专题01 经典母题30题-2018年高考数学理走出题海之黄金30题系列 含解析 精品

一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )． A ．¬p ：∃x0∈R ，sin x0≥1 B ．¬p ：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ．¬p ：∃x0∈R ，sin x0>1 D ．¬p ：∀x ∈R ，sin x>1 【答案】C【解析】命题p 是全称命题，全称命题的否定是特称命题． 【考点定位】全称命题与全称命题.2．已知集合A={y|y=lg(x-3)},B={a|a 2-a+3>0},则“x>4”是“A B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数21i z i=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4．已知3log 4.12a =，3log 2.72b =，3log 0.112c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b【答案】D【考点定位】指对数比较大小5．函数()323922y x x x x =---<<有( )A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值 【答案】C6．函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫=⎪+⎝⎭的图象大致是( )【答案】A【解析】因为()()sin()sin sin ln ln ln sin()sin sin x x x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫----+-⎛⎫⎛⎫-====⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,7．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】由题意，知函数()f x 的定义域为0+∞（，）．由函数零点的定义， ()f x 在0+∞（，）内的零点即是方程2ln 0x x --=的根．令12y x =-，2ln 0y x x =>（），在一个坐标系中画出两个函数的图象，如图所示．由图知两个函数图象有两个学科网交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点，故选C ． 【考点定位】1、函数的零点；2、函数的图象．zxxk 学 科 网8．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（ ）A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x yC)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y 【答案】B9．在ABC ∆中，3,1,cos cos c a a B b A ===，则AC CB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 【答案】A【考点定位】正余弦定理，向量的数量积运算．10．已知等差数列{a n }，且3（a 3+a 5）+2(a 7+a 10+a 13)=48,则数列{a n }的前13项之和为（ ） A.24 B.39 C.104 D.52 【答案】D【考点】等差数列的性质和前n 项和.11．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【考点定位】不等式的基本性质.12．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是 ( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C【考点定位】直线与平面的位置关系. zxxk 学 科 网13．一个正三棱柱的三视图如图所示，这个三棱柱的侧(左)视图的面积为36则这个三棱柱的体积为 ( )A．12 B．16 C．8 3 D．12 3 【答案】D【考点定位】1三视图；2柱体的体积。

2016年高考数学走出题海之黄金30题系列1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)【答案】选D2.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋ 5【答案】选C 【解析】由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2. 又PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，PA ＝2＋12＝3，从而有PA 2＋DA 2＝PD 2，∴PA ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 63．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】选D4.已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β 【答案】选D【解析】 对于A ，l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥m ，如图(1)，α，β不垂直； 对于B ，l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥n ，如图(2)，α，β不垂直；对于C ，m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥m ，直线l 没有确定，则α，β的关系也不能确定； 对于D ，l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β，则必有l ⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.5.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)【答案】选B6.已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12 C ．－13D.2327【答案】选D【解析】∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×(－13)＋429×223＝2327. 7.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【答案】选C【解析】甲的平均数是4＋5＋6＋7＋85＝6，中位数是6，极差是4，方差是－22＋－12＋02＋12＋225＝2；乙的平均数是5＋5＋5＋6＋95＝6，中位数是5，极差是4，方差是－12＋－12＋－12＋02＋325＝125，故选C. 8.某程序框图如图所示，若输出的S ＝120，则判断框内为( )A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7?【答案】选B9.对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为y ^＝0.8x －155，则实数m 的值为( )A.8 C ．8.4 D ．8.5【解析】选Ax ＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y ＝1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m5.样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫200，17＋m 5，将样本中心点⎝⎛⎭⎪⎫200，17＋m 5代入y ^＝0.8x －155，可得m ＝8.故A 正确． 10.已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4，0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f2≤12，f －2≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.14B.58C.12D.38【答案】选C11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】选C【解析】 当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C .12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.[]0，1【答案】选C【解析】 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 13.设{a n } 是首项为a 1 ，公差为－1 的等差数列，S n 为其前n 项和．若 S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12【答案】选D【解析】由S 1＝a 1， S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6成等比数列可得(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.14.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ＜π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z【答案】选B15.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 【答案】选D【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差并化简变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2，而y 1－y 2x 1－x 2＝0－－13－1＝12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以a 2＝2b 2，又因为a 2－b 2＝c 2＝9，于是a 2＝18，b 2＝9.故选D.16．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6【答案】选B17．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为________．【答案】12π【解析】作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π.18．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)【答案】选B【解析】由题图可知f (x )的对称轴x ＝b 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则1＜b ＜2，易知g (x )＝ln x ＋2x －b ，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－2ln 2＋12－b ＜0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2＋1－b ＜0，g (1)＝2－b ＞0，故g (x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.19．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3B.π3C.3π4D.5π6【答案】选A20．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.【答案】x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43【解析】由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sinπ3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 21．设A (1,0)，B (0,1)，直线l ：y ＝ax ，圆C ：(x －a )2＋y 2＝1.若圆C 既与线段AB 有公共点，又与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，1＋52 【解析】对于圆与直线l 有交点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即有a 21＋a2≤1，∴a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋52；由于圆C 与线段AB 相交，则a ≤2且|a －1|2≤1，因此⎩⎨⎧1－2≤a ≤ 2＋1，a ≤2，1－2≤a ≤2，因此可得实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，1＋52. 22．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为________．【答案】 5【解析】因为原点到准线距离为1，所以S △OAB ＝12×1×|AB |＝2，即|AB |＝4.由对称性知，点A (－1,2)，B (－1，－2)．因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以有2＝ba，即b ＝2a .又因为c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋4a 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5.23．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λ AB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．【答案】71224．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12n 2＋112n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝12a n －112a n －9，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k2 014对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；(3)设f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧a n n ＝2k －1，k ∈N *，3a n －13 n ＝2k ，k ∈N *，是否存在m ∈N *，使得f (m ＋15)＝5f (m )成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＋112n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12＋112n －1＝n ＋5. 而当n ＝1时，n ＋5＝6，∴a n ＝n ＋5(n ∈N *)． (2)c n ＝12a n －112a n －9＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1.∵T n ＋1－T n ＝n ＋12n ＋3－n 2n ＋1＝12n ＋32n ＋1＞0，∴T n 单调递增，故(T n )min ＝T 1＝13.令13＞k 2 014，得k ＜67113，所以k max ＝671.(3)f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋5 n ＝2k －1，k ∈N *，3n ＋2 n ＝2k ，k ∈N *，当m 为奇数时，m ＋15为偶数，由f (m ＋15)＝5f (m )得3m ＋47＝5m ＋25，解得m ＝11. 当m 为偶数时，m ＋15为奇数，由f (m ＋15)＝5f (m )，得m ＋20＝15m ＋10，解得m ＝57∉N *(舍去)．综上，存在唯一正整数m ＝11，使得f (m ＋15)＝5f (m )成立．25．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值．26．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 【解析】(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x ) ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α.又因为 sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45＝10＋32－4620. 27．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝1，M 是线段AD 的中点．(1)试在平面ABCD 内过M 点作出与平面A 1B 1CD 平行的直线l ，说明理由，并证明：l ⊥平面AA 1D 1D ； (2)若(1)中的直线l 交直线AC 于点N ，且二面角A ­A 1N ­M 的余弦值为155，求 AA 1的长．∴1A A ＝(0,0，h )，1A N ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，h ，1A M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，h ，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0. 设平面A 1AN 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1A A ＝0，n 1·1A N ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧hz 1＝0，32x 1＋12y 1＋hz 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－3，0)．28．据民生所望，相关部门对所属单位进行整治性核查，标准如下表：规定初查累计权重分数为18万元，9分的奖励8万元；初查累计权重分数为7分及其以下的停止运营并罚款1万元；初查累计权重分数为8分的要对不合格指标项进行复查，最终累计权重得分等于初查合格部分与复查部分得分的和，最终累计权重分数为10分方可继续运营，否则停止运营并罚款1万元．(1)求一家单位既没获奖励又没被罚款的概率；(2)求一家单位在这次整治性核查中所获金额X(万元)的分布列和数学期望(奖励为正数，罚款为负数)．【解析】记“初查阶段甲类的一个指标项合格”为事件A，“初查阶段乙类的一个指标项合格”为事件B，“复查阶段一个指标项合格”为事件C，侧P(A)＝23，P(B)＝P(C)＝12.(1)记“一家单位既没获奖励又没被罚款”为事件D，则P(D)＝[P(A)]4[P(B)]2[P(C)]2＋C34[P(A)]3[P(A)]·[P(B)]2[P(C)]＝581.29．已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1ex ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)假设存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min ＜[φ(x )]max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋1－t x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋1＋t x －t e x ＝－x －t x －1ex. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)＜φ(0)，即t ＞3－e2＞1.②当t ≤0时，φ′(x )＞0，φ(x )在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)＜φ(1)，即t ＜3－2e ＜0. ③当0＜t ＜1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )＜0，φ(x )在[0，t )上单调递减； 若x ∈(t,1]，φ′(x )＞0，φ(x )在(t,1]上单调递增， 所以2φ(t )＜max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1et＜max⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e ，(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et在[0,1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，所以不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞，使得命题成立． 30．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .(1)设直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； (2)求线段MN 长的最小值．(2)由题设可以得到直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)， 直线BP 的方程为y －(－1)＝k 2(x －0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3k 1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k 2x ，y ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1k 2，y ＝－2，∴直线AP 与直线l 的交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 1，－2，直线BP 与直线l 的交点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2，－2.又k 1k 2＝－14，∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k 1＋1k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k 1＋4k 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k 1＋|4k 1|≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k 1·|4k 1|＝43，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k 1＝|4k 1|，即k 1＝±32时等号成立，故线段MN 长的最小值是4 3.：。

2018年高考数学走出题海之黄金30题系列1．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π3【答案】B【解析】如图，取AC 中点F ，连接BF ，则在Rt BCF △中2BF CF ==，4BC =，在Rt BCS △中，4CS =，所以BS =112π3，故选A ． 2.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k =_________. 【答案】23.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】2cos 4AB AC AB AC AB BAC AC ABAB AC=∠===故选D4．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）A ．21 B ．22 C ．223 D ．29 【答案】C5．已知M 是ABC △内的一点，且23AB AC =30BAC ∠=，若MBC △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14x y+的最小值为（ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．9 【答案】B 【解析】11sin cos tan 22ABC S AB AC A AB AC A A =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠△11tan 122AB AC A =∠=⨯=，即11122x y x y ++=⇒+=，那么()141442252518y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⨯+=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥，故选B ． 6.已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将函数图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的解析式为．由为奇函数可得，故，又，所以的最小值为．选B ．7．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．64【答案】C8．若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ） A. 1 B. 12C. 1-D. 2 【答案】A【解析】曲线212y x e =的导数为：y ′=x e ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=s e． 曲线y=alnx 的导数为：y ′=a x ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=as．曲线212y x e =与曲线y=alnx 在它们的公共点P （s ，t ）处具有公共切线， 可得s a e s =，并且t=212s e，t=alns ， 即221{,ln ,.122s ae s s s e s alns e=∴=∴==可得a=2 1.s e e e==故选A ．9.已知双曲线C ： 22221x y a b -= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ，P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =， 120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 8B. 222【答案】B【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为b y x a =，设点Q 坐标为,(0)bm m m a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 则12,,,bm bm QF c m QF c m a a ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵120QF QF ⋅=，∴222222222,,0bm bm b m c m c m c m m c c a a a a ⎛⎫⎛⎫---⋅--=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴m a =．设()00,P x y ，由23QP PF =得，∴()00003,,bm x m y c x y a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，∴003344{ 3344c m c ax bm b y a ++====，∵点()00,P x y 在双曲线上，∴222233441c a b a b+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴226160c ac a +-=，∴26160e e +-=，解得2e =或8e =-，∴双曲线C 的离心率为2．选B ．10．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ）A ．1(,)9+∞ B ．1(,)5+∞C ．1(,)3+∞D ．(0,)+∞【答案】C11．已知直线l 是曲线x y e =与曲线22x y e =-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211xf x ex =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211xf x e x =--- D. ()()222ln212x f x e x =---【答案】B【解析】：设直线l 与曲线xy e =切点为(),m n ， xy e =的导数为'xy e =， 22xy e =-的导数为2'2x y e =，曲线xy e =在(),m n 的切线的方程为()m my e ex m -=-，即()1m y e x m =-+，曲线22x y e =-在点(),a b 处的切线方程为()()2222a a y e e x a --=-，即()222122a a y e x e a =+--，可得()()222{1122m am a e e e m e a =-+=--，则2ln2m a =+，即()222ln2120a e a +--=，即有()()222ln212x f x e x =+--，故选B ．12. 已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2213616x y -=C ．221416x y -=D ．2211636x y -=【答案】C【解析】如下图，由题意可得c =F ′，由|OA |＝|OF |＝|OF′|知，∠AFF ′＝∠FAO ，∠OF′A＝∠OAF′，所以∠AFF′+∠OF′A＝∠FAO+∠OAF′，由∠AFF′+∠OF′A+∠FAO+∠OAF′＝180°知，∠FAO+∠OAF′＝90°，即AF⊥AF′．在Rt△AFF′中，由勾股定理，得'8AF==，由双曲线的定义，得|AF′|－|AF|＝2a＝8－4＝4，从而a＝2，得a2＝4，于是b2＝c2－a2＝16，所以双曲线的方程为221416x y-=．故选C．13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的错误！未找到引用源。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一经典母题30题(第一期)1．设复数11z i=-，则z 的共轭复数是( )A ．11i +B ．1i +C ．11i-D ．1i -【答案】D【解析】由题可知，i i ii z +=-=-=11112，故z ＝1＋i 的共轭复数为z ＝1－i ；2．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为()A ．1【答案】B【解析】因为f (x 0)≥0，所以－x 02＋2x 0＋3≥0，解得：－1≤x 0≤3，所以使f (x 0)≥0成立的概率是B ．317个项中，整式的个数是()A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】B，(,016)k Z k ∈≤≤，要k ＝6，8，10，故有三项，选B .4．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若1AD BE ⋅=-，则λ的值为()(A B )2(C D )3【答案】C【解析】由题意可得：()()()1AD BE AB BD BC CE AB BC BC CA λ⎛⎫⋅=++=++ ⎪211AB BC BC AB CA BC CA λλ⋅++⋅+⋅=5.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.则a 的值为()(A B C D 【答案】D【解析】由题意可知：B b a B B A B A cos 2cos sin 2sin 2sin sin =⇒=⇒=，所以，由余弦定理可得：B ac c a b cos 2222-+=即，所以122=a ，所以6.(0ω>)的图象分别向左.重合，则ω的最小值为()A .1C .2D .4 【答案】Cω＞0)y ＝2ω＞0)的图象向右平移②，解①得=0ω不合题意，解②得：ω＝2k ，k ∈Z ，则ω的最小值为2，故选C7.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A ．1+=x y 的图像上B ．x y 2=的图像上C ．x y 2=的图像上D ．12-=x y 的图像上【答案】D【解析】由题可知，输入x ＝1，y ＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环，x ＝1＋1＝2，y ＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环， x ＝2＋1＝3，y ＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环， x ＝3＋1＝4，y ＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x ＝4＋1＝5＞4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)点(4，8)满足均在函数12-=x y 的图像上；8.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f '(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ''(x )是f '(x )的导数，若方程f ''(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一经典母题30题(第一期)1．设复数11z i=-，则z 的共轭复数是()A ．11i +B ．1i +C ．11i-D ．1i -【答案】D【解析】由题可知，i i ii z +=-=-=11112，故z ＝1＋i 的共轭复数为z ＝1－i ；2．若集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145，}{,,T =234，则)(T C S U 等于A ．}{,,,1456B ．}{4C ．}{,15D ．}{,,,,12345【答案】C【解析】{}6,5,1=T C U ，(){}{}{}5,16,5,15,4,1== T C S U ，故答案为C .3.命题0:0p x ∃>，，则p ⌝为 A ．0x ∀>，．0x ∀>，C ．0x ∀>，．0x ∃>，【答案】B【解析】根据特称命题的否定形式，可知应该为B .4．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD=，CA CE λ=，若1AD BE ⋅=-，则λ的值为() (A B )2(C D )3【答案】C【解析】由题意可得：()()()1AD BE AB BD BC CE AB BC BC CA λ⎛⎫⋅=++=++ ⎪211AB BC BC AB CA BC CA λλ⋅++⋅+⋅=5.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.则a 的值为()(A B C D 【答案】D【解析】由题意可知：B b a B B A B A cos 2cos sin 2sin 2sin sin =⇒=⇒=，所以，由余弦定理可得：B ac c a b cos 2222-+=即，所以122=a ，所以6. A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数C D【答案】B，周期为π的奇函数，故答案为B .7.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A ．1+=x y 的图像上B ．x y 2=的图像上C ．x y 2=的图像上D ．12-=x y 的图像上【答案】D【解析】由题可知，输入x ＝1，y ＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环，x ＝1＋1＝2，y ＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环， x ＝2＋1＝3，y ＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环， x ＝3＋1＝4，y ＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x ＝4＋1＝5＞4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)点(4，8)满足均在函数12-=x y 的图像上；8.已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是()A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C【解析】 当0x ≤时当0x >时方程[()]2f f x =的根的个数是59.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k ＝( )A【答案】C，)1,1(B ，)4,0(C ；经过BC 的中点时，直线将平面区域分成面积相等的两部分，则10.如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为( )(瓶壁厚度忽见解析不计)A ．π8+B ．π48+C ．π16+D ．π416+【答案】C【解析】根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积为24221116V p p =鬃+鬃=+，故选C .11.若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为c b a ,,，则三角形的面积为若四面体内切球半径为R ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则这个四面体的体积为()A B C D 【答案】C【解析】根据题意，三角形和内切圆为二维空间，三棱锥和内切球是三12.，则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为( )A 【答案】C，解得2=m ；则双曲线与抛物线x y 22=的交点为13．计算：4839(log 3log 3)(log 2log 2)++=.14.已知对任意*N ∈n ，都是直线x y =的方向向量，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，则=∞→n n S lim _____________．【答案】2都是直线x y =的方向向量，则，}{n a 是公比为15.ABCD 是矩形，4AB =，3AD =，沿AC 将ADC ∆折起到AD C '∆，使平面AD C '⊥平面ABC ∆，F 是AD '的中点，E 是AC 上的一点，给出下列结论：① 存在点E ，使得//EF 平面BCD ' ② 存在点E ，使得EF ⊥平面ABD ' ③ 存在点E ，使得D E '⊥平面ABC ④ 存在点E ，使得AC ⊥平面BD E '其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②③．【解析】①存在AC 中点E ，则EF ∥CD ′，利用线面平行的判定定理可得EF ∥平面BCD ′，正确； ②EF ⊥AC ，利用面面垂直的性质，可得EF ⊥平面ABD ′，正确； ③D ′E ⊥AC ，利用面面垂直的性质，可得D ′E ⊥平面ABC ，正确；④因为ABCD 是矩形，AB ＝4，AD ＝3，所以B ，D ′在AC 上的射影不是同一点，所以不存在点E ，使得AC ⊥平面BD ′E ，故不正确；故答案为：①②③．16.已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，满足线段2PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为．【解析】因为线段2PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段2PF 的中点M ，则1//PF OM ，2PF OM ⊥，21PF PF ⊥∴，设股定理，得2224)22(4c b a b =-+，解得17.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()12f x =()22223x ax a a -+--．若x R ∀∈，()()1f x f x -≤，则实数a 的取值范围为.【答案】6666≤≤-a 【解析】当x ≥0时，()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<->-=2222220,2,2,3a x x a x a a a x a x x f ，由()23a x x f -=，22a x >得()2a x f ->；当222a x a ≤<时()2a x f -=；由()x x f -=，20a x ≤≤得()2a x f -≥；所以当0≥x 时2min a f -=.因为函数是奇函数，所以当0<x 时，2max a f =.因为对于x R ∀∈，都有()()1f x f x -≤，所以()14222≤--a a ，所以6666≤≤-a .18.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000． ①若{,3,6}M =2，则U M ð表示的6位字符串为； ②若{1,3}A =，集合A B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是．【答案】100110；4【解析】由题意M ＝{2，3，6}表示的6位字符串为011001，故U M ð表示的6位字符串为100110；若A ＝{1，3}，集合A ∪B 表示的字符串为101001，则集合B 中必含有4，且至多含有1，3，故满足的集合B 有{4}，{1，4}，{3，4}，{1，3，4}19.已知函数x x x f 2sin 22sin )(-=． (1)求函数)(x f 的最小正周期； (2)求函数)(x f y =在【答案】(1)π(2)【解析】(1))2cos 1(2sin )(x x x f --=故函数f (x )的最小正周期为π；(2)又函数y ＝sintsint 时t sin 有最大值1，故y ＝f (x )20.某校书法兴趣组有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛(每人被选到的可能性相同)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M 发生的概率． 【答案】(1)见解析；(2)1.21.ABC ∆中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(1,2),(cos 2m n A ==且1=⋅n m . (1)求A 的大小；(2)求ABC ∆的面积并判断ABC ∆的形状.【答案】. 【解析】(1) 1=⋅n m ，∴cos2m n ⋅=(2)， )cos 1(2)(cos 22222A bc c b A bc c b a +-+=-+=，，3=∴bc ，∴△ABC 为等边三角形.22.某区体育局组织篮球技能大赛，每名选手都要进行运球、传球、投篮三项比赛，每名选手在各项比赛中获得合格与不合格的机会相等，且互不影响．现有F E D C B A ,,,,,六名选手参加比赛，体育局根据比赛成绩对前2名选手进行表彰奖励． (1)求A 至少获得一个合格的概率；(2)求A 与B 只有一个受到表彰奖励的概率．【答案】【解析】(1)记A 运球，传球，投篮合格分别记为123,,W W W ，不合格为则A 参赛的所有可能的结果为共8种，由上可知A 至少获得一个合格对应的可能结果为7种， 所以A 至少获得一个合格的概率为(2)所有受到表彰奖励可能的结果为{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D A E A F ，{,},{,},{,},{,}B C B D B E B F{,},{,},{,}C D C E C F ，{,},{,}D E D F ，{,}E F 共15个A 与B 只有一个受到表彰奖励的结果为{,},{,},{,},{,}AC AD AE AF ，{,},{,},{,},{,}B C B D B E B F 共8种则A 与B 只有一个受到表彰奖励的概率为23.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令()11n n b -=-14n n na a +，求数列{}nb 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =-；(2)22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数.【解析】(1)解：因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+， 41143424122S a a ⨯=+⨯=+， 由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-. (2)解：由题意可知，()1141n n n n n b a a --=-()()()1412121n n n n -=--+()11112121n n n -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭.当n 为偶数时，n T =1111335⎛⎫⎛⎫+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112321n n ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭112121n n ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭1121n =-+221nn =+. 当n 为奇数时，n T =1111335⎛⎫⎛⎫+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112321n n ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭112121n n ⎛⎫++ ⎪-+⎝⎭1121n =++2221n n +=+. 所以22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数.(或121(1)21n n n T n -++-=+)24.已知数列{}n a 满足：2,121==a a ，且1123(2,)n n n a a a n n *+-=+≥∈N ． (1)设1()n n n b a a n *+=+∈N ，求证{}n b 是等比数列； (2)(ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (ⅱ)求证：对于任意*∈N n 都有【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ【解析】(1)由已知得),2(),(311*-+∈≥+=+N n n a a a a n n n n ， 则n n b b 31=+，又31=b ，则{}n b 是以3为首项、3为公比的等比数列(ⅱ25.如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45A ∠=，90C ∠=，105ADC ∠=，AB BD =，现将四边形ABCD 沿BD折起，使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙)，设点E ，F 分别为棱AC ，AD 的中点．(1)证明DC ⊥平面ABC ；(2)求BF 与平面ABC 所成角的正弦值；(3)求二面角B EF A --的余弦值． 【答案】(1)见解析；【解析】(1)证明：在图甲中由AB BD =且45A ∠= 得45ADB ∠=，90ABC ∠=即AB BD ⊥ 在图乙中，因为平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC ＝BD所以AB ⊥底面BDC ，所以AB ⊥CD ． 又90DCB ∠=，得DC ⊥BC ，且AB BC B =所以DC ⊥平面ABC ．(2)由E 、F 分别为AC 、AD 的中点得EF //CD ，又由(1)知，DC ⊥平面ABC ， 所以EF ⊥平面ABC ，垂足为点E则FBE ∠是BF 与平面ABC 所成的角在图甲中，由105ADC ∠=， 得60BDC ∠=，30DBC ∠= 设CD a =即BF 与平面ABC 所成角的正弦值为 (3)由(2)知EF ⊥平面ABC ，又因为BE ⊂平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以FE ⊥BE ，FE ⊥AE ， 所以AEB ∠为二面角B EF A --的平面角 在AEB ∆中，即所求二面角B EF A --的余弦为26.如图所示，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，90BCD ∠=o ．(1)求证：CD ⊥平面ABC ；(2)求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值． 【答案】(1)略，【解析】(1)过B 做BH ⊥AC 于HQ 平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD I 平面ABC AC =∴BH ⊥平面ACD BH ∴⊥CD又CD Q ⊥BC BH BC B =I∴CD ⊥平面ABC(2)Q BH ⊥平面ACD 连结DH则BDH ∠为求直线BD 与平面ACD 所成角又Q BH AC ⊥∴直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值等于27.已知椭圆C ：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ， ①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，值最小时，求点T 的坐标．【答案】(2)①见解析；②()3,1-或()3,1--. 【解析】(1)解得26a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程是②解：由①可得，m＝±1最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．28.(0>>ba)的焦距为2，且椭圆C的短轴的一个端点与左、右焦点1F、2F构成等边三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设M为椭圆上C上任意一点，求21MFMF⋅的最大值与最小值；(3)试问在x轴上是否存在一点B，使得对于椭圆上任意一点P，P到B的距离与P到直线4=x的距离之比为定值．若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(2)最大值为3，最小值为2；(3)存在满足条件的点B，B的坐标为)0,1(. 【解析】(1)由已知，c＝1，a＝2c＝2，所以3222=-=cab，(2))0,1(1-F，)0,1(2F，设),(yxM，则),1(1yxMF---=，),1(2yxMF--=，12221-+=⋅yxMFMF(－2≤x≤2)，由402≤≤x，得21MFMF⋅的最大值为3，最小值为2(3)假设存在点B(m，0)，设P(x，y)，P到B的距离与P到直线x＝4的距离之比为定值λ，整理得22222)4(2-=+-+x m mx y x λ，x ∈[－2，2]都成立．则由F (0)＝0得06322=1-+λm ① 由F (2)＝0得044422=-+-λm m ② 由F (－2)＝0，得0364422=-++λm m ③m ＝1． 所以，存在满足条件的点B ，B 的坐标为(1，0)．29.已知0a >，函数2()ln f x ax x =-. (1)求()f x 的单调区间； (2)当18a =时，证明：方程2()()3f x f =在区间(2，+∞)上有唯一解； (3)若存在均属于区间[]3,1的,αβ且1βα-≥，使()f α＝()f β， 证明：ln 3ln 2ln 253a -≤≤． 【答案】(1)21b a =--；(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)函数()f x 的定义域(0,)+∞ ，2121()2ax f x ax x x-'=-=0a > 令()0f x '>得：x >()0f x '<得：0x <<∴函数()f x 的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞ (2)证明:当81=a 时，()x x x f ln 812-=，由(1)知()x f 的单调递减区间为()2,0，的单调增区间为()+∞,2令()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32f x f x g ，则()x g 在区间()+∞,2单调递增且()()03222<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=f f g ，()032ln 181242>+--=e e g ，所以方程2()()3f x f =在区间()+∞,2上有唯一解. (注：检验()g x 的函数值异号的点选取并不唯一) (3)证明：由()()f f αβ=及(1)的结论知αβ<<， 从而()f x 在[,]αβ上的最大值为()f α(或()f β)， 又由1βα-≥，α，[1,3]β∈，知123αβ≤≤≤≤．故(1)()(2)(3)()(2)f f f f f f αβ≥≥⎧⎨≥≥⎩，即4ln 29ln34ln 2a a a a ≥-⎧⎨-≥-⎩．从而ln 3ln 2ln 253a -≤≤．30.已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平 行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)试讨论函数()g x 的单调性； (3)证明：对任意n N *∈，都有 【答案】(1)21b a =--；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】(1)依题意得2()ln g x x ax bx =++，则由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= 所以21b a =--(2)解：由(1)因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞所以当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >， 即函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞单调递减； ，由'()0g x <得，由'()0g x < 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，综上得：当0a ≤时，函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 时，函数()g x 在(0,1)， 时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； 时，函数()g x 在，(1,)+∞上单调递增，在 (3)证法1：由(2)知当1a =时，函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，所以2ln 3(1)2x x x g +-≥=-，即2ln 32x x x ≥-+-(1)(2)x x =---，。

【关键字】高考高考数学走出题海之黄金30题系列专题二新题精选30题1．设，且，则等于A．2 B．C．D．10【答案】C【解析】试题分析：由复数相等的条件可得x=3,y=1;从而；故选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为A．1 : B．3 C．9 D．27【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知，当输入的x=3知，x>0成立故y=log33=1,所以输出的y=1;故选：A．3．“”是“”的Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由知成立，反之，由不能得到，还有可能a=3;由充要条件的概念可知“”是“”的充分而不必要条件.故选A.4．已知满足则的最大值为A．B．C．D．【答案】C5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题正确的是Ａ．若∥，∥，则∥Ｂ．若∥，，则∥Ｃ．若∥，，则Ｄ．若，，则【答案】C【解析】试题分析：对于A，直线a可能平行，也有可能在平面内的，所以A错误；对于B ，直线a 同样可能平行，也有可能在平面内的，所以B 错误；对于C ，由于两平行线中的一条笔直于一个平面，则另一条也笔直于这个平面，所以正确；对于D ，互相笔直的两个平面中的一个平面内的一直线，既有可能与另一平面平行，也有可能相交，还有可能线在面内的，所以D 错误； 故选：C ．6．在△中，内角，，的对边分别是，，，若， ，则角等于A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理可知：条件 等价于：，又， 由余弦定理有， 又因为， 所以A=30o, 故选A.7．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为 A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】试题分析：如图：由于曲线是以原点为圆心，1为半径的在X 轴上方的一个半圆； 不难求得过点的直线与半圆相切时的斜率为：；所以直线 的斜率的取值范围为. 故选D.8．函数的图象大致是 【答案】B 【解析】 试题分析：由21sin 12ππ<≤≤-<-x ，所以cos(sinx)>0,故排除A ，D ；且知余弦函数在[0，1]上是减函数，故排除C ； 从而选B.9．在等边ABC ∆中，6AB =,且D ,E 是边BC 的两个三等分点，则AE AD •等于A. 18B. 26C. 27D. 28 【答案】B 【解析】试题分析：如图CABED=26 故选B.10．已知1F 为双曲线22:11411x y C -=的左焦点，直线l 过原点且与双曲线C 相交于,P Q 两点．若011=•QF PF ，则△1PF Q 的周长等于A ．21110B ．21410C ．22D ．24 【答案】C11．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()f x f x -=,()()22f x f x +=-．若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+=，则曲线()y f x =在5x =处的切线方程为A ．30x y --=B ．70x y --=C ．30x y +-=D ．70x y +-= 【答案】D 【解析】试题分析：由()()f x f x -=,()()22f x f x +=-得 知函数()f x 是以4为周期的周期函数, 所以2)1()1()14()5(=-==+=f f f f又由()()22f x f x +=-知: 曲线()y f x =关于直线x=2对称， 所以1)1()5(-=-'-='f f ；从而曲线()y f x =在5x =处的切线方程为)5(2--=-x y 即70x y +-=； 故选D.12．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ）A ．i 54B ．54C ．i 4D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：()()()534534(34)43,3434345i ii z i z i i i ++-=+∴===--+，故虚部为54. 13．已知O 为坐标原点，点M 坐标为(－2，1)，在平面区域0+20x x y y ≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩上取一点N ，则使MN 取得最小值时，点N 的坐标是( )A .(0，0)B . (0，1)C . (0，2)D . (2，0) 【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组0+20x x y y ≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，得到ABO ∆及其内部，其中()()()2002000A B ，，，，，,点N 是区域内的动点，运动点N ,可得当N 坐标为()01，时，MN y ⊥轴，此时MN 取得最小值2,故选：B .14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为（ ）A .4B .4-C .6D .6-【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00301f m m =+=⇒=-，()()()3log 533log 5log 5314f f ∴-=-=--=-.15．正项等比数列{}n a 满足：3212a a a =+，若存在,m n a a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为( )A .2B .16C .83 D .32【答案】C 【解析】 试题分析：23211112,2a a a a q a q a =+∴=+，得2q =（负值舍去），又2116m n a a a ⋅=，所以112241111621626m n m n a q a q a m n --+-⋅=⇒==⇒+=，所以()9191919863n mm n m n m n m n +++⎛⎫+=++=≥= ⎪⎝⎭，当且仅当69m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即39,22m n ==时，取等号.16．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】试题分析：21(11)1s =+-=，不满足判断框中的条件，k =2；21(21)2s =+-=，不满足判断框中的条件，k =3；22(31)6s =+-=，不满足判断框中的条件，k =4；26(41)15s =+-=，不满足判断框中的条件，k =5；215(51)31s =+-=，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为k =5；故选C ．17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .643 B . 163 C . 803D .433【答案】C试题分析：由三视图知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体，故体积等于+⨯⨯+⨯=4424231V =+=⨯⨯⨯⨯332164442131803 考点：三视图、几何体体积18．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A . (1,2]B . [2 +∞)C . (1,3]D . [3，+∞)【答案】C 【解析】试题分析：设2 PF m =，则()12PF a m m c a =+≥-,，所以()22212|24|8|| 4a m a m a m PF ma PF +==++=，得2m a =，所以2c a a -≤，3e ≤ ，故选C .19．已知PC 为球O 的直径，,A B 是球面上两点，且6,4AB APC BPC π=∠=∠=,若球O 的表面积为64π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）A ．87B ．247C ．433D ．5212 【答案】A 【解析】试题分析：因为球O 的表面积为64π，所以球的半径为4，如图，由题意APC BPC ∆∆，均为等腰直角三角形，求出42PA AC PB BC ====∴90POA POB ∠=∠=︒，所以PC ⊥平面ABO ．又6AB ABO =∆， 为等腰三角形，则221643372S ABO =⨯-=，进而可得： 12374873P ABC C AOB P AOBV V V =+=⨯⨯=﹣﹣﹣故答案为：A .20．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A . ∞（-，0）B . 12（0，） C .（0，1） D .+∞（0，）【答案】B 【解析】试题分析：∵()(ln )f x x x ax =-，∴'()ln 12f x x ax =+-，112''()2axf x a xx-=-=，显然要使()f x 有两个极值点，'()f x 在(0,)+∞上不单调，∴0a >，∴'()f x 在1(0,)2a上单调递增，1(,)2a+∞上单调递减，∴'()f x 有极大值1'()2f a，又∵当0x →时，'()f x →-∞，当x →+∞时，'()f x →-∞，∴要使要使()f x 有两个极值点，只需1'()02f a >，即111ln 12ln 0222a a a a+-⋅=>，∴12a <，∴a 的取值范围是1(0,)2.21．sin15cos15-=A.22B. 12C. 22-D. 12-【答案】C 【解析】 试题分析：2112(sin15cos151-2sin15cos15=1-=,sin15cos150,sin15cos15222-=-<∴-=-）法2:2sin15cos15sin(4530)cos(4530)2-=---=-法3：2sin15cos152(sin15cos45cos15sin 45)2sin(1545)2-=-=-=-22．一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为 A. 38 B.382π- C.382π+ D. 12π- 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其表面积为22(343141)212138ππ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=，故选A. 23．已知1,2a b == ，且a b ⊥，则||a b +为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ） 2 （D ）22 【答案】B 【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，2222123a b a a b b +=+⋅+=+=，所以3a b +=，故选B.24．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ）（A ）12（B ）1 （C 3（D ）2 【答案】C 【解析】试题分析：222a b c bc =+-,由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以1cos ,23A A π==，所以1sin 32ABC S bc A ∆==，故选C. 25．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤ 【答案】C 【解析】试题分析：第一次运算结果为110,22422S n =+==+=；第二次运算结果为113,426244S n =+==+=；第三次运算结果为3111,6284612S n =+==+=，这时应输出结果，停止运算，对照选项，应选C.26．函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有()()44f x f x ππ+=-，则()4f π等于( )（A ）2或0 （B ）2-或2 （C ）0 （D ）2-或0 【答案】B 【解析】试题分析：因为x ∀都有()()44f x f x ππ+=-，所以函数()f x 的对称轴为直线4x π=，所以当4x π=时，函数()f x 取得最大值或最小值，所以()2()244f f ππ==-或，故选B.27．已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线3(1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点．若AF mFB =，则m 的值为（ ）（A ）3 （B ）32（C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】试题分析：如下图所示，抛物线的准线为l ，直线3(1)y x =-恒过抛物线的焦点(1,0)F ，过点,A B 分别作直线,AA l BB l ''⊥⊥，垂足分别为,A B ''，过B 作直线BC AA '⊥于C ，则(1)AB m BF =+，(1)AC m BF =-，60BAC ∠=︒，所以(1)(1)2(1)(1)AB m BF m AC m BF m ++===--，解之得3m =，故选D.28．若关于x 方程log (0,1)a x b b a a +=>≠有且只有两个解，则 （ ） （A ） 1b = （B ）0b = （C ）1b > （D ） 0b >【答案】B 【解析】试题分析：函数log (0,1)a y x b a a =+>≠的图象如图所示，由图可知，只有当0b =时，函数log (0,1)a y x b a a =+>≠与直线y b =有且内有两个公共点，即方程log (0,1)a x b b a a +=>≠有且只有两个解,故选B.29．（本小题满分14分）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足299,9971-=-=+S a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n S b 21=，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：43->n T . 【答案】（Ⅰ）212n n a +=-.（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）基本量法，设出1,a d ，列出方程，解之即可.（Ⅱ）先求数列{}n a 的前n 项和n S ，从而可求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法求其n 项和n T ，放缩可证结论成立.30．（本大题满分12分）如图，在四棱锥P -ABC D 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且k ABAE=，点F 为PD 中点. (Ⅰ)若21=k ，求证：直线AF //平面PEC ； (Ⅱ)是否存在一个常数k ，使得平面PED ⊥平面PAB ，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由， 【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)存在，22k =. 【解析】试题分析：(Ⅰ)证线面平行，可在平面内构造一直线与已知直线平行即可，即作//FM CD 与PC 相交于点M ，连接EM ，则直线EM 就是在平面内构造的直线，只要证//AF EM 即可.(Ⅱ)先假设存在常数k ，使平面PED ⊥平面PAB ，由面面垂直的判定求出k 的值，写过程时再返过来写出结果即可. 试题解析：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∵21=k ，∴FM AB AE ==21，又FM ∥CD ∥AB∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………6分 (Ⅱ)存在常数22=k ，使得平面PED ⊥平面PAB ．…………8分∵k ABAE=，1AB =，22=k ，∴AE =， 又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE . 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PAB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面PAB . …………………12分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

专题一 热点必考题精选第一组1. 三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC - 的体积为2V ，则12V V = 【答案】14【解析】试题分析：121111122224D ABEE ABD E ABP A BEP A BCP V V V V V V V -----=====? 2. 若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=则这两条直线的斜率之积为 ． 【答案】9-或19- 【解析】试题分析：设这两条直线的斜率分别为k 和k -，则它们的方程分别为10kx y k --+=和10kx y k +--=，=，即231030k k -+=，解得13k =或3，所以219k -=-或9-； 3. 已知函数()()()()()()212,211122+<<'=∈x x f x f x f f R x x f 则不等式的导数，且满足的解集为______________【答案】），（），（∞+⋃∞11-- 【解析】试题分析：设212)()(--=t t f t g ，则021)()(''<-=t f t g ，)(t g 在R 上单调递减，注意到0)1(=g ，所以1)1(0)(>⇔=<t g t g ，令112>⇒>=x x t 或1-<x4. 正项等比数列｛a n ｝中，存在两项a m 、a na 1，且a 6=a 5+2a 4，则14m n+的最小值是_________【答案】32【解析】试题分析：由正项等比数列｛an ｝及a 6=a 5+2a 4可得222=⇒+=q q q a 1得⇔=-+112142a a nm 64212=+⇔=-+n m nm ，14m n+23)45(61)41)((61≥++=++=n m m n n m n m5. 设函数3()f x x x =+，x R ∈．若当02πθ<<时，不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m的取值范围是_______ 【答案】1(,1]2【解析】试题分析：因为3()f x x x =+，所以()2'310f x x =+>，所以()f x 单调递增，又3()f x x x =+为奇函数，原不等式可化为)1()sin (->m f m f θ，即1sin ->m m θ，可变为θsin 11-<m ，又20πθ<<，得1sin 0<<θ，1sin 11>-θ，所以1≤m 时恒成立．6. 已知函数f(x)对一切实数a 、b 满足f(a+b)=f(a)·f(b)，f(1)=2，(且f(x)恒非零)，数列｛a n ｝的通项a n =)12()2()(2-+n f n f n f (n ∈N +)，则数列{a n }的前n 项和=【答案】4n 【解析】试题分析：由题意得f(a+b)=f(a)·f(b)，f(1)=2，所以f(1+1)=f(1)·f(1)=22，f(2+1)=f(2)·f(1)= Λ32 当nn f N n 2)(,=∈*，nnn f n f 2222)2(,2)(==，122)12(-=-n n f ，a n =4222)12()2()(12222=+=-+-n nn n f n f n f ，所以数列{a n }的前n 项和为4n. 7. 在△ABC 中，c b a ,,分别为A ，B ，C 所对的边，且A c a sin 23=. (1)求角C 的大小； (2)若7=c ，且△ABC 的面积为233，求b a +值. 【答案】（1）C=60°或120°；（2）5 【解析】若C=120°，可得122=+b a ，无解………12分8. 如图，在三棱锥ABC D -中，已知BCD ∆是正三角形，⊥AB 平面BCD ，a BC AB ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且FC AF 3=. （1）求三棱锥ABC D -的体积； （2）求证：⊥AC 平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且CA CN 83=,求证：//MN 平面DEF .【答案】（133（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：（1）利用等体积法D ABC A BCD V V --=，而AB ⊥平面BCD3（2）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发：先在底面ABC 中，利用平几知识证明,EF AC ⊥再证明DE ⊥平面ABC ，从而可证,DE AC ⊥这样就可根据线面垂直判定定理证明⊥AC 平面DEF （3）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，其中证线线平行是关键：由CA CN 83=得23CF CN =，所以连CM ，设CM DE O ⋂=，则O 为△BCD 的重心,所以23CO CM =，因此有MN ∥OF ，再根据线面平行判定定理得证试题解析：（1）因为 △BCD 是正三角形，且AB BC a ==，所以2BCD S ∆=，……2分 因为AB ⊥平面BCD ，13D ABC A BCD V V AB --==⨯⨯S △BCD 213a =⨯3=. ……5分 （2）在底面ABC 中，（以下运用的定理不交代在同一平面中，扣1分） 取AC 的中点H ，连接BH ，AB BC =,BH AC ⇒⊥3,AF FC =⇒F 为CH 的中点，E 为BC 的中点，△BCD 是正三角形,DE BC ⇒⊥．AC DEF ⇒⊥面.……10分（注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣1分，扣满该逻辑段得分为止）（3）当38CN CA =时，连CM ，设CM DE O ⋂=，连OF ．O 为△BCD 的重心,23CO CM ⇒=，当23CF CN =时,MN ⇒∥OF ,(11分) MN ⇒∥DEF 面.……14分⎫⎪⇒⎬⎪⎭∥ 6EF AC ⊥L L 分BH ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⇒,,,B BC AB B A A C B BC =⊂I 面,((98,,))DE ABC AB DE C AC AC ⊥⎫⇒⎬⊂⎭⊥面分分面,),,(7BCD B AB AB DE D C E D ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭面分面,,,,A DE EF C EF DE E DEF F E ⊥⎫⎪⎪⎬⊂⋂=⎪⎪⎭面,,OF DEF E MN D F ⊂⊄⎫⎪⎬⎪⎭面面9. 已知函数xx x f 24)(-=，实数t s ,满足0)()(=+t f s f ，设ts t s b a +=+=2,22.（1）当函数)(x f 的定义域为[]1,1-时，求)(x f 的值域； （2）求函数关系式)(a g b =，并求函数)(a g 的定义域； （3）求ts88+的取值范围.【答案】（1）1[,2]4-（2）12a <≤（3）(1,2]【解析】试题分析：（1）问题实质为求一元二次函数值域：令12[,2]2x m =∈，则2211()()()24f x l m m m m ==-=--，值域为1[,2]4-.（2）问题实质为求函数解析式，即用22s t a =+表示2s t b +=，因为42420s s t t -+-=，所以2(22)22(22)0s t s t s t ++-⨯-+=，即220a b a --=，21()()2b g a a a ==-，求定义域需考虑全面：一方面0,0b a >>，则21()02a a ->，故1a >，另一方面22222442()2s t s t s t++=+≥⨯即22a a ≥，故2a ≤，因此12a <≤.（3）问题实质将t s 88+转化为22s t a =+的函数解析式：88(22)(4224)()s t s t s s t t a a b +=+-⨯+=-2321113()2222a a a a a a =-+=-+，(1,2]a ∈，再利用导数求其值域即可.试题解析：（1）若[1,1]x ∈-，令12[,2]2xm =∈， ……1分2211()()()24f x l m m m m ==-=--在1[,2]2上为增函数……2分min min 11()()()24f x l m l ===-；max max ()()(2)2f x l m l ===，……3分()f x 值域为1[,2]4-. ……4分（2）实数,s t 满足()()0f s f t +=，则42420s s t t -+-=， 则2(22)22(22)0s t s t s t ++-⨯-+=，……6分而22s t a =+，2s t b +=，故220a b a --=， 21()()2b g a a a ==-， ……7分由题意，0,0b a >>，则21()02a a ->，故1a >， ……8分又22222442()2s t stst++=+≥⨯，即22a a ≥，故2a ≤，当且仅当s t =时取得等号， ……9分综上：12a <≤.……10分（3）88(22)(4224)()s t s t s s t t a a b +=+-⨯+=-2321113()2222a a a a a a =-+=-+，(1,2]a ∈ ……12分令3213(),(1,2]22h a a a a =-+∈，'()h a 2333(2)022a a a a =-+=--≥当(1,2]a ∈恒成立， ……14分 故()h a 在(1,2]a ∈单调递增，()((1),(2)]h a h h ∈，故88s t +(1,2]∈. ……16分10. 如图，A ，B ，C 是椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M的中心，且满足AC ⊥BC ，BC ＝2AC 。

2018年高考数学走出题海之黄金30题系列专题六考前必做难题30题(浙江版)1．【2018届北京市海淀区二模】如图，已知直线与曲线相切于两点，则函数有( )A. 个零点B. 个极值点C. 个极大值点D. 个极大值点【答案】D【解析】分析：根据函数有三个极大值点，两个极小值点，判断，在极值点左右两边的符合，可得函数五个极值点，三个极大值，两个极小值，从而可得结果.详解：直线与曲线相切于两点，有两个根，且，由图象知，则即，则函数，没有零点，函数有三个极大值点，两个极小值点，则，设的三个极大值点分别为，由图可知，在的左侧的右侧，此时函数有三个极大值，在的左侧，的右侧，，此时函数有两个极小值点，故函数有五个极值点，三个极大值，两个极小值，故选D.2．【2018届福建省龙岩市4月检查】设函数.若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A即在唯一的整数，使得，，由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，只有一个整数，，，得，即实数的取值范围为，故选A.3．【2018届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，构造函数，利用导数判断函数的极值点在，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果..又，存在，使递增，递减，若解集中的整数恰为个，则是解集中的个整数，故只需，故选B.4．【2018届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】直线与圆有公共点，则的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：由可得，换元、配方后利用二次函数求解即可.5．【2018届安徽省六安市毛坦厂中学四月月考】已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用，判断出的单调性，结合列不等式求解即可.详解：引入函数，则，，，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，即，又，又函数在区间上单调递增，，解得，又函数的定义域为，得，解得，故不等式的解集是，故选D.6．【2018届北京市城六区一模】已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，∴0≤≤2，故B错误；∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|=2，∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤≤2+2，故C正确；∵﹣1≤|OM|≤+1，-1≤|ON|≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确．故选B．7．【2018届江西省新余市二模】已知椭圆，，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由，可得G为的重心，即有G点坐标为，由，可得IG∥x轴，即有I的纵坐标为，在中，，则．因为I 为的内心，故有I 的纵坐标即为内切圆半径，所以，故，即，整理得，故椭圆C 的离心率．选B ． 8．【2018届四川省蓉城名校高中4月份联考】已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ）A. 4 D. 【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，设圆C 的半径为r ，由题意得1211516CC CC r r +=++-=（）（）， ∴则C 的轨迹是以（()()505,0-，， 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=，即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则 221CM CC ⎛=-==088,x =-≤≤minCM∴=== ，选A.9．【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（ ）A. B. C. D.【答案】A故选10．【2018届百校联盟高三TOP20四月联考】在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题.详解：如图，过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC⊥平面，BC⊥平面，所以四点共面，所以BC⊥,由BC⊥，BC⊥，所以∠为平面PBC和平面ABC所成角，即∠，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A11．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十四次考】如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先判断出点的位置，确定使得取得最大值和最小值时点的位置，然后再通过计算可求得线段长度的取值范围．详解：如下图所示，分别取棱的中点M、N，连MN，，∵分别为所在棱的中点，则，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF．∵，∴四边形为平行四边形，∴，又平面AEF，AE⊂平面AEF，∴∥平面AEF，又，∴平面∥平面AEF．∵P是侧面内一点，且∥平面AEF，∴点P必在线段MN上．在中，．同理，在中，可得，∴为等腰三角形．当点P 为MN 中点O 时，，此时最短；点P 位于M 、N 处时，最长．∵，．∴线段长度的取值范围是．故选B ．12．【2018届衡水金卷信息卷五】如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 与侧面PAD 垂直，且四边形ABCD 为正方形， AD PD PA ==，点E 为边AB 的中点，点F 在边BP 上，且14BF BP =，过C ，E ，F 三点的截面与平面PAD 的交线为l ，则异面直线PB 与l 所成的角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【答案】D又底面ABCD 与侧面PAD 垂直，四边形ABCD 为正方形， 所以AB ⊥平面PAD.从而AB ⊥DM.因此DM ⊥平面PAB.又DM//GH.即DM ∥l.所以l ⊥平面PAB.故l ⊥PB ， 所以异面直线PB 与l 所成的角为2. 本题选择D 选项.13．【2018届山西省二模】数列满足若，则数列的前项的和是__________． 【答案】450【解析】分析：根据递推关系求出数列的前几项，不难发现项的变化具有周期性，从而得到数列的前项的和.详解：∵数列{a n }满足， ∵a 1=34，∴a 2==17，a 3=3a 2+1=3×17+1=52，a 4==26，a 5==13，a 6=3a 5+1=40，a 7==20，a 8==10，a 9==5，a 10=3a 9+1=16， a 11==8，a 12==4，a 13==2，a 14==1，同理可得：a 15=4，a 16=2，a 17=1，……．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{a n }的前100项的和=（a 1+a 2+……+a 11）+a 12+a 13+29（a 14+a 15+a 16） =（34+17+52+26+13+40+20+10+5+16+8）+4+2+29×（1+4+2） =450．故答案为：450．14．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】分析：由，得，利用，可求得，利用导数证明在上递增，等价于，由单调性可得结果.详解：由，得，，令，，，令，在上递减，在上递增，，在上递增，，，可得，解得，即实数的取值范围是，故答案为.15．已知点A在椭圆221259x y+=上，点P满足()1AP OAλ=-（Rλ∈）（O是坐标原点），且•72OA OP=，则线段OP在x轴上的设影长度的最大值为__________．【答案】15【解析】∵()1AP OA λ=-， ∴OP OA λ=，故O ，A ，P 三点共线．∵·72OAOP=， ∴·72OAOPOA OP ==， 设点A 坐标为(x ，y)，则221259x y +=． 令OA 与x 轴正方向的夹角为θ，则线段OP 在x 轴上的投影长度为27272cos ||x xx OP OP OA OAOA OAθ=⋅=⋅=227272721516925x x y x x==≤=++，当且仅当16925x x =，即154x =时等号成立． ∴线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 答案：1516．【2018届四川省南充市三诊】在数列中，若(，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断： ①若是等方差数列，则是等差数列；②是等方差数列； ③若是等方差数列，则(，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为__________(写出所有正确命题的序号). 【答案】①②③【解析】分析：根据等方差数列的定义①{a n }是等方差数列，则a n 2-a n-12=p （p 为常数），根据等差数列的定义，可证；②验证[（-1）n ]2-[（-1）n-1]2是一个常数；③验证a kn+12-a kn 2是一个常数. 详解：①∵是等方差数列,∴(p 为常数)得到为首项是，公差为p 的等差数列；∴{}是等差数列；②数列中,，∴是等方差数列；故②正确；③数列{}中的项列举出来是,,,…,,…,，…数列中的项列举出来是,,…,，…，∵，∴.∴∴ (k∈N∗,k为常数)是等方差数列；故③正确；故答案为：①②③.17．【2018届北京市城六区高三一模】设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．【答案】②③18．【2018届四川（南充三诊）】已知单位向量，，两两的夹角均为 (，且)，若空间向量，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系 (为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则；②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值；③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积.其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)【答案】②③.【解析】由题意，①若，，则，则，所以不正确；②由，其中，向量的夹角取得最小值，两向量同向时，存在实数，满足，根据仿射的定义，可知是正确的；③已知，，则，所以，所以是正确的；④由，则三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为，所以不正确，故选②③.19．【2018届江西省监测】四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是__________．【答案】【解析】四棱锥中，可得：平面平面平面，过作于，则平面，设，故，所以，，在中，，则有，,所以的外接圆半径，将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径，所以．故答案为：20．【2018届广东省高三下学期模拟二】已知为函数的导函数，. （1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）（2）令，根据题意，当时，恒成立..①当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；②当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；③当时，因为，所有恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故.综上，的取值范围是.21．【2018届四川省攀枝花市高三4月统考】已知椭圆的右焦点为,坐标原点为.椭圆的动弦过右焦点且不垂直于坐标轴，的中点为,过且垂直于线段的直线交射线于点.(I)求点的横坐标;(II)当最大时，求的面积.【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ).【解析】分析：(I) 设所在直线为先求出所在直线方程为，再求出直线FM方程为，联立两方程即可求出点M的坐标. (II)先利用向量的夹角公式求出，再利用基本不等式求出的最小值，即得最大值和k的值，再利用面积公式求的面积.详解：(Ⅰ) 易知，设所在直线为联立方程组，化简得由韦达定理得则，从而所在直线方程为又所在直线方程为，联立两直线方程解得(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）得，则则（当且仅当时取等号）当取得最小值时，最大，此时从而.从而.22．【2018届百校联盟高三TOP20四月联考】已知函数.（Ⅰ）若函数在处的切线过原点，求的值及切线的方程；（Ⅱ）若，且存在使得，求整数的最大值.（参考数据：）.【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)2.【解析】分析：(Ⅰ) 由题意可得，则，，结合直线的斜率得到关于a的方程，解方程可得，则切线方程为.(Ⅱ)当时，，，令，结合函数的单调性和零点存在定理可得在上存在，使得，即，结合导函数与原函数单调性的关系可得在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值为，结合二次函数的性质可得，则整数的最大值为2.(Ⅱ)当时，，，令，则是单调递减函数，因为，，所以在上存在，使得，即，所以当时，，时，，即当时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值是.因为，所以，因为，所以，所以，所以若存在，使得，则，故整数的最大值为2.23．【2018年天津市十二校高三二模】已知函数，的最大值为. （Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，令，是否存在区间.使得函数在区间上的值域为若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时，取得极大值，也是最大值，由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1) 由题意得，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得极大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定义域为.①即,则，故在单调增②若,而,故,则当时，;当及时，故在单调递减，在单调递增。

2018年高考数学走出题海之黄金30题系列1．（三角函数与抛物线相结合的创新题）已知抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点()04,A y 作1AA l ⊥于点A ，若123A AF π∠=，则p =（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C2．（辗转相除法与程序框图相结合的创新题）程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ MOD ”表示除以的余数）， 若输入的，分别为72，15，则输出的=（ ）A. 12B. 3C. 15D. 45【答案】B【解析】辗转相除法求的是最大公约数，的最大公约数为.3．（双曲线与二次函数相结合的创新题）当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】B4．（等比数列与定积分相结合的创新题）等比数列{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝323d x x ⎰，则公比q 的值是 ( )A. 1B. －12C. 1或－12D. －1或－12【答案】C【解析】由题意得3330|27S x ==．①当q ≠1时，则有()313231127{19a q S qa a q -==-==，解得12q =-或1q =（舍去）．②当q ＝1时，a 3＝a 2＝a 1＝9，故S 3＝27，符合题意． 综上12q =-或1q =．选C ． 5．（推理的创新题）富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（ ）A. 曹雪芹、莎士比亚、雨果B. 雨果、莎士比亚、曹雪芹C. 莎士比亚、雨果、曹雪芹D. 曹雪芹、雨果、莎士比亚【答案】A【解析】假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误；假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故①不正确即张博源研究的不是莎士比亚，②不正确即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹．这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭自然研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果；故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.6．（统计与数列相结合的创新题）统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示(每组含右端点，不含左端点)，则新生婴儿体重在(2 700,3 000]克内的频率为( )A. 0.001B. 0.1C. 0.2D. 0.3【答案】D2700,3000克【解析】根据直方图的含义，每组的频率即为相应小长方形的面积，所以新生婴儿体重在(]⨯=,故选D.内的频率为3000.0010.37．（等高条形图的创新题）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A. 性别与喜欢理科无关B. 女生中喜欢理科的比为80%C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些D. 男生不喜欢理科的比为6O% 【答案】C【解析】从图中看，男生中喜欢理科的人多，喜欢理科的与性别有关；男生比女生喜欢理科的可能性大些；女生中喜欢理科的只有20%；男生中不喜欢理科的有40%．故选C ． 8．（复数的新定义的创新题）欧拉公式(为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, 3ie π表示的复数的模为( )A. B. 1 C. D.【答案】B9．（导数与不等式相结合的创新题）已知定义在R 上的偶函数()f x （函数f (x )的导函数为()f x '）满足()1102f x f x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，e 3f (2018)＝1，若()()f x f x >'-，则关于x 的不等式()12e x f x +>的解集为A. (),3-∞B. ()3,+∞C. (),0-∞D. ()0,+∞【答案】B 【解析】()f x 是偶函数， ()()f x f x ∴=-， ()()()'''f x f x f x ⎡⎤=-=--⎣⎦， ()()'f x f x ∴-=-，()()()''f x f x f x >-=-，即()()'0f x f x +>，设()()x g x e f x =，则()()()''0x xe f x e f x f x ⎡⎤⎡⎤=+>⎣⎦⎣⎦， ()g x 在(),-∞+∞上递增，由()1102f x f x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，得 ()()330,3022f t f t f t f t ⎛⎫⎛⎫++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，相减可得()()3f t f t =+， ()f x 的周期为3， ()()33201821e f e f ∴==， ()()2122g e f e ==， ()12x f x e+>，结合()f x 的周期为3可化为()()12112x e f x e f e-->=， ()()12,12,3g x g x x ->->>， ∴不等式解集为()3,+∞，故选B.10．（线性规划的创新题）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（ ）A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元 【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x 桶， y 桶，利润为z 元，则根据题意可得2212{212 ,0,,x y x y x y x y N+≤+≤≥∈ ， 300400z x y =+作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线:3004000L x y +=，然后把直线向可行域平移，可得0,6x y ==，此时z 最大2400z =，故选C.11．（向量与三角函数相结合的创新题）已知向量()()sin ,cos ,1,1a x x b ωω==-，函数()f x a b =⋅，且1,2x R ω>∈，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()3,4ππ，则ω的取值范围是（ ） A. ][7151319,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ B. ][7111115,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C. ][171119,,2121216⎛⎤⋃⎥⎝⎦ D. ][1111115,,2161216⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】B12．（解三角形与向量相结合的创新题）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 为ABC ∆的重心且满足向量BG CG ⊥，若tan sin a A c B λ=，则实数λ=（ ） A. 3 B. 2 C.12 D. 23【答案】C 【解析】如图连接AG ，延长交AG 交BC 于D ， 由于G 为重心，故D 为中点，12CG BG DG BC ⊥∴=，， 由重心的性质得， 3AD DG =，即32AD BC =， 由余弦定理得， 22222222AC AD CD AD CD cos ADC AB AD BD AD BDcos ADB =+-⋅⋅∠=+-⋅∠，，222222ADC BDC CD BD AC AB BD AD π∠+∠==∴+=+，，，2222219522AC AB BC BC BC ∴+=+=，2225b c a ∴+= ，可得： 222224222b c a a a cosA bc bc bc +-===，tan sin a A c B λ=， 22212sin 2asinA a a a c BcosA bccosAbc bcλ∴====⋅． 故选D ． 13．（三视图的创新题）惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积（其中 为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为 ，则该石雕构件的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是由正方体中去除两个圆柱体，其中，正方体的棱长为5，圆柱体的直径为3，高为5，两个圆柱体中间重合部分为牟合方盖该石雕构件的体积为14．（三棱锥与球相结合的创新题）已知点A,B,C,D 均为球O 的表面上, 3,3AB BC AC ===,若三棱锥D-ABC 体积的最大值为334,则球O 的表面积为( ) A. 36π B. 16π C. 12π D. 16π3【答案】B15．（茎叶图与概率相结合的创新题）如图,茎叶图表示的是甲,乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污染,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.12 B. 35 C. 45 D. 710【答案】C16．（直线与二项式相结合的创新题）下列说法正确的是___________.(填序号) ①直线：与直线：平行的充要条件是；②若，则的最大值为1；③曲线与直线所夹的封闭区域面积可表示为；④若二项式的展开式系数和为1，则.【答案】②③ 【解析】当且时，，故①错；若同为正，则，同为负，则；异号，，所以②正确；③作图即可确认正确；当时，，则或，故④错．17．（正态分布与圆相结合的创新题）若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，()0.6826P μσξμσ-<<+=， (22)0.9544P μσξμσ-<<+=，设()21,N ξσ~，且()30.1587P ξ≥=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y σ+=上有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是__________． 【答案】()1313-，【解析】()()131[1(13)](13)0.6826112P P P P ξξξξσ≥=≤-=--<<⇒-<<=⇒-=-，13σ+=，因此2σ=，由题意，圆心(0，0)到直线的距离d 满足01d ≤<． 2213125c cd ==+，013c ∴≤<，即()1313c ∈-，．18．（几何概型的创新题）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．【答案】 【解析】设，则，，故多边形的面积；阴影部分为两个对称的三角形，其中，故阴影部分的面积，故所求概率.19．（抛物线与定积分相结合的创新题）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为__________． 【答案】【解析】抛物线的标准方程为,由得或,图形面积,故填.20．2，则该三棱锥的内切球的体积为__________． 3【解析】由题意可知,该三棱锥为正三棱锥, 0626sin60,,3AE AB AO AE =⋅=== 2223,DO AD AO =-=三棱锥的体积11,33D ABC ABCV S DO -=⋅=设内切圆的半径为r ,则()3ABC 11343,,=.333D ABC ABD BCD ACD V r SSSSr V r ππ-=+++===内切球21．（等差数列与定积分相结合的创新题）已知数列{a n }为等差数列,且a 2 013+a 2 015=204x -⎰则a 2 014(a 2012+2a 2 014+a 2 016)的值为_.【答案】2π【解析】224x -⎰表示半圆)2402y x x =-≤≤的面积， 204x dx π∴-=，2013201520142014=2=2a a a a ππ∴+=，，则()20142012201420162a a a a ++=()()2014201220142014201620142013201522=2=2a a a a a a a a ππ+++=+⨯ 2π，故答案为2π.22．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）函数f (x )＝2sin x sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭－x 2的零点个数为________．【答案】2【解析】函数f (x )＝2sin x sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭－x 2的零点个数等价于方程2sinx ·sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭－x 2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故函数f (x )有2个零点．23．（函数的性质与数列相结合的创新题）高斯函数又称为取整函数，符号表示不超过的最大整数.设是关于的方程的实数根，，.则：（1）__________；（2）__________.【答案】 2【解析】 设，则，所以函数单调递增，当时，且，所以在内有唯一的实数根， 所以，所以，所以.24．（双曲线与圆相结合的创新题）已知双曲线222y x b-=1的离心率为52,左焦点为1F ,当点P 在双曲线右支上运动、点Q 在圆()221x y +-=1上运动时, 1PQ PF +的最小值为_____. 【答案】5225．（独立性检验与分布列相结合的创新题）随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：支付宝用户非支付宝用户合计中老年90青年120合计300(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用X表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X的分布列与数学期望.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】分析：（1）列出22⨯列联表，利用公式求得2K ，即可作出判断；（2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以X 的取值依次为0,1,2,3，且X 服从二项分布，即可求解分布列和数学期望. 详解：(1)列联表补充如下22300(603012090)50 6.635150150180120K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以X 的取值依次为0,1,2,3，且X 服从二项分布3B 3,5⎛⎫ ⎪⎝⎭()()23133383336P X 0(1);11512555125C P X C ⎛⎫==-===-= ⎪⎝⎭ ()()21323333354327P X 21;3551255125C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以X 的分布列为83654279EX 01231251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯= 26．（函数与导数的创新题）已知函数()2433x f x x =+ ()()0,2x ∈， ()21ln 2g x x x a =--. （1）求()f x 的值域；（2）若[]1,2x ∃∈使得()0g x =，求a 的取值范围；（3）对()10,2x ∀∈，总存在[]21,2x ∈使得()()12f x g x =，求a 的取值范围. 【答案】（1）20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）1,2ln22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）14,ln223a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】分析：（1）求函数导数，利用函数单调性求最值即可得值域； （2）原问题等价于方程21ln 2x x a -=在[]1,2x ∈上有解，令()21ln 2h x x x =-，求函数导数，利用单调性求得得值域即可得解；则原问题等价于A B ⊆，分别求值域即可. （3）令()(){|,0,2}A y y f x x ==∈， ()[]{|,1,2}B y y g x x ==∈， 详解：（1）由题可知， ()()()222121'33x f x x -=+，不难得到， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，∴()()max 213f x f ==， ()00f =， ()82015f =>， ∴()f x 的值域为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）原问题等价于方程21ln 2x x a -=在[]1,2x ∈上有解， 令()21ln 2h x x x =-， ()211'0x h x x x x -=-=≥， ∴()h x 在[]1,2上单调递增，∴()h x 的值域为1,2ln22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴1,2ln22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.27．（解三角形的创新题）在中，分别是内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）;(2).【解析】试题分析：（1）余弦定理，结合已知条件求的大小，得到角，（2）根据两角差的正弦公式以及化简等式，得到，结合（1）的结果再计算面积.试题解析：（1）把整理得，，由余弦定理有，∴.(2)中，，即，故，由已知可得，∴，整理得.28．（圆锥曲线的创新题）已知点(),P x y ()()2222114x y x y ++-+=.（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）直线l 与圆O ： 221x y +=相切，与曲线C 相较于A ， B 两点，若43OA OB ⋅=-，求直线l 的斜率.【答案】（Ⅰ）22143x y +=;（Ⅱ）3（Ⅱ）当l x ⊥轴时，l ： 1x =±， 代入曲线C 的方程得32y =±， 不妨设312A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 312B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 这时()3354·112243OA OB ⎛⎫=-⨯-+⨯-=-≠- ⎪⎝⎭， 所以直线斜率存在． 设()11A x y ，， ()22B x y ，， 直线l 的方程为y kx m =+，由直线l 与圆O ： 221x y +=相切222111m m k k ⇒=⇒=++，()22222{34841203412y kx m k x kmx m x y =+∴⇒+++-=+=，． ∵直线与曲线相交，()()()22228434412144960km k m k ∴∆=-+-=+>成立，122834kmx x k ∴+=-+， 212241234m x x k -=+， 1212·OA OB x x y y ∴=+()()2212121k x x km x x m =++++ 2227121234m k k --=+ 225534k k+=-+ 43=- 233k k ⇒=⇒=±．29．（立体几何的创新题）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形， 22BC AB ==，BD BA ⊥， 2PA PB PD ===， M 为PD 的中点.（1）求证： //PB 平面AMC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离. 【答案】(1)见解析15【解析】试题分析：（1）连接BD 交AC 于点O ，则O 为BD 的中点，连接MO .由三角形中位线的性质可得//MO PB ，结合线面平行的判断定理可得//PB 平面AMC .（2）取AD 的中点N ，连接PN ， BN ， NC .由几何关系可证得PN ⊥平面ABD .且3PN =13P ABC ABC V S PN -∆=⋅ 12=.在NDC ∆中，由余弦定理可得222120NC ND DC ND DC cos =+-⋅⋅3=由勾股定理可得226PC PN NC =+，则等腰PBC ∆15，设点A 到平面PBC 的距离为h ，利用体积相等列方程可得点A 到平面PBC 的距离为15. 试题解析：（1）连接BD 交AC 于点O ， 则O 为BD 的中点，连接MO .在PBD ∆中， //MO PB ，∵PB ⊄平面AMC ， MO ⊂平面AMC ， ∴//PB 平面AMC .（2）取AD 的中点N ，连接PN ， BN ， NC . ∵PA PD =，∴PN AD ⊥， 又∵AB BD ⊥，∴BN AN =， ∴PAN PBN ∆≅∆， ∴90PNB PNA ∠=∠=， ∴PN NB ⊥，∴PN ⊥平面ABD . ∵2BC =， 1AB =， AB BD ⊥， ∴2AD =， 1BN =， 3BD =，∴3PN =∴13P ABC ABC V S PN -∆=⋅ 1131123322=⨯⨯=. 在NDC ∆中， 1ND =， 1CD =， 120NDC ∠=， 由余弦定理，得222120NC ND DC ND DC cos =+-⋅⋅3=∴226PC PN NC =+=，∴PBC ∆的面积为22161562222⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，设点A到平面PBC的距离为h.∵12P ABC A PBCV V--==，∴1151322h⨯⨯=，∴155h=.即点A到平面PBC的距离为15.30．（数列的创新题）已知数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，且. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件及等差数列的定义求解；（2）运用列项相消法求解：试题解析：解：（1）∵，∵，∴，，∴，∴，∵，∴.Ruize知识分享。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题二新题精选30题1．在△ABC 中，“B A sin sin >”是“B A >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理k B b A a ==sin sin ，得kbB k a A ==sin ,sin ，由B A sin sin >得k b k a >，即b a >，由大边对大角得B A >；当B A >得b a >，即kbk a >，由正弦定理得B A sin sin >，因此“B A sin sin >”是“B A >”的充要条件，故答案为C. 2．计算：=++)2log 2)(log 3log 3(log 9384A ．45B ．25 C ．5D ．15【答案】A 【解析】试题分析：由换底公式得()()2log 2log 3log 3log 9384++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=9lg 2lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 3lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 453lg 22lg 32lg 63lg 5=⋅=，故答案为A. 3．若55cos sin =+θθ，]π,0[∈θ，则=θtan A ．21-B ．21C ．2-D ．2【答案】C 【解析】试题分析：()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222++=+51=，因此得054cos sin 2<-=θθ，由于[]πθ,0∈，0cos ,0sin <>∴θθ，因此⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，∴()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222-+=-59=，由于0cos ,0sin <>θθ，553cos sin =-θθ，又由于55cos sin =+θθ，55cos ,552sin -==∴θθ，得2cos sin tan -==θθθ，故答案为C. 4．设1F 、2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足︒=∠120MAN ，则该双曲线的离心率为 A ．321B ．319 C ．35D ．3【答案】A5．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（第7题）O yxAMN 1F 2FA ．πB ．2πC ．3πD ．6π【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一圆锥通过轴截面的半圆锥，底面直径为2，半径为1，高为1， 体积61131212ππ=⋅⋅⋅⋅=V ，故答案为6π.6．已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=aA ．2B ．1C ．21 D ．41 【答案】C 【解析】试题分析：不等式对应的区域如图阴影部分，由y x z +=2，得z x y +-=2，表示的是斜率是2-截距为z的平行直线，由图可知，当直线z x y +-=2经过点C 时，截距最小，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+=121y x x ，得⎩⎨⎧-==11y x即()1,1C ，由于C 点也在()3-=x a y 上，a 21-=-∴，得21=a ，故答案为C. （第2题）侧视图俯视图7．已知圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为)1,3(Q ，直线AB 交x 轴于点P ，则=⋅||||PB PAA ．4B ．5C ．6D ．8【答案】B 【解析】试题分析：圆配方得()9222=+-y x ，圆心坐标()0,2C ，半径3=r ，()1,1=CQ ，因此直线AB 的方程为()()013=-+-y x ，即04=-+y x ，即()0,4P ，设()11,y x A ，()22,y x B ，因此()()2222212144y x y x PB PA +-⋅+-=⋅，由于B A ,在圆上，5412121+=+∴x y x ，5422222+=+x y x ，21421421x x PB PA -⋅-=⋅∴()21211684441x x x x ⋅++-=，联立⎩⎨⎧=--++-=054422x y x x y ，得0111222=+-x x ，211,62121=⋅=+∴x x x x 代入得 5=⋅PB PA ，故答案为B.8．已知()2,M m 是抛物线()220y px p =>上一点，则“1p ≥”是“点M 到抛物线焦点的距离不少于3”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：充分性：当“1p ≥”时，根据抛物线的定义知，点M 到抛物线焦点的距离等于其到准线的距离：1522222p +≥+=； 必要性：当“点M 到抛物线焦点的距离等于其到准线的距离不少于3”所以解得：2p ≥，所以答案为B. 9．在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ） AB ．2 C．D ．4【答案】B 【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，得到：1sin1202bc ︒=1222c ⨯⨯=2c =，由余弦定理得：22222222cos12012a =+-⨯⨯︒=解得：a =为：122sin120=︒，所以答案为：B.10．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值X 围是（ ）A ．[8,10]-B ．[7,10]-C ．[6,8]-D ．[7,8]-【答案】B 【解析】试题分析：根据题意4,23,2x y x yz x y x y+≥-⎧=⎨-<-⎩，经可行域画出图形，可知为封闭区域且顶点坐标分别为:当2x y ≥时()()()()2,2,2,1,2,1,2,2A B C D ---,分别代入目标函数得到：24210z =⨯+=，2417z =⨯-=，2417,2426z z =-⨯+=-=-⨯+=-，当2x y <时，()()2,1,2,1B C --，()()2,2,2,2E F ---，分别代入目标函数得到：()3217,2317z z =⨯--==-⨯-=-，()()3217,2317,2324,2328z z z z =⨯--==-⨯-=-=-⨯--=-=⨯+=，综上z 的取值X 围为：[]7,10-.（解法二：平移）11．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中,m n 均大于0，则nm21+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】试题分析：根据对数函数的性质，知()2,1A --，根据点A 在直线10mx ny ++=上，所以有：()2100,0m n m n --+=>>即：()210,0m n m n +=>>，所以当0,0m n >>时，()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当“2m n =”即：11,42m n ==时取“=”），所以答案为C.12．设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若0)()(0>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称点”，则x x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是 （ ）A ．1 BC ．eD ．3【答案】B 【解析】试题分析：函数()y f x =在其图像上一点()()00,x f x 处的切线方程根据求导得到：()20000426y x x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭064ln x x -+，由此能推导出x x x x f ln 46)(2+-=，根据求导得到：存在是一个“类对称点”的横坐标.13．已知函数2()log f x x =，若在[1,8]上任取一个实数0x ，则不等式01()2f x ≤≤成立的概率是（ ） A.14 B.13C.27D.12 【答案】C. 【解析】试题分析：02001()21log 224f x x x ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，∴所求概率为422817-=-．． 14．若执行如下图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．20B ．14C ．10D ．7【答案】C. 【解析】试题分析：依次执行程序框图中的语句，可得：①10a =，1i =；②5a =，2i =；③14a =，3i =；④7a =，4i =；⑤20a =，5i =；⑥10a =，6i =，又∵当2016i =时，跳出循环，而201615403=+⨯，∴输出的10a =．15．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称，则函数()f x 的图象（ ） A.关于直线12x π=对称 B.关于直线512x π=对称 C.关于点(,0)12π对称 D.关于点5(,0)12π对称 【答案】B. 【解析】试题分析：∵()f x 最小正周期为π，∴22ππωω=⇒=，∴()f x 向右平移3π个单位后得到2()sin[2()]sin(2)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，又∵()g x 函数图象关于原点对称，∴23k πϕπ-+=，23k πϕπ=+，k Z ∈，又∵||2πϕ<，∴21||132k k ππ+<⇒=-， 3πϕ=-，∴()sin(2)3f x x π=-，当12x π=时，236x ππ-=-，∴A，C 错误，当512x π=时，232x ππ-=，∴B 正确，D 错误．16．已知在圆22420x y x y +-+=内，过点(1,0)E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD的面积为（ ）A.35B.65C.415D.215 【答案】D. 【解析】试题分析：由题意，将圆的方程化为标准方程：22(2)(1)5x y -++=，圆心坐标(2,1)F ，半径5r =，如图，显然当AC 为直径最长，即25AC =，而当EF BD ⊥时最短，22(21)(10)2EF =-+--=，22223BD r EF =-=，∴12152ABCD S AC BD =⨯=. .17．已知某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）A.16B.32C.48D.144 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意可得，该几何体为为四棱锥P ABCD -，∴11(2+6)66=48332P ABCD V Sh -==⨯⨯⨯. .18．已知实数a ，b 满足23a =，32b=，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A.(2,1)--B.(1,0)-C.(0,1)D.(1,2) 【答案】B. 【解析】试题分析：∵23a =，32b=，∴1a >，01b <<，又∵()xf x a x b =+-，∴1(1)10f b a-=--<，(0)10f b =->，从而由零点存在定理可知()f x 在区间(1,0)-上存在零点． 19．已知实数x ，y 满足条件2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，若目标函数3z x y =+的最小值为5，则其最大值为（ ）A.10B.12C.14D.15 【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的平面区域，即可行域，作直线l ：3y x =-，平移l ，从而可知当2x =，4y c =-时，min 324105z c c =⋅+-=-=，∴5c =， ∴当433cx +==，813c y -==时，max 33110z =⋅+=..20．已知点O 为双曲线C 的对称中心，过点O 的两条直线1l 与2l 的夹角为60，直线1l 与双曲线C 相交于1A ，1B ，直线2l 与双曲线C 相交于点2A ，2B ，若使1122||||A B A B =成立的直线1l 与2l 有且只有一对，则双曲线C 离心率的取值X 围是（ ）A.23(B.23[C.23()+∞D.23[)+∞ 【答案】A. 【解析】试题分析：分析题意可知，1l 与2l 的斜率都存在，设1l ：1y k x =，11(,)A x y ，22(,)B x y ，双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>，联立方程可得2221221k x x a b -=2222221a b x b a k ⇒=-， ∴2211112122212||1|1ab A B k x x k b a k=+-=+-222222222||1ab A B k b a k =+-又∵1122||||A B A B =22221212222222122211ab ab k k k k b a k b a k +=+⇒=--，显然12k k ≠，∴12k k =-，∵1l 与2l 夹角为60，∴不妨13k =，233k =-或13k ，23k =-∵满足条件的1l ，2l 只有一对，∴133k =或13k =仅有一值能符合方程2222221a b x b a k =-，∴222210(3330b ac e a b a ⎧->⎪⇒=∈⎨⎪-≤⎩. 21．已知数列{}n a 的通项公式为*(1)(21)cos 1()2nn n a n n N π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则60S =（ ）A ．-30B ．-60C ．90D ．120【答案】D. 【解析】试题分析：由题意可得，当43n k =-时，431n k a a -==，当42n k =-时，4268n k a a k -==-，当41n k =-时，411n k a a -==，当4n k =时，48n k a a k ==，∴43424148k k k k a a a a ---+++=，∴60815120S =⋅=. 22.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若22()S a b c +=+， 则cos A 等于（ ） A.45 B.45- C.1517 D.1517-【答案】D. 【解析】试题分析：∵222221()2(sin 1)4S a b c a b c bc A +=+⇒=+--，由余弦定理可得1sin 1cos 4A A -=，联立22sin cos 1A A +=，可得15cos 17A =-． 23．4(1)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（ ）A.-100B.-15C.35D.220 【答案】A. 【解析】试题分析：由二项式定理可得，6(2)x -展开式第1r +项，616(2)r r r r T C x -+=-，∴3x 的系数为336(2)160C -=-，4x 的系数为226(2)60C -=，∴6(1)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为16060100-+=-．24．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为（ ）A.115B.15C.14D.12【答案】B. 【解析】试题分析：由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1-3天，第2-4天，第3-5天，第4-6天四种情况，∴所求概率333363415A P C A ⋅==⋅．25．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该曲线交于A ，B 两点，若OA OB +与向量(3,1)n =--共线，则双曲线C 的离心率（ ）3C.43D.4【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，可将直线方程设为y x c =+，代入双曲线的方程并化简可得22222222()20b a x a cx a c a b ----=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴212222a cx x b a +=-，212122222b c y y x x c b a +=++=-，∴22222222(,)a c b cOA OB b a b a +=--，又∵OA OB +与(3,1)n =--共线，∴222222223a c b c c e b a b a a =⋅⇒==--．26．设函数()||f x x x a =-，若对1x ∀，2[3,)x ∈+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值X 围是（ ）A.(,3]-∞-B.[3,0)-C.(,3]-∞D.(0,3] 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意分析可知条件等价于()f x 在[3,)+∞上单调递增，又∵()||f x x x a =-，∴当0a ≤时，结论显然成立，当0a >时：则22 () x ax x af x x ax x a⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，∴()f x 在(,)2a-∞上单调递增，在(,)2a a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，∴03a <≤，综上，实数a 的取值X 围是(,3]-∞．27．（本小题满分13分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边，且2c =，3C π=.（1）若ABC ∆a ，b ； （2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值. 【答案】（1）2a b ==；（2）2A π=或6π. 【解析】试题分析：（1）利用条件中结合余弦定理可得222242cos3a b ab a b ab π=+-=+-，再由ABC ∆的面积可得4ab =，联立方程即可求解；（2）将条件中的等式作三角恒等变形为sin cos 2sin cos B A A A =，分cos 0A =，cos 0A ≠两种情况分类讨论即可求解.试题解析：（1）∵2c =，3C π=，由余弦定理得222242cos3a b ab a b ab π=+-=+-，∵ABC ∆的面，∴1sin 2ab C =4ab =，联立22424a b ab a b ab ⎧+-=⇒==⎨=⎩；（2）∵sin sin()2sin 2C B A A +-=，，∴sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， ∴sin cos 2sin cos B A A A =，①当cos 0A =时，2A π=，②当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，解得3a =3b =，∴222b ac =+，即2B π=，又∵3C π=，∴6A π=，综上所述，2A π=或6π. 28．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对*n N ∀∈，有22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n b ={}n b 的前n 项和为n T ，求1T ，2T ，3T ，…，100T 中有理数的个数.【答案】（1）n a n =；（2）9.29．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，//AD BC ，6AD =，24BC AB ==，E ，F 分别在BC ，AD上，//EF AB ，现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）若1BE =，是否在折叠后的线段AD 上存在一点P ，且AP PD λ=，使得//CP 平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（2）求三棱锥A CDF -的体积的最大值，并求此时二面角E AC F --的余弦值． 【答案】（1）存在32λ=；（2）A CDF V -体积的最大值为3365.【解析】试题分析：（1）首先利用线面垂直的判定可证得AF ⊥平面EFDC ，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量，即可求解；（2）设BE x =，即可建立A CDF V -关于x 的函数关系式，从而可得A CDF V -的最大值，再求得平面ACE 与平面ACF 的法向量，即可求解. 试题解析：∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF平面EFDC EF =，FD EF ⊥，∴FD ⊥平面ABEF ，又∵AF ⊂平面ABEF ，∴FD AF ⊥，在折起过程中，AF EF ⊥，同时FD EF F =，∴AF ⊥平面EFDC ，故以F 为原点，以FE ，FD ，FA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图）（1）若1BE =，则各点坐标如下：(0,0,0)F ，(0,0,1)A ，(0,5,0)D ，(2,3,0)C ，∴平面ABEF 的法向量可为(0,5,0)FD =，∵AP PD λ=，∴151(0,,)1111FP FA FD λλλλλλ=+=++++，若//CP 平面ABEF ，则必有CP FD ⊥，即0CP FD ⋅=，∵32132(2,,)(0,5,0)50111CP FD λλλλλ-+-+⋅=-⋅=⋅=+++，∴32λ=，∴AD 上存在一点P ，且32AP PD =，使得//CP 平面ABEF ；（2）设BE x =，∴(04)AF x x =<≤，6FD x =-，故21112(6)(6)323A CDF V x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-+，∴当3x =时，A CDF V -有最大值，且最大值为3，∴(0,0,3)A ，(0,3,0)D ，(2,1,0)C ，(2,0,0)E ，∴(2,0,3)AE =-，(2,1,3)AC =-，(0,0,3)FA =，(2,1,0)FC =，设平面ACE 的法向量111(,,)m x y z =，则00m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111230230x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，不妨令13x =，则10y =，12z =，则(3,0,2)m =，设平面ACF 的法向量222(,,)n x y z =，则0n FA n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2223020z x y =⎧⎨+=⎩，令21x =，22y =-，20z =，则(1,2,0)n =-，则3cos ,||||13m n m nm n ⋅<>===， ∴二面角E AC F --的余弦值为65. 30．（本小题满分12分）为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望． 【答案】（1）710；（2）ξ的分布列如下： ξ 0123P27125541253612581255E ξ=. 【解析】试题分析：（1）用事件A 表示至少有一名“高个子”被选中，则其对立事件A 表示没有一名“高个子”被选中，求对立事件A 的概率，即可求解；（2）根据题意可知，ξ服从二项分布2(3,)5B ，从而利用独立重复试验概率的求解，即可得ξ的概率分布及其期望.试题解析：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51306=，∴选中的“高个子”有11226⨯=人，“非高个子”有11836⨯=人，用事件A 表示至少有一名“高个子”被选中，则其对立事件A 表示没有一名“高个子”被选中，则232537()111010C P A C =-=-=，因此至少有一人是“高个子”的概率是710；（2）依题意，抽取30名学生中12名是“高个子”，∴抽取一名学生是“高个子”的频率为122305=，频率当作概率，那么从所有高中生中抽取一名学生是“高个子”的概率是25，又∵所取总体数量较多，抽取3名学生看成进行3次独立重复试验，∴ξ服从二项分布2(3,)5B ，ξ的取值为0，1，2，3，033227(0)(1)5125P C ξ==-=，1232254(1)(1)55125P C ξ==-=，2232236(2)()(1)55125P C ξ==-=，33328(0)()5125P C ξ===， ∴ξ的分布列如下：∴01231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或26355E ξ=⨯=）.。