2015年上海初三数学竞赛试卷解答
（2015年12月6日上午9:00---11:00）
解答本题可以使用科学计算器
一、填空题（每小题10分，共80分）
1、已知AB 为圆O 的直径，AB=1，延长AB 到点C ，使得BC=1，CD 是圆O 的切线，D 是切点，则ABD ∆的面积为______________。 解答：依据切割线定理可以得到：
22CD CB CA CD =⋅⇒=。
因为可以得到BD CD
CD CBD A AD AC
∆⇒
=
∆∽ 因此有
21
22
BD AD ==
。 因为AB 为圆O 的直径，所以ABD ∆时直角三
角形。 依据勾股定理有
222221133
AB BD AD BD BD =+⇒=⇒=。
而2122226
ABD S BD AD BD ∆=
⋅==
2、有编号分别为1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______________。
解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为3
735C =种，因为没有小球的数字不同，这样
这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况
第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为3
44C =
第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两
个，取法有22
4312C C ⋅=.
这样和为奇数一共有41216+=种。从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为1635
3、实数,x y 满足234x y +=，2
34y x +=，x y ≠，则
x y
y x
+的值为____________。
解答：因为2244x y ⎧+=-----⎪⎨+=-
----⎪⎩①
②
上述①②两个相减，得到：()())0x y x y x y -
+-=。因为x y ≠
所以有x y
+=
上述①②相加得到222
)4()2)4x y x y x y xy x y +++=⇒+-++=
所以1xy =。因此2()21x y x y xy
y x xy
+-+=
=
4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍，则这三个素数为________．
解答：设这三个素数为,,a b c 。则有23()abc a b c =++。因为23是素数，从
23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。从而可以得到其中
有一个素数必为23。假设23a =
这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯ 因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。
5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A 作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接 AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则
AC
AB
=________． 解答：做如图所示的辅助线。可以得到
21211
//2
CO PC AO CO PA AO ⇒==
为此设PC k
=，则2.PA k = 应用切割线定理有：
223.AB AP AC k k AB
=⋅=⨯
⇒=
所以
2AC AB ==
。
6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，∠MON 的两边分别是射线 y = x (x ≥ 0)与x 轴正
半轴．点A (6,5)，B (10,2)是∠MON 内的两个定点，点P 、Q 分别是∠MON 两边上的 动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________．
解答：本题主要就是应用对称。应为四边形ABQP ，其中一个边AB 为定值。要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。
从对称可以得到/
(5,6)A ,
/
(10,2)B -. 四边形另外三边的最小值为//A B 依据两点间距离公式有
。
//
A B ==
AB ==。
7. 不定方程22
22x y xy x y +=++的整数(,y)x 解共有________组。
解答：设x y k +=，所以从2
2
22x y xy x y +=++，可以得到2
22k xy xy k -=+
所以22
2233
k k
k k xy xy --=⇒=。
这样,y x 是方程22
203
k k
t kt --+=的两个根，并且根为整数。 所以22
22()40803
k k
k k k -∆=--⨯≥⇒-≤。因此有08k ≤≤。 同时要保证22(2)
33
k k k k xy --==为整数。这样就有0k =，3，5，6，8 当0k =时，(,y)(0,0)x =
当3k =时，方程为方程2
310t t -+=没有整数解。 当5k =时，方程为方程2550t t -+=没有整数解。
当6k =时，方程为方程2680t t -+=，有整数解为2,4。所以(,y)(2,4)x =或(4,2) 当8k =时，方程为方程28160t t -+=，有整数解为4,4。所以(,y)(4,4)x = 整数(,y)x 解共有4组
