中考数学-二次函数的综合应用

二次函数的综合及其应用1． 有一块矩形地块ABCD ，AB ＝20米，BC ＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x 米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE 和CDHG 中种植乙种花卉；在矩形EFGH 中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y 元． (1)当x ＝5时，求种植总成本y ；(2)求种植总成本y 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．2． 某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x 的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋4（0<x≤20），－15x ＋12（20<x≤30），销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)3． 在平面直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋5 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y ＝ax 2＋bx(a≠0)过点A.(1)求线段AB 的长；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx 经过线段AB 上另一点C ，且BC ＝5，求这条抛物线表达式； (3)如果抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点D 在△AOB 内部，求a 的取值范围4． 如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过A(－2，0)，B ，C 三点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋83(a ＜0)与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E.(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)已知R 是抛物线上的点，使得△A DR 的面积是▱OABC 的面积的34，求点R 的坐标；(3)已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得∠PQE＝45°，求点P 的坐标．5． 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝2OB ，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线x ＝12，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE⊥OA 于点E ，与AC 交于点F ，设点D的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式；(2)当线段DF 的长度最大时，求D 点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：(1)当x ＝5时，EF ＝20－2x ＝10，EH ＝30－2x ＝20，y ＝2×12×(EH ＋AD)×x×20＋2×12×(GH ＋CD)×x×60＋EF·EH×40＝(20＋30)×5×20＋(10＋20)×5×60＋20×10×40＝22 000. (2)EF ＝20－2x ，EH ＝30－2x ，参考(1)，由题意，得y ＝(30＋30－2x)×x×20＋(20＋20－2x)×x×60＋(30－2x)(20－2x)×40＝－400x ＋24 000(0＜x ＜10)．(3)S 甲＝2×12(EH ＋AD)×x＝(30－2x ＋30)x ＝－2x 2＋60x ，同理S 乙＝－2x 2＋40x.∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2， ∴－2x 2＋60x －(－2x 2＋40x)≤120， 解得x≤6，故0＜x≤6，而y ＝－400x ＋24 000随x 的增大而减小，故当x ＝6时，y 的最小值为21 600， 故三种花卉的最低种植总成本为21 600元．2．解：(1)当0<x≤20时，设y 与x 的函数关系式为y ＝ax ＋b ，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝80.20a ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝80，即当0<x≤20时，y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋80；当20<x≤30时，设y 与x 的函数关系式为y ＝mx ＋n ，⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝40，30m ＋n ＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－40， 即当20<x≤30时，y 与x 的函数关系式为y ＝4x －40.由上可得，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋80（0<x≤20），4x －40（20<x≤30）. (2)设当月第x 天的销售额为w 元，当0<x≤20时， w ＝(25x ＋4)×(－2x ＋80)＝－45(x －15)2＋500，∴当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500；当20<x≤30时，w ＝(－15x ＋12)×(4x－40)＝－45(x －35)2＋500，∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w＝480，由上可得，当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500.答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元． 3．解：(1)直线y ＝－12x ＋5与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则A(10，0)，B(0，5)，∴AB＝102＋52＝5 5.(2)设点C 坐标为(t ，－12t ＋5)，则BC 2＝t 2＋(－12t)2＝5，解得t ＝2，∴C(2，4)．将A ，C 坐标代入y ＝ax 2＋bx 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝100a ＋10b ，4＝4a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝52，∴这条抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋52x.(3)∵抛物线y ＝ax 2＋bx 过点A ，∴100a＋10b ＝0，解得b ＝－10a ，∴抛物线顶点D 为(5，－25a)． 抛物线顶点D 在△AOB 内部，∴0＜－25a ＜52，解得－110＜a ＜0.4．解：(1)OA ＝2＝BC ，故函数的对称轴为x ＝1，则x ＝－b2a ＝1.①将点A 的坐标代入抛物线表达式得0＝4a －2b ＋83，②联立①②并解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝23，故抛物线的表达式为y ＝－13x 2＋23x ＋83.③(2)由抛物线的表达式，得点M(1，3)，点D(4，0)．∵△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，∴12AD·|y R |＝34OA·OB，即12×6×|y R |＝34×2×83， 解得y R ＝±43，④联立④③并解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1±13，y ＝－43或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1±5，y ＝43. 故点R 的坐标为(1＋13，－43)或(1－13，－43)或(1＋5，43)或(1－5，43)．(3)(Ⅰ)如图，作△PEQ 的外接圆R ，∵∠PQE＝45°，∴∠PRE＝90°， 则△PRE 为等腰直角三角形． 当直线MD 上存在唯一的点Q ， 则RQ⊥MD.点M ，D 的坐标分别为(1，3)，(4，0)，则ME ＝3，ED ＝4－1＝3， 则MD ＝32，过点R 作RH⊥ME 于点H ，设点P(1，2m)，则PH ＝HE ＝HR ＝m ， 则圆R 的半径为2m ，则点R(1＋m ，m)， S △MED ＝S △MRD ＋S △MRE ＋S △DRE ，∴12EM·ED＝12MD·RQ＋12ED·y R ＋12ME·RH， 即12×3×3＝12×32×2m ＋12×3m＋12×3m，解得m ＝34，故点P(1，32)．(Ⅱ)当点Q 与点D 重合时，由点M ，E ，D 的坐标知，ME ＝ED ，即∠MDE＝45°；①当点P 在x 轴上方时，当点P 与点M 重合时，此时∠PQE＝45°，此时点P(1，3)， ②当点P 在x 轴下方时，同理可得点P(1，－3)， 综上所述，点P 的坐标为(1，32)或(1，3)或(1，－3)．5．解：(1)设OB ＝t ，则OA ＝2t ，则点A ，B 的坐标分别为(2t ，0)，(－t ，0)，则x ＝12(2t －t)＝12，解得t ＝1，故点A ，B 的坐标分别为(2，0)，(－1，0)，则抛物线的表达式为y ＝a(x －2)(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋2， 解得a ＝－1，b ＝1，故抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2.(2)对于y ＝－x 2＋x ＋2，令x ＝0，则y ＝2，故点C(0，2)， 由点A ，C 的坐标，得直线AC 的表达式为y ＝－x ＋2， 设点D 的横坐标为m ，则点D(m ，－m 2＋m ＋2)， 则点F(m ，－m ＋2)，则DF ＝－m 2＋m ＋2－(－m ＋2)＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1. ∵－1＜0，∴DF 有最大值，此时m ＝1，点D(1，2)． (3)存在，理由：点D(m ，－m 2＋m ＋2)(m ＞0)，则OE ＝m ， DE ＝－m 2＋m ＋2，以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似， 则DE OE ＝OB OC 或DE OE ＝OC OB ，即DE OE ＝2或DE OE ＝12，即－m 2＋m ＋2m ＝2或－m 2＋m ＋2m ＝12，解得m ＝1或－2(舍去)或1＋334或1－334(舍去)，故m ＝1或1＋334.。

专题四　二次函数综合题题型1　二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1　抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2　面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3　特殊三角形问题探究类型1　等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一　几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二　代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2　直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3　等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4　三角形关系问题类型1　与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2　与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南　当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5　特殊四边形问题探究类型1　平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2　菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3　矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一　对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二　有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4　正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6　角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1　二次函数的实际应用类型1　抛物线运动轨迹问题例1　解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题例2　解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题例3　解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究例1　解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。

二次函数的综合应用二次函数的实际应用（1）增长率问题一月a增长率为x 二月a(1+x)增长率为x三月a(1+x)2（2）利润问题在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量（3）面积问题矩形面积=长×宽材料总长a 矩形长x矩形宽1(a-2x)2题型一二次函数的应用—销售问题例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-20x+800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y（元)与x(m2)的函1数关系图象如图所示，栽花所需费用y（元)与x(m2)的函数关系式为2xy=-0.01x2-20x+30000(0剟1000)．2（1）求 y （元 ) 与 x(m 2) 的函数关系式；1（2）设这块1000m 2 空地的绿化总费用为W （元 ) ，请利用W 与 x 的函数关系式，求绿化总 费用 W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式 （2）总费用为 W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解 【答案与解析】解：（1）依题意当 0≤x≤600 时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得 18000＝600k 1，解得 k 1＝30∴y 1＝30x当 600＜x≤1000 时，y 1＝k 2x+b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得，解得∴y 1＝20x+600综上，y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W＝整理得故绿化总费用 W 的最大值为 32500 元.变式训练 3.某公司生产的某种商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量 m （件 ) 与时间 t （天 ) 的关系如下表：时间 t （天 ) 1 3 5 10 36日销售量 m94 90 86 76 24（件 )未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y 1（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 1＝ t +25（1≤t ≤20 且 t 为整数），后20 天每天的价格 y 2（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为y 2＝﹣ t +40（21≤t ≤40 且 t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m （件 ) 与 t （天 ) 之间的表达式；（2）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案与解析】解：（1）经分析知：m 与 t 成一次函数关系．设 m ＝kt+b （k≠0），将 t ＝1，m ＝94，t ＝3，m ＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前 20 天日销售利润为 P 1 元，后 20 天日销售利润为 P 2 元，则 P 1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20）＝﹣ （t ﹣14）2+578，∴当 t ＝14 时，P 1 有最大值，为 578 元．P 2＝（﹣2t+96）•（ t+40﹣20）＝﹣t 2+8t+1920＝（t ﹣44）2﹣16，∵当 21≤t≤40 时，P 2 随 t 的增大而减小，∴t＝21 时，P 2 有最大值，为 513 元． ∵513＜578，∴第 14 天日销售利润最大，最大利润为 578 元．题型二 二次函数的应用—面积问题例 8.如图，用 30m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m ，设矩形的宽 AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（30﹣2x）m；（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∴当x＝7.5时，S有最大值，S＝112.5，最大此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．【答案与解析】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，∴BC×DF＝BC×FC，∴2FC＝DC，2BC+8FC＝120，∴FC＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．变式训练 2.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），答：BE的长为4米；故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，所以当x＝2时，y有最大值，∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．变式训练3.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．【答案与解析】解：（1）由题意可得，y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵24﹣3x≤10，3x＜24，解得，x≥∴且x＜8，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（（2）当y＝45时，45＝﹣3x2+24x，解得，x1＝3（舍去），x2＝5，答：AB的长应为5m．题型三二次函数的应用—抛物线问题）；例9.如图，已知排球场的长度O D为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【答案与解析】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，解得：a＝﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，故这次她可以拦网成功；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，，变式训练1.一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-x2+运行，然后准确落入篮筐内，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．1752已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．【答案与解析】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），∴球在空中运行的最大高度为m；（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，解得：x＝±1.5，∵x＞0，∴x＝1.5；当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，由1.5+2.5＝4（m），故他距离篮筐中心的水平距离是4米．变式训练2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=-124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为处时，乙扣球成功，求a的值．125m的Q【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【答案与解析】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣解得：h＝；×16+h＝1，②把x＝5代入y＝﹣∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，（2）把（0，1）、（7，，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：解得：，∴a＝﹣．变式训练3.小明跳起投篮，球出手时离地面20m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并9在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．【答案与解析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，解得a＝﹣，∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；≠3，＝∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移 7/9 个单位长度，故小明需向上多跳 m 再投篮（即球出手时距离地面 3 米）方可使球正中篮筐中心．（3）由（1）求得的函数解析式，当 y ＝3.19 时，3.19＝﹣19（x ﹣4）2+4解得：x 1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），x 2＝1.3∴球员乙距离甲球员距离小于 1.3 米时，即可盖帽成功．题型四 二次函数与图形面积的综合例 10.如图，抛物线 y = a(x + 1)2的顶点为 A ，与 y 轴的负半轴交于点 B ，且 OB = OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 C (-3,b ) 在该抛物线上，求 S∆ABC 的值．【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标，根据 OA ＝OB 确定出 B 坐标，将 B坐标代入解析式求出 a 的值，即可确定出解析式；（2）将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值，确定出 C 坐标，过 C 作 CD 垂直于 x 轴，三角形 ABC 面积＝梯形 OBCD 面积﹣三角形 ACD 面积﹣三角形 AOB 面积，求出即可．【答案与解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将 x ＝0，y ＝﹣1 代入抛物线解析式得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为 y ＝﹣（x+1）2＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（2）过 C 作 CD⊥x 轴，将 C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b ＝﹣4，即 C （﹣3，﹣4），则 △S ABC ＝S 梯形 OBCD △﹣S ACD △﹣S A OB ×3×（4+1）﹣ ×4×2﹣ ×1×1＝3．变式训练1.如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3)，并经过点C(2,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和∆AOB的面积；【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；【答案与解析】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得0＝a（2﹣1）2﹣3，解得：a＝3，∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；（2）由题意，得，解得：．∵交点不是原点，∴B（3，9）．如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得，△+S，△+S△+S解得：，∴y＝6x﹣9．当y＝0时，y＝1.5．∴E（1.5，0），∴OE＝1.5，△∴SAOB＝SA OE BOE＝+，＝9．答：B（3，9），△AOB的面积为9；变式训练2.如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM△＝SAOM OCM BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由y＝0，得x2+x﹣2＝0解得x＝﹣2x＝l，∴A（﹣2，0），B（l，0），由x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．△+S + ＝设直线 AC 为 y ＝kx+b ，则﹣2k+b ＝0，b ＝﹣2：得 k ＝﹣l ，y ＝﹣x ﹣2．对称轴为 x ＝﹣ ，当 x ＝﹣ 时，y ＝_（﹣ ）﹣2＝﹣ ，∴P（﹣ ，﹣ ）．（3）过点 M 作 MN⊥x 轴与点 N ，设点 M （x ，x 2+x ﹣2），则 AN ＝x+2，0N ＝﹣x ，0B ＝1，0C ＝2，MN ＝﹣（x 2+x ﹣2）＝﹣x 2﹣x+2，S四边形 ABCM△＝S AOM OCM △S BOC （x+2）（﹣x 2﹣x+2）+ （2﹣x 2﹣x+2）（﹣x ）+ ×1× 2＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．∵﹣1＜0，∴当 x ＝_l 时，S 四边形 ABCM 的最大值为 4．变式训练 3.如图，二次函数 y = ax 2 + b x 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) ．（1）求 a ， b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A ， B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 < x < 6) ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．△＝△＝△＝△+S△+S【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．【答案与解析】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，SOADOD•AD＝×2×4＝4；SACDAD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；SBCDBD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，则S＝SOAD ACD BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．。

2023年中考数学专项训练——二次函数与一次函数的综合运用一、综合题1．已知：二次函数y ＝ax 2+bx+12（a ＞0，b ＜0）的图象与x 轴只有一个公共点A ． （1）当a ＝12时，求点A 的坐标； （2）求A 点的坐标（只含b 的代数式来表示）；（3）过点A 的直线y ＝x+k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b≥﹣1时，求点B 的横坐标m 的取值范围．2．已知二次函数图象的顶点在原点 O ，对称轴为 y 轴.直线 1:l y kx b =+ 的图象与二次函数的图象交于点 (3,2)A - 和点 3(,)2B m （点 A 在点 B 的左侧）（1）求 m 的值及直线 1l 解析式；（2）若过点 (0,)P n 的直线 2l 平行于直线 1l 且直线 2l 与二次函数图象只有一个交点 Q ，求交点Q 的坐标.3．如图，已知抛物线 212y x bx =+ 与直线 2y x = 交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴和y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E ，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；（3）以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），求出m 、n 之间的关系式.4．已知，直线 23y x =-+ 与抛物线 2y ax = 相交于 A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (3,)m -（1）求 a ， m 的值；（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．5．已知抛物线的解析式为 ()2221.y x m x m m =--+-（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线 34y x m =-+ 的一个交点在y 轴上，求m 的值.6．如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D.（1）求点D 坐标及二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.7．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．抛物线y=﹣23 x 2+ 73x ﹣1与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y=t （t ＜ 2524）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ； （2）如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内（含边界）时，求t 的取值范围； （3）如图②，当t=0时，若Q 是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线与 x 轴交于 (1,0)A - 、 (3,0)B 两点，与 y 轴交于点 (0,3)C .（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C 、 B 不重合），过点 D 作 DF x ⊥ 轴于点F ，交直线 BC 于点 E ，连接 BD 、 CD .设点 D 的横坐标为 m ， BCD 的面积为 S .求 S关于 m 的函数解析式及自变量 m 的取值范围，并求出 S 的最大值； （3）已知 M 为抛物线对称轴上一动点，若MBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，请直接写出点M 的坐标.10．如图，直线 12y kx =+ 与 x 轴交于点 ( 0)A m ， （ 4m > ），与 y 轴交于点 B ，抛物线 224y ax ax c =-+ （ 0a < ）经过 A ， B 两点， P 为线段 AB 上一点，过点 P 作 //PQ y 轴交抛物线于点 Q .（1）当 5m = 时， ①求抛物线的关系式；②设点 P 的横坐标为 x ，用含 x 的代数式表示 PQ 的长，并求当 x 为何值时， 85PQ =？ （2）若 PQ 长的最大值为16，试讨论关于 x 的一元二次方程 24ax ax kx h --= 的解的个数与 h 的取值范围的关系.11．如图，抛物线y=ax 2+bx 经过点A(7，0)，B(-1，4)，经过点B 的直线与抛物线的另一个交点C 在第四象限．已知△ABC 的面积为14．（1）求抛物线的函数关系式； （2）求点C 的坐标#（3）设P 是线段BC 延长线上的点，作直线PD△x 轴，交抛物线于点D 、E(点D 在点E 的左侧)．若DE=PE ，求点P 的横坐标．12．如图，若b 是正数，直线l ：y=b 与y 轴交于点A ；直线a ：y=x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y=﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB=8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).（1）填空：正方形的面积为 ；当双曲线 ky x= (k≠0)与正方形ABCD 有四个交点时，k 的取值范围是 .（2）已知抛物线L ： 2()y a x m n =-+ (a>0)顶点P 在边BC 上，与边AB ，DC 分别相交于点E ，F ，过点B 的双曲线 ky x=(k≠0)与边DC 交于点N. ①点Q(m ，-m 2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L 的运动过程中，点Q 随m 运动，分别求运动过程中点Q 在最高位置和最低位置时的坐标.②当点F 在点N 下方，AE=NF ，点P 不与B ，C 两点重合时，求 BE CFBP CP- 的值. ③求证：抛物线L 与直线的交点M 始终位于轴下方.14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(10)A -，，点(30)B ，，与y 轴交于点C ，且过点(23)D -，.点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值.（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当ΔOBE 与ΔABC 相似时，求点Q 的坐标.15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x 2+4x+m(m 为常数)与y 轴的交点为A ，M(4，0)与N(0，-3) 分别是x 轴、y 轴上的点。

中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。

中考数学复习二次函数综合应用一、选择题1．(2012·济宁)一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A) A．5元B．10元C．0元D．3600元2．(2012·北海)为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是(B) A．600m2B．625m2C．650m2D．675m23．(2012·河北)竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是(C) A．第3秒B．第3.5秒C．第4.2秒D．第6.5秒4．如图18－1所示，抛物线y ＝12(x－2)2－8与x轴交于A、B两点，顶点为C，为使△ABC成为直角三角形，必须将抛物线向上平移几个单位(D)A．7B．6C．5D．4二、填空题5．已知抛物线y＝x2＋x＋b2经过点a，－14和(－a，y1)，则y1的值是__34__．6．飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(s)的函数关系式是s＝60t－1.5t2，飞机着陆后滑行的最长时间是__20__s.7．如图18－2所示，已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P图18－1图18－2从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E .若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y＝13时，x 的值等于__23或53__．8．甲乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s (m)与其距地面高度h (m)之间的关系式为h ＝－112s 2＋23s ＋32.如图18－3所示，已知球网AB 距原点5m ，乙(用线段CD 表示)扣球的最大高度为94m ，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__5＜m ＜4＋7__．三、解答题9．用长为12m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃如图18－4所示，围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C ＝∠D ＝∠E .设CD ＝DE ＝x m ，五边形ABCDE 的面积为S m 2.问当x 取什么值时，S 最大？并求出S 的最大值．解：连接EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F ，∵∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ，∠EAB ＝∠CBA ＝90°，∴∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ＝120°，∵DE ＝CD ∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴∠CEA ＝∠ECB ＝90°，∴四边形EABC 为矩形，∵DE ＝x m ，∴AE ＝6－x ，DF ＝12x ，EC ＝3x ，S ＝－334x 2＋63x (0<x <6)．当x ＝4m 时，S 最大＝123m 2.10．(2011·成都)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图18－5所示的长方形ABCD .已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值图18－3图18－4图18－5时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值．解：∵AB＝x，∴BC＝120－2x，∴S＝x(120－2x)＝－2x2＋120x；当x＝120 2×2＝30时，S有最大值为0－12024×（－2）＝1800.(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图18－5所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(1)中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．解：设圆的半径为r，路面宽为a，根据题意得4r＋2a＝60，2r＋2a＝30，解得r＝15，a＝0.∵路面宽至少要留够0.5米宽，∴这个设计不可行．B组能力提升11．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B) A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒12．(2013·兰州)如图18－6所示，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为(B) 13．(2011·泸州)如图18－7所示，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，图18－6图18－7它的下底AB 是圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是__10__．14．如图18－8所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，Q 为垂足．图18－8延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP ＝x (0≤x ≤1)，△BPQ 与△CPR 的面积之和为y ，把y 表示为x 的函数是__y ＝338x 2－32x ＋34__．15．(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)．解：已知抽屉底面宽为x cm ，则底面长为180÷2－x ＝(90－x )cm.由题意得y ＝x (90－x )×20＝－20(x 2－90x )＝－20(x －45)2＋40500当x ＝45时，y 有最大值，最大值为40500.答：当抽屉底面宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm 3.16．(2013·潍坊)为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图18－9所示的休闲文化广场．在Rt △ABC 内修建矩形水池DEFG ，使顶点D 、E 在斜边AB 上，F 、G 分别在直角边BC 、AC 上；又分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆，设计了两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB ＝243米，∠BAC ＝60°.设EF ＝x 米，DE ＝y 米．图18－9(1)求y 与x 之间的函数解析式；解：在Rt △ABC 中，由题意得AC ＝123米，BC ＝36米，∠ABC ＝30°，∴AD ＝DG tan60°＝x 3＝33x ，BE ＝EF tan30°＝3x ，又AD ＋DE ＋BE ＝AB ，∴y ＝243－33x －3x ＝243－433x (0＜x ＜8)．(2)当x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？解：矩形DEFG 的面积S ＝xy ＝243－433x ＝－433x 2＋243x ＝－433(x －9)2＋108 3.所以当x ＝9时，矩形DEFG 的面积最大，最大面积为1083平方米．(3)求两弯新月(阴影部分)的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13？解：记AC 为直径的半圆、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为S 1、S 2、S 3，两弯新月面积为S ，则S 1＝18πAC 2，S 2＝18πBC 2，S 3＝18πAB 2，由AC 2＋BC 2＝AB 2可知S 1＋S 2＝S 3，∴S 1＋S 2－S ＝S 3－S △ABC ，故S ＝S △ABC ，所以两弯新月的面积S ＝12×123×36＝2163(平方米)由－433(x －9)＋1083＝13×2163，即(x －9)2＝27，解得x ＝9±33，符合题意，所以当x ＝9±33米时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13.。