＝0. (2)几何角度： 对于向量的长度而言，①当|λ|>1时，有|λa |>|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a |的|λ|倍；②当0<|λ|<1时，有|λa |<|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a |的|λ|倍.[提出问题]问题1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？ 提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量．问题2：根据向量的数乘运算，λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向有何关系？ 提示：相同或相反．问题3：向量a 与λa (λ为常数)共线吗？ 提示：共线． [导入新知] 1．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .[化解疑难]共线向量定理中规定a ≠0的原因(1)若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线； (2)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa ； (3)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .[例1] (1)3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b －⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ；(3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . [解] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c . [类题通法] 向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用] 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[]a ＋8b －a －2b.答案：(1)14a －9b (2)－2a ＋4b[例BC 的中点，已知BC ＝a ，BD ＝b ，试用a ，b 分别表示DE ，CE ，MN .[解] 由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE ＝12BC ，即DE ＝12a ，CE ＝CB ＋BD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b ，MN ＝MD ＋DB ＋BN ＝12ED ＋DB ＋12BC＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .[类题通法]用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．[活学活用]1.如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案：C2．如图所示，四边形OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM ，ON ，MN .答案：OM ＝16a ＋56b ；ON ＝23(a ＋b )；MN ＝12a －16b[例3] (1)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP ＝x OA ＋y OB ，求x ＋y 的值．[解] (1)证明：∵CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2， ∴BD ＝CD －CB ＝e 1－4e 2. 又∵AB ＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB ＝2BD ，∴AB ∥BD . ∵AB 与BD 有交点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵A ，B ，P 三点共线，∴向量AB ，AP 在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使AP ＝λAB ，即OP －OA ＝λ(OB －OA )，∴OP ＝(1－λ)OA ＋λOB ，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1.[类题通法]用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC，则AB，AC共线，又AB与AC有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．[活学活用]1．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.若a与b是共线向量，则实数k的值为________．答案：－22．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴AB＝AM＋AC，∴AM＝AB－AC＝CB.同理可证明AN＝AC－AB＝BC.∴AM＝－AN.∴AM，AN共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．4.向量线性运算的应用[典例] (12分)已知▱ABCD中，AD＝a，AB＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．(1)用a，b表示向量MC，NC；(2)求证：M，N，C三点共线．[解题流程][规范解答](1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ＝AD ＝a .(1分)∵M 为AB 的中点，∴MB ＝12AB ＝12b ，(2分)∴MC ＝MB ＋BC ＝12b ＋a .(4分)∵N 为BD 上靠近B 的三等分点，∴NB ＝13DB ，(6分)∴NC ＝NB ＋BC ＝13DB ＋BC ＝13(AB －AD )＋BC＝13(b －a )＋a ＝23a ＋13b .(8分) (2)证明：由(1)知NC ＝23MC ，(10分)又NC 与MC 有公共点C ， ∴M ，N ，C 三点共线．(12分)[名师批注]平行四边形的对边平行且相等，且其对边可表示两相等向量，这在线性运算中经常用到.先将MC 用平行四边形中的有关有向线段表示，然后再用向量表示这是解决此类问题的通法．要注意向量的始点和终点，此点也极易出错.将向量NB 转化为13()AB －AD 是解决此题的难点，很多同学因不会转化而无法解题.在证出NC ∥MC 后，只有再说明NC 与MC 有公共点C ，才能说明M ，N ，C 三点共线．此处极易被忽视而造成解题步骤不完整而失分．[活学活用]如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．答案：(1)OC ＝2a －b ；DC ＝2a －53b (2)45[随堂即时演练]1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相同 B ．a 与－λa 的方向相反 C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|λa |＝λ|a | 答案：C 2.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋8b －a －2b 等于( )A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b答案：B3．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2. 答案：①②③4．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．答案：－1或35.如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别为K ，L ，且AK ＝e 1，AL ＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ，CD .答案：BC ＝43e 2－23e 1；CD ＝－43e 1＋23e 2[课时达标检测]1．若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝( ) A ．－a B ．－b C ．－c D ．以上都不对答案：A2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③xa ＋yb ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB ＝a ，CD ＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④答案：A3.如图，向量OA ，OB ，OC 的终点在同一直线上，且AC ＝－3CB ，设OA ＝p ，OB ＝q ，OC ＝r ，则下列等式中成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p答案：A4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13B.23 C.12 D.53 答案：A5．如图，设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 答案：A6.如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．答案：14(b －a )7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ等于________．答案：238．已知两个不共线向量e 1，e 2，且AB ＝e 1＋λe 2，BC ＝3e 1＋4e 2，CD ＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．答案：－35三、解答题9．如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，DN ＋CN .解：BC ＝BA ＋AD ＋DC ＝－a ＋b ＋c .∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ，MN ＝MC ＋CB ＋BN ， ∴2MN ＝MD ＋MC ＋DA ＋CB ＋AN ＋BN ＝－AD －BC ＝－b －(－a ＋b ＋c ) ＝a －2b －c . ∴MN ＝12a －b －12c .DN ＋CN ＝DM ＋MN ＋CM ＋MN ＝2MN ＝a －2b －c.10．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－3OB ，求△AOB 与△AOC 的面积之比．解：如图，由平行四边形法则，知OA ＋OC ＝OD ，其中E 为AC 的中点． 所以OA ＋OC ＝2OE ＝－3OB . 所以OB ＝－23OE ，|OB |＝23|OE |.设点A 到BD 的距离为h ，则S △AOB ＝12|OB |·h ，S △AOC ＝2S △AOE ＝|OE |·h ，所以S △AOB S △AOC ＝12|OB ―→|·h|OE ―→|·h ＝12·|OB ―→||OE ―→|＝12×23＝13.11．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM ＝λOB ＋(1－λ)OA (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)． (1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围． 解：(1)证明：∵OM ＝λOB ＋(1－λ)OA ， ∴OM ＝λOB ＋OA －λOA ，OM －OA ＝λOB －λOA ，∴AM ＝λAB (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)． 又∵AM 与AB 有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线． (2)(1，＋∞)。

2.2.3向量数乘运算及儿何意义（2）•一、教学目标：-（1）理解并掌握共线向量定理，并会判断两个向量是否共线。

•（2）能运用向量判断点共线、线共点等。

•二、教学重、难点：.（1）共线向量定理（2）共线向量定理应用。

三、教学过程：（一）复习：1.实数与向量的积的定义：一般地，实数2与向量Q的积是一个向量，记作2d,它的长度与方向规定如卜:（1）| 加冃Q||d|；(2)当2>0时,Aa的方向与方的方向相同;当2<0时，2d的方向与d的方向相反; 当2 = 0 时，Aa = O.2.实数与向量的积的运算律：（1）2（〃0）=（弘）0 （结合律）;（2）（2 +亦=舫+加（笫一分配律）;(3) A(a+b) =Aa + Xb (第二分配律).定理：如果有一个实数2,使b = Aa那么向量乙与方是共线向量；反之, 3.向量共线定理:如果向量厶与方（。

工0）是共线向量，那么有且只有一个实数2,使得b = Aa.（二）新课讲解：1. 向量共线问题： —> f —f例1>己知向量°、&满足"+ " - 一-二丄（3a + 2»）,求证：向量a 和庶线 5 2 5已知= DE = 3BC,试判断AC 与AE 是否共线?2. 空三，瞇鑿I 问题AB = /lBC （BC/6）^ B 、C 三点共线.例3、教材P89面例6例2、3. 证明两肓线平行的问题一 =直线AB 〃言线CD.AB 与CD 不在同一直线上J例 °。

在四边形ABCD 中，為二：+ 2》，~BC = -4^i-b, CD =-5a-3b.求证：四边形ABCD 为梯形. 四、课堂练习：P90面6题五、小结：1.掌握向量数乘运算的定义；2. 掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；3. 理解两向量共线（平行）的条件，并会判断两个向量是否共线、点共线。

课后思考1 • 如图•在fr 意四边形ABCD 中.E.F 分别是Al ）・BC 的中点.求证:AB + DC = 2 EE A [—如图•平行四边形中• E 是1 中点.AE 交BD F M ■试用向僦的方 法证明:M 見IHJ 的一个三等分点・.. 设D.E.F 分别是△川3(’的边BC\ChAB±的点•且AF = +八乩HD = ■. . A ・■ ‘ ・■—BC^ CE = —CIA.若记八” =m. ( A = m 试用 表示3 4AB = ACD n AB//CD赠:小学五年级数学竞赛题1. ............................................................................................................................. 把自然数1.2.3.4…… 的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011 ............................................. 已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位？2.在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255,乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365,那么正确的乘积是多少？3.将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法?4、把自然数1、2、3、4 ........... 的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213…… 已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有儿个?6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202,这群孩子至少有儿人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)掌握向量的数乘运算及其几何意义.
(2)理解向量共线定理,并应用其解决相关问题.
2.过程与方法
通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程,使学生形成数形结合的研究问题的方法,由λ的符号来判断λa与a的方向是否相同的过程,培养学生用分类讨论的思想研究问题的方法.
3.情感、态度与价值观
通过对向量数乘运算的探究学习,经历数学探究活动的过程,培养学生的探索精神和创新意识;通过数乘向量的实际应用,体会数学的应用价值,学会用数学的方式解决问题.
重点:向量的数乘运算及其几何意义,向量共线定理.
难点:向量共线定理的应用.
重难点突破:引导学生作出几个相同向量的和,再讨论它们的几何意义,得到向量数乘运算的直观感知,然后过渡到一般的向量数乘运算的定义.要强调λa是一个向量,λa也有长度和方向.
【例】如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:.
分析:作直径BD,连接DA,DC,根据四边形AHCD是平行四边形求解.
证明:作直径BD,连接DA,DC,
则=-,DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.
∴CH∥DA,AH∥DC.
故四边形AHCD是平行四边形.
∴.
又,
∴.
变式训练已知G为△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心.
证明:如图,由=0,
知=-().
以为邻边作▱BGCD,
则,即=-.
而在▱BGCD中,BC与GD相交于E,且,
则AE是△ABC中BC边上的中线.
又因为||=2||,所以G为△ABC的重心.。

2.2.3向量数乘运算及其几何意义课前预习学案预习目标：通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。

预习内容：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。

如力与加速度的关系F m a =，位移与速度的关系s v t =。

这些公式都是实数与向量间的关系。

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++ 和()()()a a a -+-+-向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生： 师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）课内探究学案学习目标：1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

学习过程： 1、探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量a的积就是λa ，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a相乘的含义作一番解释才行。

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa. 它的长度和方向规定如下：（1） .（2） .2）运算律：问：求作向量2(3)a 和6a （a 为非零向量）并进行比较，向量2()a b +与向量22a b+ 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较） 生： .师：设a 、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）()λμa λa μa +=+ ； （2）()()λμa λμa = ； （3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。

２．２．３ 向量数乘运算及其几何意义（１）教学目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、数乘运算的三个运算律，理解向量 共线的充要条件。

教学重点：向量数乘运算的意义及运算律，向量共线的条件。

教学难点：向量共线的条件。

教学过程一、复习提问什么叫共线向量？向量的加法、减法的定义、运算法则（三角形法则、平行四边形法则）。

二、新课１．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和（a ）+（a ）+（a ）OC =BC AB OA ++=a +a +a =３aPN =MN QM PQ ++=（a ）+（a ）+（a ）=３a讨论：１３a 与a 方向相同且|３a |=３|a | ２３a 与a 方向相反且|３a |=３|a |２．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa１|λa |=|λ||a | ２λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0a a a a OA B C a - a -a -a -N M Q P３、运算定律：结合律：λ（μa ）=（λμ）a １第一分配律：（λ+μ）a =λa +μa ２第二分配律：λ（a +b）=λa +λb３特别地，（—λ）a ＝—（λa ）＝λ（—a ）λ（a —b）＝λa —λb４、例题例５、计算：（１）（—３）⨯４a ；（２）３（a ＋b）—２（a —b）—a ；（３）（２a ＋３b—c）—（３a —２b＋c）。

解：（１）原式＝（—３⨯４）a ＝—１２a ；（２）原式＝３a ＋３b—２a ＋２b—a ＝５b；（３）原式＝２a ＋３b—c—３a ＋２b—c＝—a ＋５b—２c。

对于向量a （a ≠0）、b，如果有一个实数λ，使b＝λa ，由向量的数乘定义知， 与b共线。

a反过来，向量a （a ≠0）与b共线，且向量b的长度是向量a 的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a 与b同方向时，有b＝μa ，当a与b反方向时，有b＝—μa。

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2.2。

3向量数乘运算及其几何意义 【学习目标】1．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义；2．理解两个向量共线的含义，并能证明简单的平行及共线问题;3。

了解向量的线性运算性质及其几何意义；【新知自学】 知识回顾：已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-．新知梳理： 1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向 ；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向 ；当0λ= 时，0a λ=．2．实数与向量的积的运算律:（1）()()a a λμλμ=（结合律）；（2)()a a a λμλμ+=+(第一分配律）；(3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．对点练习① 对于实数m 和向量a ，b ,恒有m （a —b ）=m a — m b ；② 对于实数m ,n 和向量a ,恒有(m —n ） a =m a —n a ；③ 若m a = m b (m ∈ R)， 则有a =b ；④ 若m a = n b （m ,n ∈ R ， a ≠ 错误!）， 则有m = n 。

2. 2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标：1．掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义；2．掌握向量数乘的运算律；3．理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线的条件判定两向量是否平行．教学重点：理解向量数乘的几何意义．教学重点：向量共线的充要条件及其应用．教学过程情景平台已知非零向量a，把a+a+a记作3a，(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，试作出3a和－3a．a概念导入我们规定这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（1）（2）有上可知：λ=0时，λa=向量数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.运算律完成以下三个问题（1）已知非零向量a，求作向量2(3a)和6a，并进行比较．a（2）已知非零向量a，求作向量5a和2a+3a，并进行比较a（3）已知非零向量a ，b ，求作向量2(a +b )和2a +2b ，并把结果进行比较分析．总结运算律：设μλ,为实数,那么能力平台例1.计算： （1）(-3)×4a（2）3(a +b )-2(a -b )-a （3）(2a +3b -c )-(3a -2b +c )变式训练1、点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则= AB ,= AB . 2、课本练习3、5题ab3、若3m +2n =a ,m -3n =b ,其中a ,b 是已知向量,求m ,n .问题引导1、引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗? 怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？2、如果a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ,使b =λa . 那么由向量数乘的定义,知a 与b 具有怎样的位置关系?3、已知向量a 与b 共线,a ≠0,且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍,即|b |=μ|a |,那么当a 与b 同方向时,有b = , 当a 与b 反方向时,有b = .有上可知：两个向量共线的等价条件是：能力平台例2 如图,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA =a +b ,OB =a +2b ,OC =a +3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么?例 3 如图,ABCD 的两条对角线相交于点M,且AB =a ,AD =b ,你能用a 、b 表示MC 、、MB 、MA 和MD 吗?变式训练1、课本练习第4题2、课本练习第6题【小结】1°定义实数与向量的积与a同向，且|λa|=|λ||a|=λ|a|(λ>0)λa=与a反向，且|λa|=|λ||a|=-λ|a|(λ<0)a=0(λ=0)2°实数与向量积的运算律．3°向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa．作业：习题2.2 A组第9、10题课下练习：习题2.2 A组第11、12、13题课下思考：习题2.2 B组第1、2、3、4、5题必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

学 习 资 料 专 题2.2.3 向量数乘运算及其几何意义问题导学一、向量数乘的基本运算活动与探究1计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a ．迁移与应用化简：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．二、向量的共线问题活动与探究2已知向量e 1和e 2不共线．(1)若AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1＋8e 2，CD ＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．迁移与应用1．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．2．如图，已知AD ＝3AB ，DE ＝3BC ，试判断AC 与AE 是否共线．共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量a ，b ，a ∥b 是否成立，关键是能否确定唯一的实数λ，使b ＝λa ．而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题，再依据定理进行解决：要证A ，B ，C 三点共线，只需证AB ＝λAC (λ∈R )或AB ＝λBC (λ∈R )；要证AB ∥CD ，只需证AB ＝λCD (λ∈R )．三、向量的线性运算活动与探究3如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA =a ，OB =b ，用a ，b 表示向量OC ，DC ．迁移与应用在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF 等于( )A ．14a ＋12bB ．23a ＋13b C ．12a ＋14b D ．13a ＋23b用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解．当堂检测1．下列计算正确的有( )①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋(2a ＋2b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知λ，μ∈R ，则下面关系正确的是( )A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μ aD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |3．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D4．已知e 是任一向量，a ＝－2e ，b ＝5e ，用a 表示b ，其结果是__________．5．点C 在直线AB 上，且AC ＝3AB ，则BC ＝__________AB ．答案：课前预习导学【预习导引】1．向量 向量的数乘 λa (1)|λ||a | (2)相同 相反 0预习交流1 提示：1．从代数角度来看，(1)λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量；(2)λa ＝0的条件是a ＝0或λ＝0．2．从几何的角度来看，对于向量的长度而言，(1)当|λ|＞1时，有|λa |＞|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|λ|倍；(2)当0＜|λ|＜1时，有|λa |＜|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|λ|倍．2．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb3．唯一一个 b ＝λa预习交流2 提示：定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa ．4．(1)加、减、数乘运算 (2)λμ1a ±λμ2b课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可综合运用向量数乘的运算律求解．解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a ；(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0； (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c ．迁移与应用 解：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b ． 活动与探究2 思路分析：对于(1)，欲证明A ，B ，D 三点共线，只需证明存在λ，使BD ＝λAB 即可．对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．解：(1)∵AB ＝e 1＋e 2，BD ＝BC ＋CD ＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB ， ∴AB ，BD 共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2．由于e 1与e 2不共线，只能有0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩则k ＝±1．迁移与应用 1．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴2,1,k λλ=⎧⎨=-⎩∴k ＝－2．2．解：∵AE ＝AD ＋DE ＝3AB ＋3BC＝3(AB ＋BC )＝3AC ，∴AC 与AE 共线．活动与探究3 思路分析：解题的关键是建立OC ，DC 与a ，b 的联系，为此需要利用向量加、减、数乘运算．解：∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA ＝12(OB ＋OC )，∴OC ＝2OA －OB ＝2a －b ． ∴DC ＝OC －OD ＝OC －23OB ＝2a －b －23b ＝2a －53b ． 迁移与应用 B解析：易知△DFE ∽△BAE ，又∵E 是OD 中点，∴DF ＝13DC ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13DC ＝(AO ＋OD )＋13(OC －OD ) ＝12AC ＋12BD ＋131122AC BD ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝23AC ＋13BD ＝23a ＋13b ． 【当堂检测】1．C 解析：a ＋b －(a ＋b )＝0，故③错误，①②正确．2．C 解析：当a ≠0，λ＜0时，λa 与a 反向，且λ|a |＜0，则A ，D 错误． 又∵0·a 的结果为0，则B 错误．由运算律知C 正确．3．A 解析：∵BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋4b ＝2AB ，且有一个公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．b ＝－52a 解析：由a ＝－2e ，得e ＝－12a ，代入b ＝5e ，可得b ＝－52a ． 5．2 解析：BC ＝AC －AB ＝3AB －AB ＝2AB ．。

第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 把握向量的减法，会作两个向量的减向量，并明白得其几何意义；3. 通过论述向量的减法运算能够转化成向量的加法运算，使学生明白得事物之间能够彼此转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确信.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在明白得相反向量的基础上结合向量的加法运算把握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 讲课类型：新讲课 教学思路：一、 温习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”概念向量的减法（1） “相反向量”的概念：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一贯量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 若是a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的概念：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算概念向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，A BD COabBaba -b作= a ， = b 则= a - b即a - b 能够表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”概念法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探讨：１）若是从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？ 三、 例题：例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作， DC ， 则= a -b ， DC = c -dO Aa B’b-b bBa + (-b )a b ABCbad cDOa -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-b例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=ADb ， 用a 、b 表示向量AC 、DB .解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 知足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a ， b 知足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 相互垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98四、 小结：向量减法的概念、作图法| 五、 作业：P103第4、５题 六、 板书设计（略） 七、 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( ) +b+(-b )为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 +b +c +d =0 +c -d =0+b -c -d =0 +d =0３.如图，在四边形ABCD 中，依照图示填空：a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试依照图中给出的向量，确信a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =DC ，并画出b -c 和a +d .A BD C第３题。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。

——高尔基学习目标1．掌握向量数乘运算的概念.2．能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算.3．掌握向量的共线定理及应用.学习重点平面向量数乘运算法则的应用.学习难点平面向量数乘运算法则的应用自主学习1．向量的数乘运算的概念(1)定义：实数λ与向量a的积是一个______.(2)运算律：①=②=③=特别地，( )= ( )，＝. 2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使_________.预习评价1．在四边形ABCD中，若，则此四边形是A.平行四边形B.菱形C.梯形D.矩形2．设，是两个不共线的向量，若向量m=－+ k(k∈R)与向量n= －2共线，则A.k=0B.k=1C.k=2D.3．若向量，a满足2 -3( -2a)=0,则向量=________.4．向量a与b不共线，向量c=3a-b，d=6a-2b，则向量c与的关系_______.(共线，不共线)5． =___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．向量数乘的概念及运算根据向量数乘的概念，思考下面的问题：(1)向量数乘得到的依然是向量，那么它的方向由谁确定？(2)实数与向量数乘所得向量与原向量是否为共线向量？2．所得向量λa的几何意义是什么？3．向量的大小与方向如何？4．共线向量定理根据共线向量定理，探究下面的问题：(1)若向量a与向量b(b≠0)共线，则a=λb，如何确定λ的值？(2)定理中为何要限制a≠0？5．若向量a，b不共线，且λa=μb，则λ，μ的值如何？为什么？教师点拨1．对向量数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向量，方向与λ的正负有关.(2)当λ=0时，λa=0.(3)向量的数乘运算要遵循向量的数乘运算律.2．共线向量定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线.(2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线.交流展示——向量的数乘运算及理解已知向量a，b满足：|a|＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ＝A. B. C. D.变式训练设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是 ( )A.a与λa的方向相同B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同D.|λa|=λ|a|交流展示——共线向量定理及其应用已知向量，，，则A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线变式训练在中，点是的中点，点在上，且，求证：，，三点共线．交流展示——向量线性运算的应用下列各式计算正确的个数是 ( )①(-7)·6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.A.0个B.1个C.2个D.3个变式训练=A.2a−bB.2b−aC.b−aD.a−b学习小结1．向量的数乘运算方法(1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数.(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解. 2．由共线向量定理求向量系数的步骤(1)把向量等式通过向量线性运算，转化为与另一个式子相同的形式.(2)由两等式相同知对应系数相同，列方程可求向量的系数.3．用共线向量定理证明三点共线的三个步骤(1)定向量：由三点可确定多个不同的向量.(2)证共线：证明两个向量共线.(3)得结论：说明三点共线.当堂检测1．化简下列各式:(1)-+--;(2)2(a+2b)+3(3a+2b)-4(a-b).2．已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则实数λ的值为. 3．已知关于的方程有，则＝A. B. C. D.无解4．在平行四边形ABCD中，，，，则________(用e1,e2表示).5．已知非零向量e1，e2，a，b满足a=2e1-e2，b=k e1+e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值.(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线?若存在，求出k的值，否则说明理由知识拓展已知两个向量e1,e2不共线.如果a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线?2.2.3 向量数乘运算及其几何意义♒♒♒♒♒♒♒课前预习 · 预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．(1)向量 λa ，｜λ｜｜a ｜，相同 相反 0(2)①(λμ)a ②λa ＋μa③λa ＋λb λa －a λa －λb2．b ＝λa【预习评价】1．C2．D3．6a4．共线5．2b －a♒♒♒♒♒♒♒知识拓展 · 探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)实数λ与向量a 数乘，得到向量λa ，其方向由λ的正负及向量a 的方向共同确定(2)所得向量与原向量是共线向量.2．是把向量a 沿a 的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍或沿a 的相反方向放大(λ<－1)或缩小(－1<λ<0)到原来的｜λ｜倍.3．向量的大小为1，方向与a 的方向相同，所以该向量也是向量a 方向上的单位向量.4．(1)当a ，b 同向时，λ＝，当a ,b 反向时，λ＝－ . (2)共线向量定理中，若不限制a ≠0，则当a ＝b ＝0时，λ的值不唯一，定理不成立.并且当b ≠0，a ＝0时，λ的值不存在.5．:λ＝μ＝0.假设λ≠0，由于向量a ，b 不共线，则a ≠0，b ≠0，且a ＝ b ，从而a ，b 共线，与向量a ，b 不共线矛盾，可知λ＝μ＝0.【交流展示——向量的数乘运算及理解】C【变式训练】C【解析】只有当λ>0时,a与λa的方向相同,a与-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同.【交流展示——共线向量定理及其应用】B【解析】本题主要考查平面向量的共线的定理与向量的应用，由于与有公共点B，因此A、B、D三点共线，故答案为B.【变式训练】证明：．因为，，所以．由于，可知，即．又因为、有公共点，所以、、三点共线．【解析】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线．【交流展示——向量线性运算的应用】C【解析】根据数乘向量的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.【变式训练】B【当堂检测】1．(1)原式=(-)-(+)=-0=.(2)原式=2a +4b +9a +6b -4a +4b =(2+9-4)a +(4+6+4)b =7a +14b .2．-1【解析】本题主要考查向量的相关知识,解题的关键是根据a+λb 与b+λa 的方向相反得到恒等式,进而得到关于λ的方程,从而得出λ的值.由a+λb 与b+λa 的方向相反得,a+λb=-k(b+λa),k>0,则λ=-k,-k λ=1,即λ2=1,又k>0,所以λ=-1,此时a+λb 与b+λa 的方向相反.3．B【解析】本题主要考查向量的线性运算.向量的线性运算同多项式的合并化简类似，具体解法如下：由已知得，则. 4．5．（1）由，得，而与不共线， 所以2,21k k λλ=⎧⇒=-⎨=-⎩. （2）不存在.若与共线，则， 有因为为非零向量，所以2λ≠且k λ≠-， 所以，即，这时与共线，所以不存在实数k 满足题意. 【知识拓展】显然c≠0,否则4e 1-7e 2=0,即e 1=e 2,与e 1,e 2不共线矛盾.又d=λa+μb=(λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2(λμ≠0),假设向量d=λa+μb 与c 共线,则存在一个实数γ,使得d=γc,即( λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2=4γe 1-7γe 2,从而,消去γ,得15λ=2μ(μ≠0).所以存在非零实数λ,μ,只要它们满足15λ=2μ(μ≠0),就能使得向量d 与c 共线.。