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2018〜2019第二学期期末考试高二数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考必考内容。
第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2)(3)1i i i++=+（ ）A. 5B. 5iC. 6D. 6i【答案】A 【解析】 【分析】由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可 【详解】由题()()()2351 5.11i i i ii+++==++故选A【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.2.已知集合{}2|45,{2}A x x x B x =-<=，则下列判断正确的是（ ）A. 1.2A -∈B. BC. B A ⊆D. {|54}A B x x =-<<U【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A 与集合B ，再判别集合A 与B 的关系，得出结果. 【详解】{}{}15,04A x x B x x =-<<=≤<Q ， .B A ∴⊆【点睛】本题考查了集合之间的关系，属于基础题.3.某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10n的样本，若样本中男生比女生多12人，则n =（ ） A. 990 B. 1320C. 1430D. 1560【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为611和511，于是得出样本中男生与女生人数之差为65111110n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭，于此可求出n 的值． 【详解】依题意可得6512111110n⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，解得1320n =，故选：B ． 【点睛】本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题．4.设向量a v 与向量b v 垂直，且(2,)a k =v，(6,4)b =v，则下列向量与向量a b +v v共线的是（ ） A. (1,8) B. (16,2)--C. (1,8)-D. (16,2)-【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量a b ⊥r r计算出k 的值，然后写出a b +r r 的坐标表示，最后判断选项中的向量哪一个与其共线.【详解】因为向量a r 与向量b r垂直，所以2640k ⨯+=，解得3k =-，所以()8,1a b +=r r ，则向量()16,2--与向量a b +r r共线， 故选：B.【点睛】本题考查向量的垂直与共线问题，难度较易.当()()1122,,,a x y b x y ==r r ，若a b ⊥r r，则12120x x y y +=，若a b r rP ，则12210x y x y -=.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为12232πππ⨯+⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.若函数f （x ）=()x 1222a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A. ()5,∞-+ B. [)5,∞-+ C. (),5∞-- D. (],5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解.【详解】由题()xf x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+()()12f x log x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以4a 1+≥-，解a 5≥-.故选B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.7.设x，y满足约束条件2020210yxx y+⎧⎪-⎨⎪-+⎩，，，…„…则z x y=+的最大值与最小值的比值为（）A. 2- B.32- C.1- D.52-【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y=+，观察直线在x轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出z最大值和最小值，于此可得出答案．【详解】如图，作出约束条件表示的可行域.由图可知，当直线z x y=+经过点()25A，时.z取得最大值；当直线z x y=+经过点3,22B⎛⎫--⎪⎝⎭时，z取得最小值.故maxmin7272zz==--，故选A．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题．8.已知函数()3cos(2)2f x xπ=+，若对于任意的x∈R，都有12()()()f x f x f x剟成立，则12x x-的最小值为（）A. 4B. 1C.12D. 2【答案】D【解析】【分析】由题意得出()f x的一个最大值为()2f x，一个最小值为()1f x，于此得出12x x-的最小值为函数()y f x=的半个周期，于此得出答案．【详解】对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min22Tx x -==，故选D ． 【点睛】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题． 9.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A. 10 B. 20 C. 20或-10 D. -20或10【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求．【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用 10.设01p <<，随机变量X ，Y 的分布列分别为（ ）当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ） A. 2 B.3316C.5527D.6532【答案】D【解析】 【分析】先利用数学期望公式结合二次函数的性质得出EX 的最小值，并求出相应的p ，最后利用数学期望公式得出EY 的值．【详解】∵()()222211721322248EX p p p pp p p ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当14p =时，EX 取得最大值.此时32652232EY p p =-++=，故选D ． 【点睛】本题考查数学期望的计算，考查二次函数的最值，解题的关键就是数学期望公式的应用，考查计算能力，属于中等题．11.若实轴长为2的双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>上恰有4个不同的点(1,2,3,4)i P i =满足2i iPB PA =，其中(1,0)A -，(1,0)B ，则双曲线C 的虚轴长的取值范围为（ ）A. )+∞B. (C. )+∞D. ( 【答案】C 【解析】 【分析】设点(),P x y ，由2PB PA =结合两点间的距离公式得出点P 的轨迹方程，将问题转化为双曲线C 与点P 的轨迹有4个公共点，并将双曲线C 的方程与动点P 的轨迹方程联立，由>0∆得出b 的取值范围，可得出答案．【详解】依题意可得1a =，设(),P x y ，则由2PB PA =，=2251639x y ⎛⎫++=⎪⎝⎭. 由222221516,39x y b x y ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩，得221101203x x b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 依题意可知210018109b ⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭，解得2187b >，则双曲线C 的虚轴长27b >=. 12.已知函数3()2f x x ax a =++.过点(1,0)M -引曲线:()C y f x =的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A ，B 两点，若||||MA MB =，则()f x 的极大值点为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】设切点的横坐标为t ，利用切点与点M 连线的斜率等于曲线C 在切点处切线的斜率，利用导数建立有关t 的方程，得出t 的值，再由MA MB =得出两切线的斜率之和为零，于此得出a 的值，再利用导数求出函数()y f x =的极大值点．【详解】设切点坐标()3,2t t at a ++，∵26y x a '=+，∴32261t at at a t +++=+，即32460t t +=，解得0t =或32t =-.∵MA MB =，∴3020x x y y ==-''+=，即232602a ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭，则274a =-，()22764f x x -'=.当4x <-或4x >时，()0f x '>；当44x -<<时，()0f x '<.故()f x 的极大值点为4-.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.71()7x x -的展开式的第3项为______. 【答案】337x【解析】 【分析】利用二项式定理展开式7717rr rC xx -⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭，令2r =可得出答案． 【详解】717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第3项为225371377C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为337x ． 【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题． 14.已知tan()1αβ+=，tan()5αβ-=，则tan 2β=______. 【答案】23- 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式()()tan 2tan βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦展开，代入相应值可计算出tan 2β的值．【详解】()()()()()()tan tan 152tan2tan 1tan tan 1153αβαββαβαβαβαβ+---⎡⎤=+--===-⎣⎦++-+⨯. 【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，解题时，首先应利用已知角去配凑所求角，然后在利用两角差的公式展开进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．15.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为35，面积为20π，则椭圆C 的标准方程为______． 【答案】2212516y x +=【解析】 【分析】设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，由面积公式以及离心率公式，求出a ，b ，即可得到答案．【详解】设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，椭圆C 的面积为20S ab ππ==，则20ab = ,又35e ==，解得225a =，216b =.则C 的方程为2212516y x +=【点睛】本题考查椭圆及其标准方程，注意运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题．16.已知高为H 的正三棱锥P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P AB C --的正切值为4，则HR=______. 【答案】85【解析】 【分析】取线段AB 的中点D ，点P 在平面ABC 的射影点M ，利用二面角的定义得出PDC ∠为二面角P AB C --的平面角，于此得出4PMDM=，并在Rt OMC ∆中，由勾股定理2OM +22CM OC =，经过计算可得出R 与H 的比值．【详解】取线段AB 的中点D ，设P 在底面ABC 的射影为M ，则H PM =，连接CD ，PD （图略）. 设4PM k =，易证PD AB ⊥，CD AB ⊥，则PDC ∠为二面角P AB C --的平面角， 从而4tan 4PM kPDC DM DM∠===，则DM k =，2CM k =. 在Rt OMC ∆中，222OM CM OC +=，即()()22242k R k R -+=，解得52k R =，故85H R =. 故答案为85． 【点睛】本题考查二面角的定义，考查多面体的外接球，在处理多面体的外接球时，要确定球心的位置，同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长，可简化计算，考查逻辑推理能力，属于中等题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n a n =-，且22n n n S T n +=+.(1)求数列11{}n n a a +的前n 项和n R ； (2)求{}n b 的通项公式.【答案】（1）21nn +（2）12,12, 2.n n n b n -=⎧=⎨⎩，…【解析】 【分析】 （1）先将11n n a a +表示为1111122121n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，然后利用裂项求和法可求出n R ；（2）先求出数列{}n a 的前n 项和2n S n =，于是得出2nn T =，然后利用作差法11,1,2n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩可求出数列{}n b 的通项公式．【详解】（1）因为()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121n n R n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； （2）因为()21212n n n S n +-==，所以222n nn n T n S =+-=.当1n =时.112b T ==；当2n …时，112n n n n b T T --=-=. 故12,12, 2.n n n b n -=⎧=⎨⎩，…【点睛】本题考查裂项法求和以及作差法求数列通项公式，求通项要结合递推式的结构选择合适的方法求数列通项，求和则需考查数列通项的结构合理选择合适的求和方法进行计算，属于常考题．18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部.某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格：(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率；(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立. (i )若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率； (ii )若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X ，求X 的方差.【答案】（1）81100（2）(i )27320 (ii )3 【解析】 【分析】（1）从表格中找出评价为四星和五星的人数之和，再除以总数可得出所求频率；（2）(i )记事件:A 恰有2名评价为五星1名评价为一星，然后利用独立重复试验的概率可求出事件A 的概率；(ii )由题意得出3~16,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用二项分布的方差公式可得出DX 的值． 【详解】（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为6，评价为五星的人数是75， 故评价在四星以上(包括四星)的人数为67581+=，故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率为0.81（或81100）； （2）(i )记“恰有2名评价为五星1名评价为一星”为事件A ，则()21357527100100320P A C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭； (ii )由题可知3~16,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故33161344DX ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题第（1）考查频率计算，第（2）文考查独立重复试验的概率以及二项分布方差的计算，解题前要弄清事件的基本类型以及随机变量所服从的分布列类型，再利用相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．19.在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin cos sin cos cos b A C a C B A += . （1）求tan A 的值；（2）若1b =，2c =，AD BC ⊥，D 为垂足，求AD 的长. 【答案】（1）tan A =2）1AD = 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求a ，再利用三角形面积公式求AD.【详解】（1）因为sin cos sin cos cos b A C a C B A ==， 所以sin sin cos sin sin cos cos B A C A C B A A +=因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos B C C B A +=,即()sin B C A +=.因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，所以sin A A =.则tan A =（2）因为tan A =sin A =1cos 2A =.在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+- ，即a =由11sin 22bc A a AD =⋅，得111222AD ⨯⨯=. 所以1AD =.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 20.已知()1,2B 是抛物线()2:20M y px p =>上一点，F 为M 的焦点．（1）若1,2A a ⎛⎫⎪⎝⎭，5,3C b ⎛⎫⎪⎝⎭是M 上的两点，证明：FA ，FB ，FC 依次成等比数列． （2）若直线()30y kx k =-≠与M 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，且12124y y y y ++=-，求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）由B 在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得FA ，FB ，FC 的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去x ，根据韦达定理求解出k ，从而可得PQ 中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得PQ 垂直平分线所在直线方程，代入0y =求得结果. 【详解】（1）()1,2B Q 是抛物线()2:20M y px p =>上一点42p ∴= 2p ⇒=24y x ∴=根据题意可得：13122FA =+=，112FB =+=，58133FC =+= 2382423=⨯=QFA ∴，FB ，FC 依次成等比数列（2）由234y kx y x=-⎧⎨=⎩，消x 可得24120ky y --= 124y y k∴+=，1212y y k =-12124y y y y ++=-Q 4124k k ∴-=- 2k ⇒=设PQ 的中点()00,x y()0121212y y y k ∴=+==，()001322x y =+= ∴线段PQ 的垂直平分线的斜率为12-故其直线方程为()1122y x -=--当0y =时，4x =【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点.（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP . （2）若22PA AB PB ==，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）210【解析】 【分析】（1）由PE BC BC AE ⊥⊥，得BC ⊥平面PAE ，进而可得证；（2）先证得PA ⊥平面ABCD ，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，分别计算平面BDF 的法向量为n v 和PD u u u v，设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin n PDn PDθ⋅=u u uv v u u u v v ，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP . （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=. 由432AF a =，得23AF a =.又由20,,23a a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0B ⎫⎪⎪⎝⎭，知2,23a a BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，20,,23a a OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v . 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =v，由n BF ⊥u u u v v ，n OF u u u v v ⊥，得20232023a ax y z a a y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z =，得()0,4,3n =v .又0,,2a P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以,2a PD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v . 设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin 10n PDn PDθ⋅===u u uv v u u u v v .所以PD 与平面BDF所成角的正弦值为10.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22.已知函数()()()xf x x a e a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，()()ln F x f x x x =-+，记函数()y F x =在(1,14)上的最大值为m ，证明：43m -<<-. 【答案】（1）单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可； （2）对()F x 求导，得()()11xF x x e x ⎛⎫=--⎝'⎪⎭，因为114x <<，所以10x -<，令()1xg x e x=-，求导得()g x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∃ 01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，进而得()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减；所以()()00max 0212m F x F x x x ===--，令()212G x x x=-- ，求导得()G x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，进而求得m 的范围.【详解】（1）因为()()x f x x a e =-，所以()()1xf x x a e =-+'，当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞.（2）当2a =时，()()2ln xF x x e x x =--+，则()()()11111xx F x x e x e x x ⎛⎫=--+=-- ⎝'⎪⎭， 当114x <<时，10x -<，令()1x g x e x=-， 则()210xg x e x =+>'，所以()g x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为121202g e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110g e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即001x e x =，即00ln x x =-. 故当01,4x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x <，此时()0F x '>； 当()0,1x x ∈时，()0g x >，此时()0F x '<.即()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减.则()()()00000max 2ln xm F x F x x e x x ===--+ ()00000012212x x x x x x =-⨯--=--. 令()212G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()22221220x G x x x-=-=>'. 所以()G x 在1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递增，所以()142G x G ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，()()13G x G <=-. 故43m -<<-成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.。
2018-2019学年安徽省高中教研联盟高二下学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．复数12i 1iz +=-的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】首先化简1322z i =-+，再求z 找其对应的象限即可. 【详解】 12(12)(1)13131(1)(1)222i i i i z i i i i +++-+====-+--+， 1322z i =--，对应的象限为第三象限. 故选：C【点睛】本题主要考查复数对应的象限，同时考查复数的运算和共轭复数，属于简单题.2．在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点1,2P ⎛ ⎝⎭，则tan2α=（ ） A．B．-CD【答案】D【解析】首先根据三角函数的定义求出tan α=tan2α即可.【详解】2tan 12α==tan 2α==故选：D【点睛】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查三角函数的定义，属于简单题. 3．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ）A ．35种B ．30种C ．28种D ．25种【答案】B【解析】首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况.【详解】从7名党员选3名去甲村共有37C 种情况，3名全是男性党员共有34C 种情况， 3名全是女性党员共有33C 种情况，3名既有男性，又有女性共有33374330C C C --=种情况. 故选：B【点睛】本题主要考查组合的应用，属于简单题.4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n n a a a ++=+，若37513a a a +-=，770S =，则1a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】C【解析】首先根据122n n n a a a ++=+得到数列{}n a 为等差数列，再根据770S =，37513a a a +-=即可算出1a 的值.【详解】因为122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列. 因为17747()7702a a S a +===，所以410a =. 375555213a a a a a a +-=-==.543d a a =-=.因为41310a a d =+=，所以11a =.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题.5．如图，已知函数cos ()x f x x=，则它在区间[],ππ-上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先根据函数的奇偶性排除A ，根据()0f π<排除B ，再根据0x +→时，()f x →+∞，故排除C ，即可得到答案.【详解】因为()f x 的定义域为0x ≠，cos ()()x f x f x x-=-=-， 所以()f x 为奇函数，故排除A. cos 1()0f ππππ==-<，故排除B.当0x +→时，()f x →+∞，故排除C.故选：D【点睛】本题主要考查根据函数图象选取解析式，熟练掌握函数的奇偶性和利用函数的特值检验为解题的关键，属于中档题.6．中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（ ）A ．27πB ．1174πC ．48916πD ．51916π 【答案】B 【解析】首先根据题意得到“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，再求其外接球的大圆面积即可.【详解】由题知：“堑堵”是半个长方体的直三棱柱111ABC A B C -，如图所示：设外接球大圆的半径为R ，222(2)(63)6117R =++=. 117R =，所以外接球的大圆面积为1174π. 故选：B【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球，同时考查三视图的直观图，属于中档题.7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2512y x =±，则焦点到渐近线的距离为（ ） A ．1B 3C ．2D ．3【答案】A【解析】首先根据双曲线的焦距得到5c =.【详解】由题知：2c =c =2F .2F 到直线20x y -=的距离1d ==.故选：A【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于简单题.8．在平面四边形ABCD ，(1,3)AC =u u u r ，(9,3)BD =-u u u v，则四边形ABCD 的面积为（ ） A． B ．272 C ．15 D．2【答案】C【解析】首先根据0AC BD =u u u r u u u r g 得到AC BD ⊥uuu r uu u r，再求四边形ABCD 的面积即可.【详解】 因为1(9)330AC BD =⨯-+⨯=u u u r u u u r g ，所以AC BD ⊥uuu r uu u r ，所以四边形ABCD的面积111522S AC BD =⨯==uuu r uu u r . 故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于简单题.9．若实数,x y 满足约束条件0102210x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-+≤⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>最大值为1，则ab 的最大值为（ ）A ．18B ．14 C．4 D．2【答案】A【解析】首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到21a b +=，再利用基本不等式的性质即可得到ab 的最大值.【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：目标函数z ax by =+转化为a zy x b b =-+， 由图易得，直线azy x b b =-+在(1,2)A 时，y 轴截距最大.所以21a b +=. 因为2(2)1244a b a b +≤=g ，即18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时，取“=”.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.10．设,(0,1)a b ∈，:P “a b <”，:q “log log a b a b b a <”，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行判断即可得到答案.【详解】充分性：01a b <<<⇒22lg lg 0(lg )(lg )a b a b <<⇒>. 所以22lg lg (lg )(lg )lg lg baa b b a a b a b <⇒<即：log log a b a b b a <，充分性满足.必要性：因为,(0,1)a b ∈，所以log 0a b >，log 0b a >.又因为log log a b a b b a <，所以log log a b bb a a <，即2(log )a b b a<.当a b =时，11<，不等式不成立.当a b >时，01b a <<，log 1a b >，不等式2(log )a b b a <不成立 当a b <时，1b a >，0log 1a b <<，不等式2(log )a b b a <成立. 必要性满足.综上：p 是q 的充要条件.故选：C【点睛】本题主要考查充要条件，同时考查了对数的比较大小，属于中档题.11．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若3AF FB =uu u r uu r ，则AOF V 的面积（O 为坐标原点）为（ ）A ．33B ．3C ．433D ．23【答案】B【解析】首先过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥，易得30ABM ∠=o ，60AFH ∠=o .根据直线AF ：3(1)y x =-与抛物线联立得到12103x x +=，根据焦点弦性质得到163AB =，结合已知即可得到sin 6023AH AF ==o ，再计算AOF S V 即可.【详解】如图所示：过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥.因为3AF BF =uuu r uu u r ，设BF k =，则3AF k =，11BB A M k ==. 所以2AM k =.在RT ABM V 中，12AM AB =，所以30ABM ∠=o . 则60AFH ∠=o .(1,0)F ，直线AF 为1)y x =-.221)310304y x x x y x⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，12103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=+=，344AF AB ==.在RT AFH V 中，sin 60AH AF ==o所以112AOF S =⨯⨯=V 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.12．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．B ．10C ．4D ．4- 【答案】B【解析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-g 计算即可.【详解】 因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=.即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α.所以1cos()tan()sin tan 25210παπααα+-===g g . 故选：B 【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.二、填空题13．()24(2)x x x +-的展开式中，3x 的系数为______．【答案】8-【解析】首先求出4(2)x -的展开式的通项，再令2r =，3r =即可求出含3x 的项及系数.【详解】设4(2)x -的展开式的通项为414(2)r r r r T C x -+=-令2r =，222234(2)=24T C x x =-.令3r =，3344(2)=32T C x x =--.所以24()(2)x x x +-的展开式中，含3x 的项为22324(32)8x x x x x +-=-g . 所以3x 的系数为8-.故答案为：8-【点睛】本题主要考查根据二项式定理求指定项系数，熟练掌握二项式展开式的通项为解题的关键，属于中档题.14．已知等比数列{}n a 中，有135a a +=，1534a a a =，数列{}n b 前n 项和为n S ，11b a =且4(1)n n S m b =+-则n b =_______．【答案】143n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】首先根据{}n a 是等比数列得到11a =，根据11b =代入n S 求出m 的值，再根据n S 求n b 即可.【详解】因为{}n a 是等比数列， 215334a a a a ==g ，所以34a =.又因为135a a +=，所以11a =.因为111b a ==，1114(1)S m b b =+-=，所以4m =.则43n n S b =-.当2n ≥时，1n n n b S S -=-，143(43)n n n b b b -=---， 即：134n n b b -=，{}n b 是以首项11b =，34q =的等比数列. 所以13()4n n b -=. 故答案为：13()4n -【点睛】 本题主要考查根据n S 求数列的通项公式，同时考查等比中项的性质，属于中档题.15．函数1,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个零点，则实数t 的取值范围是______． 【答案】{}1(,1)0eU【解析】首先将题意转化为函数()y f x =与y tx =恰有两个交点，当0t <和0t =时，利用函数的图象易得交点个数.当0t >，利用t 表示直线的斜率，结合图象即可求出t 的范围.【详解】由题知：函数()()g x f x tx =-恰有两个零点.等价于函数()y f x =与y tx =恰有两个交点.当0t <时，函数()y f x =与y tx =恰有一个交点，舍去. 当0t =时，函数()y f x =与y tx =恰有两个交点. 当0t >时，如图设()ln f x x =与y tx =的切点为00(l ,n )m m ，1x >，()ln f x x =，1()f x x'=，01k m =则切线方程为0001ln ()y m x m m -=-， 原点代入，解得00ln 1m m e =⇒=，1k e=. 因为函数()y f x =与y tx =恰有两个交点，由图知11t e<<. 综上所述：11t e <<或0t =. 故答案为：{}1(,1)0eU .【点睛】本题主要考查函数的零点问题，分类讨论和数形结合为解决本题的关键，属于中档题. 16．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点，点N 在棱11B C 上，若1//A N 平面1AD M ，则111B NB C =_____． 【答案】12【解析】首先证明当N 为11B C 的中点时，1//A N 平面1AD M ，再求111B NB C 即可. 【详解】当N 为11B C 的中点时，1//A N 平面1AD M ，证明如下：取1BB 的中点H ，连接1A H ，NH . 因为H ，N 分别为1BB ，11B C 的中点， 所以11//A H D M ，1//NH AD ，所以1//A H 平面1AD M ，//NH 平面1AD M ， 又因为1A H NH H =I ，所以平面1//A NH 平面1AD M .1A N ⊂平面1A HN ，所以1//A N 平面1AD M .所以11112B N BC =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查线面平行的证明，同时考查面面平行的性质，属于中档题.三、解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，且1238,5,2S S S 成等差数列，2log n n b a =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）()()122121nnn b n b b c +=--，求数列{}n c 的前n 和n T ．【答案】（1）2n b n =；（2）()1119341nn T +=--.【解析】（1）首先根据题意得到2131082S S S +=，化简得到4q =，求出4nn a =，再代入2log n n b a =即可.（2）首先化简n c 得到1111()34141n n n c +=---，再利用裂项求和计算n T 即可. 【详解】（1）由题知：2131082S S S +=，即12112310()82()a a a a a a ++++= 化简得：234a a =，324a q a ==，所以4n n a =. 22log log 42n n n b a n ===.（2）122221224(21)(21)(21)(21)(41)(41)n nn n n n b n nn b b n c +++===------ 1111()34141n n +=---. 22311111111[()()()]3414141414141n n n T +=-+-++-------……1111111()3414193(41)n n ++=-=----. 【点睛】本题第一问考查等差、等比数列的综合，第二问考查裂项求和，属于中档题. 18．已知向量3sin ,cos cos4m x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭v，3cos ,cos sin 4n x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭v ，函数()f x m n =⋅u r r ，在ABC V 中1()2f B =，4AB =，AC =D 在BC 边上，且1cos 3ADC ∠=． （1）求AD 的长； （2）求ACD V 的面积S ．【答案】（1）3；（2）【解析】（1）首先化简()f x 得到())4f x x π=+，根据1()2f B =得到4B π=，再利用正弦定理即可求出AD 的长度.（2）首先在ADC V 中利用余弦定理求得4CD =，再利用面积公式即可求出ADC S △. 【详解】（1）33()sin cos (cos cos )(cos sin )44f x m n xx x x ππ==+++u r r g11cos 212sin 2sin(2)22224x x x π+=+-=+. 因为21()sin(2)242f B B π=+=，0B π<<，9444B πππ<2+<， 所以344B ππ2+=，4B π=.又因为1cos 3ADC ∠=，所以1cos 3ADB ∠=-，2sin 3ADB ∠=在ABD △中，由正弦定理得：sin sin4ADABADB π=∠，解得：242223AD ⨯=.（2）因为1cos 3ADC ∠=，所以22sin ADC ∠=在ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠g g . 整理得：2280CD CD --=，解得4CD =或2CD =-（舍去）. 所以1122sin 3442223ADC S AD CD ADC =∠=⨯⨯⨯=V g g . 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.19．某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：（1）记甲的日工资额为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为151.5元；（2）推荐该公司选择乙的方案，理由详见解析.【解析】（1）首先根据茎叶图得到X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160，并计算其概率，再列出分布列求数学期望即可.（2）根据题意求出乙的日均工资额，再比较甲乙的日工资额即可. 【详解】（1）设甲日送件量为a ，则当48a =时，483144X =⨯=，当49a =时，493147X =⨯=， 当50a =时，503150X =⨯=，当51a =时，5035155X =⨯+=， 当52a =时，50352160X =⨯+⨯=，所以X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160．1(144)10P X ==，3(147)10P X ==，1(150)5P X ==， 1(155)5P X ==，1(160)5P X ==.X 的分布列为 X144147150 155 160P11031015151513111()144147150155160151.51010555E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.（2）乙的日均送件量为：480.2490.1500.2510.3520.250.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 乙的日均工资额为：5050.221504+⨯=⋅（元）， 而甲的日均工资额为：151.5元， 150.4元151.5<元， 因此，推荐该公司选择乙的方案． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了茎叶图和数学期望在决策中的作用，属于中档题.20．在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，且BC AB BD ==，MCB MCD ∠=∠．（1）求异面直线BD 与MC 所成角的余弦值；（2）若2CM =，2CD =，二面角B CM D --的平面角的余弦值为725，求DCM ∠的正弦值．【答案】（1）0；（2）56. 【解析】（1）首先设AC 与BD 的交点为O ，连接MO .根据已知及三角形全等的性质可证明BD ⊥面MAC ，即可得到异面直线BD 与MC 所成角的余弦值.（2）首先作DF CM ⊥于点F ，连接BF ，易证CDF CBF V V ≌，得到BF CM ⊥，即BFD ∠为二面角B CM D --的一个平面角，再利用余弦定理即可得到DCM ∠的正弦值. 【详解】（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO .因为四边形ABCD 是平行四边形，且BC AB CD ==， 所以四边形ABCD 是菱形.因为MCB MCD ∠=∠，BC CD =，MC MC =， 所以MCB MCD V V ≌，MB MD =.又因为BO DO =，MO MO =，及MB MD =， 所以MOB MOD V V ≌，2BOM DOM π∠=∠=，即MO BD ⊥，MO BD AC BD BD AC MO O ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面MAC BD MC ⇒⊥. 故异面直线BD 与MC 夹角的余弦值为0. （2）作DF CM ⊥于点F ，连接BF ，因为MCB MCD ∠=∠，CB CD =，CF CF =，所以CDF CBF V V ≌，所以DFC BFC ∠=∠，BF DF =，BF CM ⊥， 即BFD ∠为二面角B CM D --的一个平面角， 设DCM θ∠=，则2sin BF DF θ==，222222(2sin )(2sin )47cos 22(2sin )25BF DF BD BFD BF DF θθθ+-+-∠===⋅， 解得，5sin 6θ=. 所以DCM ∠的正弦值为56． 【点睛】本题第一问考查异面直线成角问题，第二问考查二面角的计算，属于中档题.21．已知点O 为坐标原点椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，点,P Q 分别是椭圆C 的左顶点、上顶点，POQ △的边PQ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆于A B 、两点直线PA PB 、分别交直线2x a =于M N 、两点，求FM FN ⋅u u u u r u u u r．【答案】（1）22143x y +=；（2）0. 【解析】（1）首先根据题意列出方程组22212c a a b c ⎧=⎪=+=⎪⎪⎩.（2）首先设直线l 的方程为：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()34,M y ，()44,N y ，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用根系关系结合,,P A M 三点共线即可求出FM FN ⋅u u u u r u u u r . 【详解】 （1）如图所示由题意得POQ △为直角三角形，且PQ 上的中线长为72， 所以7PQ =．则22222127c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨+=⎪⎪⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆的标准方程为：22143x y +=.（2）由题意，如图设直线l 的方程为：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()34,M y ，()44,N y ，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得22(34)690m y my ++-=.则122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩.由,,P A M 三点共线易得()31100422y y x --=--+，化简得13163y y my =+，同理可得24263y y my =+. 1234341266(3,)(3,)9933y y FM FN y y y y my my ⋅==+=+⋅++u u u u r u u u rg ()122121236939y y m y y m y y =++++ 2222222936()36934990969189(34)()3()93434m mm m m m m m m --⨯+=+=+=--++-+-+++． 【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.22．已知函数2()1f x x nx x mx =+-，2()t x x x m =--． （1）当22m e =+时，求()f x 的极值；（2）若m N ∈且对任意的2x >，()()f x t x >恒成立，求m 的最大值． 【答案】（1）极小值为2e e --，无极大值；（2）3.【解析】（1）将22m e =+代入()f x ，求其单调区间，根据单调区间即可得到函数()f x 的极值.（2）首先将问题转化为2x >，ln 1x x x m x +<-恒成立，设ln ()1x x xg x x +=-，求出其单调区间和最值即可得到m 的最大值. 【详解】（1）当22m e =+时，()ln 12ln 221f x x x m x x e =++-=+--'， 易知函数()y f x '=在(0,)+∞上为单调增函数， 及()ln 2210f e e e e =+--='所以当(0,)x e ∈，()0f x '<，()f x 为减函数. 当(,)x e ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()y f x =在x e =时取最小值，即()22()()2f x f e e e e e e e e ==+-+=--极小值，无极大值.第 21 页 共 21 页 （2）当2x >时，由22ln x x x mx x x m +->--，即ln (1)0x x m x m +-+>，得ln 1x x x m x +<-. 令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln ()(1)x x g x x ---'=. 设()2ln h x x x =--，则11()10x h x x x'-=-=>， ()h x 在(2,)+∞上为增函数，因为(3)1ln30h =-<，(4)2ln40h =->，所以0(3,4)x ∃∈，且0()0h x =，当0(2,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 在0(2,)x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 在0(,)x +∞上单调递增． 所以000min 00ln ()()1x x x g x g x x +==-， 因为000()2ln 0h x x x =--=，所以0011ln x x -=+，00()g x x =，所以0(3,4)m x <∈，即m 的最大值为3．【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的极值，第二问考查利用导数解决恒成立问题，属于中档题.。
2018-2019学年第二学期期末考试卷高二理科数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在答题卡条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区城书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数112iz i -=+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. 135i + B. 135i -+ C. 135i -D.135i-- 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果 【详解】1i 13i 12i 5z ---==+，故z 的共轭复数13i5z -+=.故选B.【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知线性回归方程ˆˆ0.6ybx =+相应于点()3,6.5的残差为0.1-，则ˆb 的值为（ ） A. 1 B. 2C. 0.5-D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程估计y ，再根据残差定义列方程，解得结果【详解】因为相对于点()3,6.5的残差为0.1-，所以ˆ6.50.1y -=-，所以6.50.130.6b +=+$，解得2b=$，故选B【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（ ） A. 正方体的体积取得最大 B. 正方体的体积取得最小 C. 正方体的各棱长之和取得最大 D. 正方体的各棱长之和取得最小 【答案】A 【解析】 【分析】根据类比规律进行判定选择【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A.【点睛】本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题. 4.在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）A. 两个分类变量关系较强B. 两个分类变量关系较弱C. 两个分类变量无关系 ^D. 两个分类变量关系难以判断 【答案】A 【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解：从等高条形图中可以看出2，在1x 中1y 的比重明显大于2x 中1y 的比重，所以两个分类变量的关系较强.故选A点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.5.独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0. 1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（ ）A. 在100个男性中约有90人喜爱喝酒B. 若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%C. 认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10% D. 认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90% 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率【详解】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A ，B 错误.由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%，故C 错误，D 正确.选D. 【点睛】本题考查独立性检验的含义，考查基本分析判断能力，属基础题.6.将6位女生和2位男生平分为两组，参加不同的两个兴趣小组，则2位男生在同一组的不同的选法数为（ ） A. 70 B. 40C. 30D. 20【答案】C 【解析】 【分析】先确定与2位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果【详解】2位男生在同一组的不同的选法数为222262C C A 30=，选C.【点睛】本题考查分组排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 7.函数()y f x =的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A. ()()()()1221f f f f ''<<-B. ()()()()1212f f f f ''<-<C. ()()()()2211f f f f ''<-<D. ()()()()2121f f f f ''<<- 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可以把()()21f f -转化为()()2121f f -- 即为函数()y f x =在x 为1和2对应两点连线的斜率，且()1f '，()2f '是x 分别为1,2时对应图像上点的切线斜率，再结合图像即可得到答案. 【详解】()1f '，()2f '是x 分别为1,2时对应图像上点的切线斜率，()()()()212121f f f f --=-Q ，()()21f f ∴-为图像上x 为1和2对应两点连线的斜率，（如图）由图可知，()()()()1212f f f f ''<-< 故选：B【点睛】本题考查了导数的几何意义以及斜率公式，比较斜率大小，属于较易题. 8.已知1(5,)3X B :，则37()22P X ≤≤=（ ） A.80243B.40243C.4081D.8081【答案】C【解析】 【分析】根据二项分布求对应概率【详解】()()372322P X P X P X ⎛⎫≤≤==+= ⎪⎝⎭23322355121240C C 333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选C.【点睛】本题考查二项分布，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则CC mn mk n k n k --==∑（ ）A. 2m n +B. C 2n mmC. 2C n mnD. 2C m mn【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n k n m kn mn k n n C C n m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()0102mmn m k m k m mm m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑L故选：D【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题. 10.某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ） A. 3761()2C B. 2741()2AC. 2741()2CD. 1741()2C【答案】B 【解析】 【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况， 所以所求概率7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B. 【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.11.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6 人，则以下判断正确的为（ ）A. 4号学生一定进入30秒跳绳决赛B. 5号学生一定进入30秒跳绳决赛C. 9号学生一定进入30秒跳绳决赛D. 10号学生一定进入30秒眺绳决赛 【答案】D 【解析】 【分析】先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果【详解】进入立定跳远决赛的学生是1，3，4，6，7，8，9，10号的8个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3，6，7号学生的成绩依次排名为1，2，3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.12.已知随机变量()2,1X N :，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξμσ:，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A. 0.1359B. 0.7282C. 0.6587D. 0.8641【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==， 故选：D【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.由曲线cos y x =，,x y 坐标轴及直线2x π=围成的图形的面积等于______．【答案】1 【解析】 【分析】 根据定积分求面积【详解】2cos sin 10120S xdx x ππ===-=⎰.【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.14.621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2rrr r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.15.在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______．【答案】262n n -+【解析】 【分析】根据题意先确定每行最后一个数，再求结果【详解】依排列规律得，数表中第1n -行最后一个数为(1)123(1)2n n n -++++-=L 第()3n n ≥行左起第3个数为2(1)6322n n n n --++=. 【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题.16.若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点，设函数()(1)x g x e e x a =+-（,a R e ∈为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <，若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 一个不动点，则实数a 的最小值为________．【答案】2【解析】 【分析】先构造函数()()2112f x f x x =-，研究其单调性与奇偶性，再化简不等式1()(1)2f x f x x +≥-+，解得0x 取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出a 的范围，即得最小值. 【详解】由()()2f x f x x -+=，令()()2112f x f x x =-， 则()1f x 为奇函数，当0x ≤时，()()10f x f x x ''=-<， 所以()1f x 在(],0-∞上单调递减， 所以()1f x 在R 上单调递减， 因存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()10101f x f x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤. 因为0x 为函数()g x 一个不动点， 所以()g x x =在12x ≤时有解，令()()1e ,2xh x g x x a x =-=-≤， 因为当12x ≤时，()12e e 0x h x '=≤=，所以函数()h x 在1,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时单调递减，且x →-∞时，()h x →+∞，所以只需102h a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，得a ≥. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属难题.三、解答题（本题共6题，满分70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）17.在复平面内，复数222(34)z a a a a i =--+-- （其中a R ∈）. （1）若复数z 为实数，求a 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求a 的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a =-或4；（2）2a =；（3）()2,4 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果【详解】（1）因为复数z 为实数，所以2340a a --=， 所以1a =-或4；（2）因为复数z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，所以2a =（3）因为z 对应的点在第四象限，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩解不等式组得，24a <<， 即a 的取值范围是()2,4.【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.18.为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+=+.参考数据：【答案】（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 【解析】 【分析】（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断 【详解】（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=小时，由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时， 因为1.15小时76<小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”； （2）由联立表可得，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()210040203010 4.762 3.84070305050⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【点睛】本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.19.现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进人高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试数学成绩预计同时有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x ，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为10x +（若10x +>100.则取10x +为100）.若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别都是由低到高进步的，定义X 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.（I ）试预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？（计算结果四舍五入，取整数值）（Ⅱ）求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（I ）先依题意预测出高三的6次考试成绩，由平均数的公式，分别计算即可; （Ⅱ）由题意先写出随机变量X 的取值，以及对应的概率，即可求出分布列和期望. 【详解】（I ）由已知，预测高三的6次考试成绩如下： 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 78 86 89 96 98 100 乙 8185929496100甲高三的6次考试平均成绩为788689969810019166+++++=，乙高三的6次考试平均成绩为818592949610019163+++++=所以预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91，91. （Ⅱ）因为X 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值， 所以X =0，1，2，3 所以()106P X ==，()116P X ==，()21263P X ===，()21363P X ===. 所以X 的分布列为所以()111111012366336E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题型. 20.已知函数2()3ln f x ax x a x=---，其中a 为常数. （1）证明：函数()f x 的图象经过一个定点A ，并求图象在A 点处的切线方程； （2）若2'()13f =，求函数()f x 在[1,]e 上的值域.【答案】（1）证明见解析，()()11y a x a =--+；（2）[]3ln 2,2-- 【解析】 【分析】（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先解出1a =，再利用导数求函数值域. 【详解】（1）因为()()223ln 13ln f x ax x a a x x x x=---=---， 所以()12f =-，所以函数()f x 的图像经过一个定点()1,2A -， 因为()223f x a x x'=+-， 所以切线的斜率()11k f a '==-，.所以在A 点处的切线方程为()()()211y f a x --=--， 即()()11y a x a =--+；（2）因为23f a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，213f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以1a =， 故()23ln 1f x x x x =---， 则()()()212x x f x x --'=，由()0f x '=得1x =或2x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：从而在[]1,e 上()f x 有最小值，且最小值为()23ln 2f =-， 因为()12f =-，()2e e 4e f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 所以()()21e e 2e f f ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，因为2x x-在()0,∞+上单调减，e 2.72<， 所以22e 2 2.722e 2.72⎛⎫⎛⎫-+>-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭220.72 2.720.7202.72 2.72-⨯-=>，所以()()1f f e >，所以最大值为()12f =-， 所以函数()f x 在[]1,e 上的值域为[]3ln 2,2--.【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域，考查综合分析求解能力，属中档题. 21.（1）求方程12345x x x x +++=的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.【答案】（1）56；（2）840种，计算过程见解析 【解析】 【分析】（1）利用隔板法求结果；（2）将问题分4种情况分别得出其方案数，可求得结果，注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序. 【详解】（1）若定义()()12341234:,,,,,,f x x x x y y y y →，其中()11,2,3,4i i y x i =+=，则f 是从方程12345x x x x +++=的非负整数解集到方程12349y y y y +++=的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程12349y y y y +++=正整数解得个数是38C 56=从而方程12345x x x x +++=的非负整数解得个数也是56；（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。
)注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，班级写在姓名后面。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则N∪(∁UM)=( ) A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{3} D．{4}2．复数的虚部是（）A． 2i B． 2 C． i D．13．已知命题，则为( )A． B．C．D．4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A．0.16 B．0.24C．0.96 D．0.045.已知p：|x|<2；q：x2－x－2<0，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于( )A．－10 B．－3C．0 D．－27．设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( ) A．22 B．8C．7 D．238．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.45 B．0.75C．0.6 D．0.89．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )A．30B．20C．15 D．1010. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,5411．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－212. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.14.已知x，y的取值如下表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝1.46x＋，则实数的值为________．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)等于16.设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组研发新产品是否成功相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．18. (本小题满分12分)“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的众数和平均数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．附：K2＝，21.（本小题满分12分）已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在[－1,2]的最值．22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．奈曼旗实验中学2018--2019学年度（下）期末考试高二理科数学试卷出题人：秦绪钰(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。
2018-2019学年安徽省皖东县中联盟高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2|,{0,1,2}A x ax x B ===，若A B ⊆，则实数a 的值为（ ）A ．1或2B ．0或1C ．0或2D ．0或1或2【答案】D【解析】就0a =和0a ≠分类讨论即可. 【详解】因为当0a =时，{}2|0{0}A x x===，满足A B ⊆；当0a ≠时，{0,}A a =，若A B ⊆，所以1a =或2.综上，a 的值为0或1或2.故选D.【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论. 2．已知,a b 均为实数，若111a bi i+=-+（i 为虚数单位），则a b +=（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．-1【答案】C【解析】将已知等式整理为()()2a b a b i ++-=，根据复数相等可求得结果. 【详解】由题意得：()()112i a i b ++-=，即：()()2a b a b i ++-=则：2a b a b +=⎧⎨-=⎩ 2a b ∴+= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查复数相等的定义，涉及简单的复数运算，属于基础题.3．“3a =，b =”是“双曲线22222(0,0)x y a b a b -=->>”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【解析】当3,a b ==2，但是离心率为2时，我们只能得到a b =. 【详解】当3,a b ==22222x y a b -=-化为标准方程是2212418y x -=，其离心率是2e ==；但当双曲线22222(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2时，即22221(0,0)22y x a b b a -=>>的离心率为22=，得a b =所以不一定非要3,a b ==.故“3,a b ==是“双曲线22222x y a b -=-(0,0)a b >>的离心率为2”的充分不必要条件.故选D. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.4．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.48C ．0.4D ．0.32【答案】B【解析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率.设“第一次投进球”为事件A ，“第二次投进球”为事件B ，则得2分的概率为()()0.4p P AB P AB =+=⨯0.60.60.40.48+⨯=.故选B.【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A ．96,80B ．100,76C ．98,78D ．94,82【答案】C【解析】流程图的作用是求出112776x y +=的一个解，其中90,86x y ≥≤且x 为偶数，逐个计算可得输出值. 【详解】执行程序：90,86,27;92,84,27;94,82,27;96x y s x y s x y s x ==≠==≠==≠=，80,27;98y s x =≠=，78,27y s ==，故输出的,x y 分别为98,78.故选C.【点睛】本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题. 6．在26(1)(2)x x --的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）【答案】A【解析】求出6(2)x -展开式中3x 的系数减2倍2x 的系数加x 的系数即可. 【详解】含3x 的项的系数即求6(2)x -展开式中3x 的系数减2倍2x 的系数加x 的系数即含3x 的项的系数是5544336662222832C C C --⨯-=-．故选A. 【点睛】本题考查二项式定理，属于中档题。
皖西南名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学（理科）考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容（除选考外）．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2230A x x x =+-<，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}02x x << B ．{}01x x << C ．{}31x x -<<D ．{}12x x -<<2．若复数z 满足()1210z i i +=，则z =（ ） A ．42i - B ．42i + C ．42i --D ．42i -+3．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数是（ ）A ．40B ．-40C ．80D ．-804．已知向量(),1a m =，()2,3b =-．若()2a b b -⊥，则m =（ ） A ．194-B ．194C ．23-D ．235．某中学有高中生3600人，初中生2400人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从校学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数24，则n =（ ） A ．48 B ．72C ．60D ．1206．已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．225-B ．2325-C ．225D ．23257．已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A ．若m α⊥，n β⊥，//αβ．则//m n B ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ C ．若l αβ=，m βγ=，n γα=，//l γ，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若8cos 3ABC b A S =，则22cos sin 122sin cos B CA A A++-=-（ ） A ．-2B ．2C ．12-D ．129．已知函数()()2log ,142,1x a x f x a x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,4B ．[) 2,4C ．[) 3,4D ．(]1,310．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，若斜率为一的直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点到准线的距离为（ ） A ．658B ．654C ．12916D ．129811．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ） A ．41πB ．414π C ．25πD ．254π12．已知函数()sin f x x =的图象与直线()00kx y kx k --=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x ，则()12123tan x x x x x -++属于（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．函数()3tan 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的对称中心是_____________． 14．已知函数()f x 是偶函数．且当0x ≥时，()()23log 1f x x x =++，则()2f -=_____________． 15．黄金三角形有两种，一种是顶角为36︒的等腰三角形，另一种是顶角为108︒的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108︒的黄金三角形组成的，如图所示，在黄金三角形1A AB中，1A A AB =．根据这些信息，若在正五边形ABCDE 内任取一点，则该点取自正五边形11111A B C D E 内的概率是_____________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的腰上，则双曲线C 的离心率为_____________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()(21)n n S n a n *=+∈N ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）令()()1422n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg ，每件尺寸限制为40cm 60cm 100cm ⨯⨯，其中头等舱乘客免费行李额为40kg ，经济舱乘客免费行李额为20kg ．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：（1）请完成答题卡上的22⨯列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关；（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出10kg 的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为X 元，求X 的分布列与数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．其中n a b c d =+++．参考数据：19．（12分）图1是由平行四边形ABCD 和Rt ABE 组成的一个平面图形．其中60BAD ∠=︒，AB AE ⊥，22AD AE AB ===，将ABE 沿AB 折起到ABP 的位置，使得PC =2．（1）证明：PA BD ⊥；（2）求二面角A PD B --的余弦值．20．（12分）已知函数()32136f x x x mx =--++0x =处取得极值． （1）求m 的值；（2）若过()2,t 可作曲线()y f x =的三条切线，求t 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左、右焦点分别为1F ，2F ，且2F 到直线:1x yl a b+=的距离为7．（1）求椭圆C 标准的方程；（2）过1F 的直线m 交椭圆C 于P ，Q 两点，Q 为坐标原点，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形OPDQ ，是否存在直线m ，使得点D 在椭圆C 上？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点． （1）求a 的取值范围：（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：()121f x x a '⋅<-．2019~2020第二学期高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题1．B 由题意可得{}31A x x =-<<，{}02B x x =<<，则{}01A B x x =<<．2．A 因为()1210z i i +=，所以()()10121021242125i i i z i i i i -===-=++，则42z i =-．3．C 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()525155122rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．令253r -=，得4r =，则()44335280n T C x x =-=，故512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数是80．4．B 由题意可得()222,5a b m -=-．因为()2a b b -⊥，所以()222150m --=，解得194m =． 5．D 由题意可知该校高中生人数与初中生人数之比为3:2，则322412055n ⎛⎫=÷-=⎪⎝⎭． 6．D 因为223cos 212sin 3325ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223cos 2325πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则2223sin 2sin 2cos 2632325ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 7．D 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或α与β相交，故D 错误． 8．C 因为81cos sin 32bc A bc A =⨯，所以cos 2sin A A =，则3tan 4A =， 故()22cos sin 1cos sin 22sin cos 2sin cos B CA B C A A A A A ++-++=--sin cos tan 112sin cos 2tan 12A A A A A A --===---．9．C 由题意可得14042a a a a >⎧⎪->⎨⎪≥-+⎩，解得34a ≤<．10．A 由题意可得1,016F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,M x y ， 联立21122224x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，整理得()2212124x x y y -=-， 则()120111488AB k y y y ===+，解得01y =．因为点()00,M x y 在直线l 上，所以0011816y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则012916x =，则线段AB 的中点到准线的距离为0129165216168p x +=+=． 11．A 如图，设正方体的棱长为4，三视图对应的几何体为三棱锥A BCD -，其中A 为棱的中点．由正方体的性质可知DC ⊥平面ABC ，4DC BC ==，因为A为棱的中点，所以AB AC ==在ABC中，由余弦定理可得22243cos 5BAC +-∠==， 所以4sin 5BAC ∠=，所以ABC 的外接圆半径152sin 2BC r BAC =⨯=∠， 则三棱锥A BCD -的外接球半径2R ==， 故三棱锥A BCD -的外接球表面积为2441R ππ=．12．B 函数()sin f x x =的图象关于(),0π对称，直线0kx y k π--=过(),0π，作出函数()sin f x x =的图象与直线()00kx y k k π--=>恰有三个公共点的图象， 由图象可知，13222x x x π+==，且352,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由于()5cos ,2,2f x x x ππ⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭，所以333sin cos x x x π=-， 即33tan x x π=+，所以()3233123tan tan 11,3332x x x x x x x πππ--⎛⎫==∈ ⎪++⎝⎭．二、填空题 13．(),046k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z 令()232k x k ππ+=∈Z，解得()46k x k ππ=-∈Z ，则()f x 的图象的对称中心是(),046k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ． 14．5由题意可得()()()2322log 2125f f -==++=．15．72- 如图，过点B 作BH AC ⊥，垂足为H ．设2AB =，由题意可得11AA AB =，136A AB ∠=︒，则221411cos A AB +-∠==在Rt ABH 中，114AH cos A AB AB ∠==，则12AH =．因为11AA =，所以1132A H AH AA -=-=， 所以11123AB A H ==记正五边形ABCDE 与11111A B C D E 的面积分别为1S 和2S ， 因为正五边形ABCDE 与11111A B CD E 相似，所以2211123722S A B S AB ⎛--⎛⎫===⎪ ⎝⎭⎝⎭，故所求概率1272S P S -==．16．2如图，由题意可得2c =，则1224F F c ==．因为直线l 的斜率是3，则12sin 10PF F ∠=，12cos 10PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos 5PF F F PF F =∠=，21212sin 5PF F F PF F =∠=，则2125PF PF a -==，故双曲线C的离心率为2c a =． 三、解答题17．解：（1）当2n ≥时，112n n S na --=，所以()()1212n n n a n a na n -=+-≥， 整理得()1)12(n n n a na n --=≥，则()121n n a nn a n -=≥-， 故()32112123222121n n n a a a na a n n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=≥-， 当1n =时，12a =满足上式，故2n a n =； （2）由（1）可知()()()()122224424n n n n b a a n ++++=+=()()2112121n n n n =+=-+++， 则1231111111123344512n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112224nn n =-=++． 18．解：（1）补全22⨯列联表如下：因为()221005382374900 5.50 3.84190105545891K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以：在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关； （2）根据题意可得，托运行李超出免费行李额且不超过10kg 的旅客有7人，从中随机抽取4人，则其中女性旅客的人数可能为1，2，3．4，所以补助券总金额X 的所有取值可能为100元，200元，300元，400元，……()134347C C 4100C 35P X ===，()224347C C 18C 20350P X ===，()314347C C 12300C 35P X ===，()404447C C 1400C 35P X ===，则X 的分布列为故4181211600100200300400353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 19．解：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，60BAD ∠=︒，所以120ABC ∠=︒． 连接AC ，在ABC 中，根据余弦定理得2222?cos 7AC AB BC AB BC ABC =+⋅∠=-， 因为PC =222PC AC PA =+，所以PA AC ⊥， 因为PA AB ⊥，且ABAC A =，所以PA ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥；（2）因为2BC =，1CD =，60BCD ∠=︒，所以3BD =，所以BD CD ⊥．由（1）可知PA ⊥平面ABCD ，则以D 为原点，以DB ，DC 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，以过点D 作P A 的平行线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D，)1,0A-，)B，)1,2P -，故()3,1,0DA =-，()3,1,2DP =-，()3,0,0DB =．设平面P AD 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1111130320n DA x y n DP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，可得()1,3,0n =．设平面PBD 的一个法向量是()222,,m x y z =，则222230320m DB x m DP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令22y =，可得()0,2,1m =． 故23cos ,25n m n m n m ⋅===⨯ 设二面角A PD B --为θ，由图可知θ为锐角， 则15cos cos ,5n m θ==． 20．解：（1）因为()32136f x x x m =--++，所以()2122f x x x m '=--+， 因为()f x 在0x =处取得极值，所以()00fm '==． 经验证0m =符合题意； （2）设切点坐标为320001,36x x x ⎛⎫ ⎪⎝--⎭+，由()32136f x x x =--+，得()2000122f x x x '=--， 所以方程为()3220000011362y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将()2,t 代入切线方程，得3001433t x x =-+． 令()343g x x x =--+，则()24g x x '=-， 则()240g x x '=-=，解得2x =±． 当2x <-或2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(),2-∞-，()2,+∞上单调递增； 当22x -<<时，()0g x '<， 所以()g x 在()2,2-上单调递减． 所以()g x 的极大值为()2523g -=，()g x 的极小值为()327g =-． 因为有三条切线，所以方程()t g x =有三个不同的解，y t =与()y g x =的图象有三个不同的交点，所以72533t -<<． 21．解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =， 所以2a c =，b =， 所以直线l的方程为12x c =，20y +-=． 由题意可得()2,0F c7=，解得1c =．故椭圆C 的标准方程为22143x y +=； （2）①当直线PQ 的斜率存在时，设直线m 的方程为()1y k x =+，()11,P x y ，()22,Q x y ．联立()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22223484120k x k x k +++-=，则2122834k x x k-+=+，212241234k x x k -=+． 设()00,D x y ，由四边形OPDQ 为平行四边形， 得OD OP OQ =+，则201220122834634k x x x k k y y y k ⎧-=+=⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩，即22286,3434k k D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 若点D 落在椭圆C 上，则2200143x y +=， 即22222863434143k k k k ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得()42221612134k k k +=+，解得k ∈∅．②当直线PQ 的斜率不存在时，直线m 的方程为1x =-， 此时存在点()2,0D -在椭圆C 上．综上，存在直线:1m x =-，使得点()2,0D -在椭圆C 上．22．解：（1）由题意，可得1ln xa x+=， 转化为函数()1ln xg x x+=与直线y a =在()0,+∞上有两个不同的交点．()()2ln 0xg x x x -'=>， 故当()0,1x ∈时，()0g x >；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<． 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 11g x g ==．又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x <；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >． 可得()0,1a ∈； （2）证明：()1f x a x'=-， 由（1）知1x ，2x 是ln 10x ax -+=的两个根， 故12112212ln ln ln 10,ln 10x x x ax x ax a x x --+=-+=⇒=-．要证()121f x x a '⋅<-，只需证121x x ⋅>，即证12ln ln 0x x +>， 即证()()12110ax ax -+->， 即证122a x x >+，即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+．不妨设120x x <<，故()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++， 令()120,1x t x =∈，()()21ln 1t h t t t -=-+， ()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， 则()h t 在()0,1上单调递增，则()()10h t h <=，故121212ln ln 2x x x x x x ->-+式成立，即原不等式得证．。
