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3.3 一元二次不等式及其解法1．不等式x(2－x)>3的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|－3<x<1}C ．{x|x<－3或x>1}D ．∅2．不等式14x2＋2x ＋4≥0的解集为( )A ．{x|x<－4或x>4}B ．∅C ．{x|x≠－4}D ．R3．不等式ax2＋4x ＋a>1－2x2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．4．下面哪些不等式是关于x 的一元二次不等式？(1)x2>0；(2)－x －x2≤5；(3)ax2>2；(4)x3＋5x －6>0；(5)mx2－5x<0；(6)ax2＋bx ＋c>0.答案：1．D 原不等式可化为x2－2x ＋3<0.因为方程x2－2x ＋3＝0无实数解，函数y ＝x2－2x ＋3的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点，所以不等式的解集为∅.2．D 方程14x2＋2x ＋4＝0有两个相同实数解：x1＝x2＝－4.因为函数y ＝14x2＋2x ＋4的图象是开口向上的抛物线，与x 轴仅有一个公共点(－4,0)，所以不等式的解集为R.3．a>2 ax2＋4x ＋a>1－2x2对一切x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x2＋4x ＋a －1>0对一切x ∈R 恒成立．若a ＋2＝0，显然不成立．若a ＋2≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，Δ<0. ∴a>2.4．解：(1)是；(2)是；(3)不是，因a ＝0时，不符合定义；(4)不是，因为x 的最高次数为3次，不符合定义；(5)不是，因为当m ＝0时，它为一元一次不等式；(6)不是，因为a ＝0时，不符合一元二次不等式的定义．课堂巩固1．函数y ＝x2＋x －12的定义域是( )A ．{x|x<－4或x>3}B ．{x|－4<x<3}C ．{x|x≤－4或x≥3}D ．{x|－4≤x≤3}2．(山东高考，文5)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)3．不等式x(x －1)(1－2x)>0的解集是__________．4．已知三个不等式x2－4x ＋3<0①，x2－6x ＋8<0②，2x2－9x ＋m<0③，要使同时满足①和②的所有x 都满足③，则实数m 的取值范围是__________．5．m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程mx2－(1－m)x ＋m ＝0没有实数根？6．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝－3x2＋2x －1；(2)f(x)＝log2(x2－x ＋14)＋x2－1；(3)f(x)＝lg(x ＋4)2x2－x －1. 答案：1．C 要使函数有意义，只需x2＋x －12≥0.方程x2＋x －12＝0的解为x1＝－4，x2＝3.函数y ＝x2＋x －12的开口向上且与x 轴有两交点(－4,0)，(3,0)．∴原不等式的解集为{x|x ≤－4或x ≥3}．2.B x ⊙(x －2)＝x(x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x2＋x －2<0⇒－2<x<1.3．{x|x<0或12<x<1} 原不等式可化为x(x －1)(x －12)<0，其解集为{x|x<0或12<x<1}．4．m ≤9 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋3<0，x2－6x ＋8<0， 得2<x<3.③对于2<x<3恒成立，即m<－2x2＋9x 对x ∈(2,3)恒成立，∴m 只需满足小于函数－2x2＋9x 在区间(2,3)上的最小值，即当x ＝3时，最小值为9，但取不到最小值．∴m ≤9.方法二：⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x ＋3<0x2－6x ＋8<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<x<32<x<4⇒2<x<3. 设f(x)＝2x2－9x ＋m ，当x ∈(2,3)时，f(x)<0恒成立．由二次函数图象与性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ f(2)≤0，f(3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋m ≤0，18－27＋m ≤0，解得m ≤9. 5．解：由Δ＝(1－m)2－4m2<0，整理，得3m2＋2m －1>0.因为方程3m2＋2m －1＝0有两个实数根－1和13，所以m<－1或m>13.所以m 的取值范围是{m|m<－1或m>13}．6．解：(1)由函数的解析式有意义，得－3x2＋2x －1≥0.因为Δ＝22－4×(－3)×(－1)＝－8<0，所以不等式的解集为∅，即函数的定义域为∅.(2)由函数的解析式有意义，得⎩⎪⎨⎪⎧ x2－x ＋14>0，x2－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12，x ≤－1或x ≥1.因此x ≤－1或x ≥1.所以所求函数的定义域为{x|x ≤－1或x ≥1}．(3)由函数的解析式有意义，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4>0，2x2－x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x>－4，x<－12或x>1.因此－4<x<－12或x>1.故所求函数的定义域为{x|－4<x<－12或x>1}．1．不等式f(x)＝ax2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为()1．答案：C 由已知⎩⎨⎧－2＋1＝1a －2×1＝－c a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，y ＝f(－x)＝ax2＋x －c ，即y ＝－x2＋x ＋2，其图象为C. 2．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集为( ) A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3]2．答案：D x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5≥2(x －1)2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x2－5x －3≤0x ≠1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．3．不等式2x2＋mx ＋n>0的解集是x>3或x<－2，则二次函数y ＝2x2＋mx ＋n 的表达式是( )A ．y ＝2x2＋2x ＋12B ．y ＝2x2－2x ＋12C ．y ＝2x2＋2x －12D ．y ＝2x2－2x －123．答案：D 依题意知x ＝3或x ＝－2是方程2x2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以⎩⎨⎧ 3－2＝－m 2，3×(－2)＝n 2.解之，得m ＝－2，n ＝－12.故二次函数的表达式为y ＝2x2－2x －12.4．(天津高考，文8)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋6，x≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f(x)＞f(1)的解集是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)4．答案：A 由题意知f(1)＝3，则当x ≥0时，f(x)＞f(1)＝3，即x2－4x ＋6＞3，可解得x ＞3或0≤x ＜1；当x ＜0时，f(x)＞f(1)＝3，即x ＋6＞3，解得－3＜x ＜0.故原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A.5.不等式x2＋(a ＋b)x ＋ab<0(a<b)的解集是__________．5．答案：{x|－b<x<－a} －b ，－a 是方程x2＋(a ＋b)x ＋ab ＝0的解，又∵a<b ，∴－a>－b.从而不等式的解集为－b<x<－a.6．函数f(x)＝lg 1－x x －4的定义域为__________． 6．答案：1<x<4 要使函数有意义，只需1－x x －4>0， 即(1－x)(x －4)>0⇔(x －1)(x －4)<0⇔1<x<4.7．解下列不等式：(1)14－4x2≥x ；(2)(2x －1)2－(3x ＋2)2>11.7．答案：解：(1)原不等式化为4x2＋x －14≤0.因为Δ>0，方程4x2＋x －14＝0的根是x1＝－2，x2＝74，所以不等式的解集为{x|－2≤x ≤74}．(2)原不等式化为5x2＋16x ＋14<0.因为Δ<0，方程5x2＋16x ＋14＝0无实根，所以不等式的解集为∅.点评：解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)结合二次函数的图象得出不等式的解集．8．若关于x 的不等式4x ＋m x2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 8．答案：解法一：∵x2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴不等式4x ＋m x2－2x ＋3<2同解于4x ＋m<2x2－4x ＋6， 即2x2－8x ＋6－m>0.要使原不等式对任意实数x 恒成立，只要2x2－8x ＋6－m>0对任意实数x 恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m)<0.整理并解得m<－2.∴实数m 的取值范围是(－∞，－2)．解法二：承接解法一，要使4x ＋m x2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，只要2x2－8x ＋6－m>0恒成立即可．变形为m<2x2－8x ＋6.设h(x)＝2x2－8x ＋6，要使m<2x2－8x ＋6恒成立，只要m<h(x)min.而h(x)＝2x2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴h(x)min ＝－2.∴m<－2.∴实数m 的取值范围是m<－2.点评：本题是关于含参数不等式恒成立的题目，有两种解法．解法一是针对含参数的一元二次不等式的特殊解法．解法二是分离变量法，是通法，通过分离变量，反客为主，使不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．以后做题过程中常用到两个结论：m>f(x)恒成立⇔m>f(x)max ；m<f(x)恒成立⇔m<f(x)min.9．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满．然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，问桶的容积最大为多少？9．答案：解：设桶的容积为x 升，显然x>0，依题意，得(x －8)－4(x －8)x ≤28%·x.由于x>0，因而原不等式化简为9x2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.因此103≤x ≤403.所以桶的最大容积为403升．。
3.3一元二次不等式及其解法5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知2a+1＜0，关于x 的不等式x 2-4ax-5a 2＞0的解集是( ) A.{x|x ＞5a 或x ＜-a} B.{x|x ＜5a 或x ＞-a} C.{x|-a ＜x ＜5a} D.{x|5a ＜x ＜-a} 解析：x 2-4ax-5a 2＞0⇒（x-5a ）（x+a ）＞0.∵a＜21-，∴5a＜-a.∴x＞-a 或x ＜5a.故选B.答案：B2.不等式x 2-x-2＜0的解集是___________.解析：原不等式可以变化为(x+1)(x-2)＜0,可知方程x 2-x-2=0的解为-1和2,所以,解集为:{x|-1＜x ＜2}. 答案：{x|-1＜x ＜2}3.不等式423--x x≤1的解集是___________.解析：423--x x ≤1,即423--x x -1≤0,4237--x x≤0.因为两实数的积与商是同号的,所以上述不等式同解于如下的不等式组:⎩⎨⎧≤--≠-.0)2)(37(,042x x x即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≠.0)2)(37(,2x x x 所以,原不等式的解集为{x|x ＜2或x≥37}. 答案：{x|x ＜2或x≥37} 4.)1(-x x ＜0的解集为____________.解析：根据条件有⎩⎨⎧<->.01,0x x 即0＜x ＜1,解集为:{x|0＜x ＜1}.答案：{x|0＜x ＜1}10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}，则不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为( ) A.{x|-3＜x ＜21} B.{x|x ＜-3或x ＞21}C.{x|-2＜x ＜31}D.{x|x ＜-2或x ＞31}解法一：ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}⇔3x 2-5x-2＜0⇔-3x 2+5x+2＞0.设a=-3k ，b=5k ，c=2k （k ＞0），则cx 2+bx+a ＜0⇔2kx 2+5kx-3k ＜0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，故选A.解法二：由题意知a ＜0，且a b -=（31-）+2，a c =（31-）×2，即a b =35-，a c =32-，而cx 2+bx+a ＜0⇔a c x 2+a b x+1＞0⇔32-x 235-x+1＞0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，所以应该选A.答案：A2.下列不等式中,解集是R 的是( )A.x 2+2x+1＞0 B.2x ＞0C.(31)x +1＞0 D.xx 121<- 解析：因为x 2+2x+1=(x+1)2≥0,所以A 不正确,又2x =|x|≥0,所以B 也不正确,而(31)x＞0,所以(31)x+1＞1＞0(x∈R ). 答案：C3.不等式21-+x x ＞0的解集是______________. 解析：21-+x x ＞0⇔（x+1）（x-2）＞0⇔x ＜-1或x ＞2.答案：{x|x ＜-1或x ＞2} 4.解下列不等式(1)x 2-x-2＞0(2)-2x 2+x+3＞0解:(1)∵Δ＞0，对应方程x 2-x-2=0的根分别为-1，2.∴不等式x 2-x-2＞0的解集：{x|x ＜-1 或x ＞2};(2)原不等式可以变为2x 2-x-3＜0. ∴对应方程2x 2-x-3=0的根分别为-1，23. ∴原不等式的解集为{x|-1＜x ＜23}. 5.解关于x 的不等式(m+3)x 2+2mx+m-2＞0(m∈R ).解:(1)当m+3=0,即m=-3时,原不等式可化为-6x-3-2＞0,即x ＜65-; (2)当m+3＞0,即m ＞-3时,Δ=4m 2-4(m+3)(m-2)=4(6-m). 当Δ≥0,即-3＜m≤6时,原不等式的解为:x ＜36+---m m m 或x ＞36+-+-m mm ;当Δ＜0,即m ＞6时,原不等式的解集为R ; (3)当m+3＜0,即m ＜-3时,Δ=4(6-m)＞0所以,解为:36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm .综上所述,当m ＜-3时,不等式的解集为:{x|36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm };m=-3时,不等式的解集为{x|x ＜65-};当-3＜m≤6时,不等式的解集为{x|x ＜36+---m m m }或x ＞36+-+-m mm .6.已知a ＞1，P ：a （x-2）+1＞0，Q ：（x-1）2＞a （x-2）+1.试寻求使得P 、Q 都成立的x 的集合.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-0)2)((1202)2(121)2()1(01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1＜a ＜2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->,2,12a x x ax 或而a-（2-a 1）=a+a 1-2＞0，所以a ＞2-a 1.故x∈{x|x＞2或2-a1＜x ＜a}. 若a=2，则有x∈{x|x＞21且x≠2}. 若a ＞2，则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 故x∈{x|x＞a 或2-a1＜x ＜2}. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.函数f （x ）=⎩⎨⎧≤->,1,1,1,x x x 则不等式xf （x ）-x≤2的解集为( )A.［-2，2］B.［-2，-1］∪［1，2］C.［1，2］D.［-1，2］ 解法一：（排除法）∵x=0时，xf （x ）-x=0≤2成立，而B 、C 中均不含有0，故排除B 、C.只需验证x=-2即可，当x=-2时，xf （x ）-x=（-2）·（-1）+2=4＞2，∴排除A 而选D.解法二：（直接法）①当x ＞1时，xf （x ）-x≤2可化为x 2-x≤2，即x 2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.又x ＞1，∴1＜x≤2.②当x≤1时，xf （x ）-x≤2可化为-2x≤2，∴x≥-1.此时有-1≤x≤1，故适合原不等式的解集为①②两部分的并集，为［-1，2］. 答案：D2.不等式11-x ＞x+1的解集为( ) A.{x|x ＜-3} B.{x|x ＞1} C.{x|x ＜2-|∪{x|1＜x ＜2}D.{x|34＜x ＜2} 解析：原不等式可以化为11-x -(x+1)＞0,即122--x x ＞0,即(x+2)(x 2-)(x-1)＜0,由高次不等式的标根法可得C 正确.答案：C3.已知集合M={x|x 2-3x-28≤0},N={x|x 2-x-6＞0}，则M∩N 为( ) A.{x|-4≤x＜-2或3＜x≤7} B.{x|-4＜x≤-2或3≤x＜7} C.{x|x≤-2或x ＞3} D.{x|x ＜-2或x≥3}解析：M={x|-4≤x≤7},N={x|x＜-2或x ＞3},再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案. 答案：A4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为x=1，图象与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标x 1∈（2，3），则有( )A.a-b-c ＞0B.a+b+c ＜0C.a+c ＜bD.3b ＜2c解析：由题意知另一交点必在（-1，0）之间，且f （-1）＞0，即a-b+c ＞0（*）.又知ab2-=1，得a=2b -，代入（*）式得21-b-b+c ＞0，即3b ＜2c.故选D. 答案：D5.若x 1、x 2是方程x 2-2kx+1-k 2=0的两个实根，则x 12+x 22的最小值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-==+≥---=∆)3(1)2(2)1()1(4)2(2212122kx x kx x k k ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=4k 2-2（1-k 2）=6k 2-2.由①式得k 2≥21， ∴6k 2-2≥6×21-2=1.∴x 12+x 22的最小值为1. 答案：C2x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6-4-6-6-46则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是___________________.解析：根据所给数表中函数的单调性可以看出a ＞0,且方程ax 2+bx+c=0的两个解分别为-2和3.答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)7.某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层1人，而电梯只允许停1次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度的和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第_______________层. 解析：设电梯停在第x 层（2≤x≤20），则 S=［1+2+…+（x-3）+（x-2）］×1+［1+2+…+（19-x ）+（20-x ）］×2 =2)20(12)2(2)2(1x x x -+⨯++-+×（20-x ） =)2485421()685(2342128523222-+-=+-x x x .∵x 取正整数，∴取x=14即可. 答案：148.据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都受到影响（见右图）.从现在小时__________后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为__________.解析：设风暴中心坐标为（a ，b ），则a=3002，所以22)2300(b +＜450，即-150＜b ＜150.而20300),122(215201502300-=-=15.所以经过215（22-1）小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时. 答案：215(22-1) 15小时9.已知函数f(x)=bax x +2（a ，b 为常数）且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式： f(x)＜xkx k --+2)1(.解:（1）将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.8416,939ba ba解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以f(x)=x x -22(x≠2).（2）不等式即为x k x k x x --+<-2)1(22,可化为xk x k x -++-2)1(2＜0, 即(x-2)(x-1)(x-k)＞0.①当1＜k ＜2，解集为x∈(1,k)∪(2+∞).②当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)＞0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞). ③当k ＞2时，解集为x∈(1,2)∪(k,+∞). 10.若不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），求实数a 、b 的值. 解法一：（换元法）设u=x （u≥0），则原不等式可化为u ＞232+au ， 即au 2-u+23＜0. ∵原不等式的解集为（4，b ），∴方程au 2-u+23=0的两根分别为2、b . 由韦达定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.232,12a b ab解得⎪⎩⎪⎨⎧==.36,81b a解法二：（图象法）设y 1=x ，y 2=23+ax （x≥0），其图象如上图所示，不等式x ＞ax+23的解是当y 1=x 的图象在y 2=ax+23（x≥0）的图象上方时相应的x 的取值范围.由于不等式的解集为（4，b ），故方程x =ax+23有一个解x=4，将x=4代入得2344+=a ，∴a=81，再求方程x =2381+x 的另一个解得x=36，即b=36.。
《一元二次不等式的解法》教学设计一．教学内容分析：1．本节课内容在整个教材中的地位和作用．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化．许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法，因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用．2．教学目标定位．第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与分类讨论等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力．第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想．第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神．3．教学重点、难点确定．本节课是在复习了一元二次方程和二次函数之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法．只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可．因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．二．教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感．为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动．我设计了①回忆旧知，服务新知，②合作交流，探究新知，③数学运用，深化认知，④练习检测，反馈新知, ⑤谈谈收获，强化思想，⑥布置作业，实践新知，环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．三．教学过程分析：（一）联系旧知，构建新知设置一系列的问题唤起学生对旧知识的回忆．问题1：一元二次方程的解法有哪些呢？（意图：让学生回顾一元二次方程的解法，为解一元二次不等式做准备．）问题2：同学们还记得二次函数吗？二次函数的形式是怎样的？你记得二次函数的性质吗？（意图：引导学生从图象的角度出发，并启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，为突出重点做准备）（二）合作交流，探究新知1． 探究一元二次不等式260x x --<的解．容易知道：一元二次方程260x x --=的有两个实数根：1223x x =-=或． 二次函数26y x x =--与x 轴有两个交点：()()2,03,0-和．思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？思考2：观察图象，当x 为何值时，0y =；当x 为何值时，0y >；当x 为何值时，0y <．（设计意图 : ①体现学生的主体性；②有利于加强对图象的认识，从而加强数形结合的数学思想 ；③有利于加强学生理解一元二次不等式的解相关的三个因素；④为归纳解一元二次不等式做好准备．根据前面探讨的问题引导学生归纳一元二次不等式的解．）2． 探究一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或的解法． 组织讨论：从上面的例子出发，综合小组同学的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑：抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式ac b 42-=∆三种取值情况(0∆>，0∆=，0∆<）来确定．（设计意图：这里学生通过小组合作交流，在探究中建立知识间的联系并归纳出一元二次不等式解法的步骤，体会数形结合，强调突出本节的难点．）（三）数学运用，深化认知．例1．求不等式22320x x -->的解集．变式为：求不等式22320x x --<的解集．例2．解不等式0322>-+-x x ．（设计意图：先让学生来解答例题，若教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬．）（四）练习检测，巩固收获（1）求下列一元二次不等式的解集：2514.x x ->24 6.x x -+>（2）函数y =( ) A ．{}21.x x x ≤-≥或B ．{}21.x x -<<C ．{}21.x x -≤≤D ．.∅ （设计意图：为了巩固和加深一元二次不等式的解法，让学生学以致用，接下来及时组织学生进行课堂练习．然后就学生在解题中出现的问题共同纠正．）（五）归纳小结，强化思想设计意图：梳理本节课的知识点，总结一元二次不等式解法的步骤：“一化，二判，三求根，四画图，五写解集”的口诀来帮助学生记忆和归纳，让学生掌握严谨的做题方法，知晓本节课的重难点．（六）布置作业，拓展延伸必做题：课本第34页第一题.选做题：（1）若关于m 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.（2）已知不等式20x ax b --<的解集为}{23x x <<，求,a b 的 值.（设计意图：以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的反馈，选做题是对本节课知识的延伸，整体的设计意图是反馈教学，巩固提高．）。
3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。
一元二次不等式2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，x 叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集 .注：（1）定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0. （2）解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式. 知识点二、一元二次不等式的解法 1.画出函数y=x 2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x 轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) , 该坐标与方程 x 2-x-6=0的解有什么关系：交点的横坐标即为方程的根。
(2).当x 取 x= -2 或 3 时，y=0？ 当x 取 x<-2 或 x>3 时，y>0？ 当x 取 -2 < x <3 时，y<0? (3).由图象写出： 不等式x 2-x-6>0 的解集为﹛x|x<-2或x>3﹜。
不等式x 2-x-6<0 的解集为﹛x| -2 <x <3﹜。
思考：方程20ax bx c ++=、不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<与函数2y ax bx c =++的图象有什么关系？结论：方程的解即函数图象与x 轴交点的横坐标，不等式的解集即函数图象在x 轴上方或下方图象所对应x 的范围。
2.二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系观察图像，得出观察、思考完成(三) [例题讲解].例1. 解不等式2-->.2320x x一元二次不等式的标准形式：20ax bx c++>与20ax bx c++<（a>0）>）记忆口诀：a>0（Δ0大于0取两根之外，小于0取两根中间。
例2.解不等式2+>.x x414例3.解不等式2230-+->.x x(四) [方法总结].总结出：解一元二次不等式20ax bx c++>或20++<的步骤是：ax bx c(1)化成标准形式20++>(a>0)或ax bx c20++< (a>0)ax bx c(2)判定△的符号，(3) 求出方程20ax bx c++=的实根;（画出函数图像）(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.(五) [课堂小结].1、一元二次不等式的概念2、一元二次不等式的解题步骤(六) [课后作业].1.课本P习题1,3,5,6.202.练习册。
3.3一元二次不等式及其解法教学目标：掌握一元二次不等式的解法教学重点：掌握一元二次不等式的解法教学过程1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅3、例子例1、解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1例2、关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集． 解：由题设0<a 且25-=-a b ， 1=ac 从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-acx a b x 即：01252<+-x x ∴221<<x 例3、关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立， 求a 的取值范围．解：当a >0时不合 a =0也不合 ∴必有：⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<012300)1(4)1(022a a a a a a a 310)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a小结：一元二次不等式的解法课堂练习：第85页练习A 、B 课后作业：第86页4.5.6.7。
