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广西桂林中学2017届高三(上)11月月考数学试卷(理科)(解析版)

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2016-2017学年广西桂林中学高三（上）11月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z1的对应点是Z1（1，1），z2的对应点是Z2（1，﹣1），则z1•z2=（）A．1 B．2 C．﹣i D．i2．已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A．B．C．﹣ D．﹣3．已知数列{a n}中，a1=2，a n﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等+1于（）A．130 B．120 C．55 D．504．已知a=ln，b=sin，c=2，则a，b，c按照从小到大排列为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．下列说法中①命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”；②y=x|x|既是奇函数又是增函数；③关于x的不等式a＜sin2x+恒成立，则a的取值范围是a＜3；其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．06．已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．导函数为B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上是增函数D．函数f（x）的图象可由函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度得到7． 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A ．12B ．24C ．36D ．488．已知函数f （x ）满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f （x +2）=f （x ）；③当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=﹣|x |+1，则方程f （x ）=|x |在区间[﹣3，5]内解的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则（a 5+a 7+a 9）的值是（ ）A ．﹣5B ．C ．5D ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2ccosB=2a +b ，若△ABC的面积为S=c ，则ab 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．311．设向量，，满足||=||=1， •=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（ ）A．B．1 C．2 D．12．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）﹣tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=．14．若4x+4﹣x=，则xlog34=．15．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=．16．已知G点为△ABC的重心，且满足BG⊥CG，若+=，则实数λ=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，求a的值．18．已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足a n=2S n+2（n≥2）；数列{b n}满足﹣1b1+b2+b3+…+b n=n2+n．（1）数列{a n}是等比数列吗？请说明理由；（Ⅱ）若a1=b1，求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2AB．（1）证明：PC⊥AB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．已知椭圆M： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年广西桂林中学高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z1的对应点是Z1（1，1），z2的对应点是Z2（1，﹣1），则z1•z2=（）A．1 B．2 C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的几何意义可得z1=1+i，z2=1﹣i，再利用复数的乘法运算法则即可得出．【解答】解：∵在复平面内，复数z1的对应点是Z1（1，1），z2的对应点是Z2（1，﹣1），∴z1=1+i，z2=1﹣i，∴z1•z2=（1+i）（1﹣i）=12﹣i2=1+1=2．故选B．2．已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】二倍角的余弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos（+2α）的值．【解答】解：∵tanα=2，α∈（0，π），则cos（+2α）=cos（+2α）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣=﹣═=﹣，故选：D．3．已知数列{a n}中，a1=2，a n﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等+1于（）A．130 B．120 C．55 D．50【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】由题意可得，可得数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到a n，利用对数的运算法则即可得到b n，再利用等差数列的前n项公式即可得出．【解答】解：在数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，即，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴=2n．∴=n．∴数列{b n}的前10项和=1+2+…+10==55．故选C．4．已知a=ln，b=sin，c=2，则a，b，c按照从小到大排列为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数性质的合理运用．【解答】解：∵a=ln＜ln1=0，0＜b=sin＜sin=0.5，c=2＞2﹣1=0.5，∴a，b，c按照从大到小排列为a＜b＜c．故选：B．5．下列说法中①命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”；②y=x|x|既是奇函数又是增函数；③关于x的不等式a＜sin2x+恒成立，则a的取值范围是a＜3；其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论；②，y=x|x|=，结合图象可判定既是奇函数又是增函数；③，∵函数y=x+在（0，1]上是减函数，所以sin2x+的最小值为3；【解答】解：对于①，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，故正确；对于②，y=x|x|=，结合图象可判定既是奇函数又是增函数，故正确；对于③，∵函数y=x+在（0，1]上是减函数，所以sin2x+的最小值为3，关于x的不等式a＜sin2x+恒成立，则a的取值范围是a＜3，正确；故选：A：6．已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．导函数为B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上是增函数D．函数f（x）的图象可由函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度得到【考点】正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数的导数、单调性，以及它的图象的对称性，y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f （x ）=3sin （2x ﹣），故它的导数为f′（x ）=6cos （2x ﹣），故排除A ；由于当时，f （x ）=3•，不是函数的最值，故函数f （x ）的图象不关于直线对称；故排除B ．在区间上，2x ﹣∈（﹣，），故函数f （x ）在区间上是增函数，故C 正确；把函数y=3sin2x 的图象向右平移个单位长度，可得函数f （x ）=3sin （2x ﹣）的图象， 故D 错误， 故选：C ．7． 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．8．已知函数f（x）满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f（x+2）=f（x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣|x|+1，则方程f（x）=|x|在区间[﹣3，5]内解的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】确定函数的周期为2，在同一坐标系中，作出f（x）的图象，再画出y=|x|的图象，观察得出交点个数，即为方程解的个数．【解答】解：∵∀x∈R，都有f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，在同一坐标系中，作出f（x）的图象，再画出y=|x|的图象观察得出交点数为5，即方程f（x）=|x|在区间[﹣3，5]内解的个数是5．故选：A．9．已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则（a5+a7+a9）+1的值是（）A．﹣5 B．C．5 D．【考点】等比数列的性质．【分析】先由“log3a n+1=log3a n+1”探讨数列，得到数列是以3为公比的等比数列，再由a2+a4+a6=a2（1+q2+q4），a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）得到a5+a7+a9=q3（a2+a4+a6）求解．【解答】解：∵log3a n+1=log3a n+1=3a n∴a n+1∴数列{a n}是以3为公比的等比数列，∴a2+a4+a6=a2（1+q2+q4）=9∴a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）=a2q3（1+q2+q4）=9×33=35故选A10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A．B．C．D．3【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由正弦定理将2ccosB=2a+b，转化成2sinC•cosB=2sin A+sinB，由三角形内角和定理，将sin A=sin（B+C），利用两角和的正弦公式展开，化简求得，sinC的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab的最小值．【解答】解：由正弦定理，有===2R，又2c•cosB=2a+b，得2sinC•cosB=2sin A+sinB，由A+B+C=π，得sin A=sin（B+C），则2sinC•cosB=2sin（B+C）+sinB，即2sinB•cosC+sinB=0，又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC=﹣，因为0＜C＜π，得C=，ab sinC=ab，即c=3ab，则△ABC的面积为S△=由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2ab cosC，化简，得a2+b2+ab=9a2b2，∵a2+b2≥2ab，当仅当a=b时取等号，∴2ab+ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是．故答案选：B．11．设向量，，满足||=||=1，•=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．B．1 C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知利用向量的数量积求出的夹角，利用向量的运算法则作出图形，结合图形可知O，B，C，A四点共圆．通过正弦定理求出外接圆的直径，求出||最大值．【解答】解：∵，且=，∴的夹角为120°，设，则，如图所示，则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠AOC=180°∴A，O，B，C四点共圆，∵，∴=3，∴||=．由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=，当OC为直径时，||最大，最大为2．故选：C．12．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）﹣tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=|xe x|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，，内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t 的取值范围．【解答】解：f（x）=|xe x|=当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）﹣f（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，），一个根在（内．再令g（m）=m2﹣m+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即t＞．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=2．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的坐标表示列式求得t值，结合向量同向进行取舍得答案．【解答】解：=（t，1）=（4，t），∵与共线，∴t2﹣4=0，解得t=±2．又与同向，∴t=2．故答案为：2．14．若4x+4﹣x=，则xlog34=±1．【考点】对数的运算性质．【分析】由4x+4﹣x=，可得3×（4x）2﹣10•4x+3=0，解得4x．再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵4x+4﹣x=，∴3×（4x）2﹣10•4x+3=0，解得4x=或3．∴或x=log43．则xlog34=±1．故答案为：±1．15．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC= 150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．16．已知G点为△ABC的重心，且满足BG⊥CG，若+=，则实数λ=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用G点为△ABC的重心，且满足BG⊥CG，得到=0，进一步得到用表示，得到三边关系，将所求转化为三角的弦函数表示整理即得．【解答】解：∵G点为△ABC的重心，且满足∴所以=0，展开得=0，即，∴5a2=b2+c2而==；故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，求a的值．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数可求得f（x）=sin（2x+）++a，从而可求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）由﹣≤x≤⇒﹣≤2x+≤⇒﹣≤sin（2x+）≤1，从而可求f（x）在区间[﹣，]上的值域为[a，a+]，继而依题意可求a的值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+（1+cos2x）+a=sin（2x+）++a，∴其最小正周期T=π；由2kπ+≤2x +≤2kπ+（k ∈Z ）得：kπ+≤x ≤kπ+（k ∈Z ），∴f （x ）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k ∈Z ）．（2）∵﹣≤x ≤，∴﹣≤2x +≤，∴﹣≤sin （2x +）≤1，∴a ≤sin （2x +）++a ≤+a ，即f （x ）在区间[﹣，]上的值域为[a ，a +]，又f （x ）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，∴a +a +=， 解得a=0．18．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a n =2S n ﹣1+2（n ≥2）；数列{b n }满足b 1+b 2+b 3+…+b n =n 2+n ．（1）数列{a n }是等比数列吗？请说明理由； （Ⅱ）若a 1=b 1，求数列{a n •b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）a n =2S n ﹣1+2（n ≥2），利用递推关系可得：a n +1=3a n ．n=2时，a 2=2a 1+2，只有当a 1=2时，满足a 2=3a 1，即可判断出结论． （II ）利用递推关系、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）∵a n =2S n ﹣1+2（n ≥2），a n +1﹣a n =（2S n +2）﹣（2S n ﹣1+2）=2a n ，化为a n +1=3a n ．n=2时，a 2=2a 1+2，只有当a 1=2时，a 2=6=3a 1， 此时数列{a n }是等比数列，否则不是等比数列． （II ）∵数列{b n }满足b 1+b 2+b 3+…+b n =n 2+n ， ∴n=1时，b 1=2=a 1，n≥2时，b n=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，n=1时也成立．∴b n=2n．此时数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n=2×3n﹣1．∴a n b n=4n×3n﹣1．∴数列{a n•b n}的前n项和T n=4（1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1），3T n=4（3+2×32+…+n×3n），∴﹣2T n=4（1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n）=4×，∴T n=（2n﹣1）×3n+1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2AB．（1）证明：PC⊥AB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知条件推导出四边形ABCD是菱形，从而得到CO⊥AB，AB⊥平面POC，由此能够证明AB⊥PC．（2）由已知条件推导出PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：连结AC，设AB的中点为O．连结PO，CO，∵PA=PB，O是AB的中点，∴PO⊥AB，∴四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴CO⊥AB，∴AB⊥平面POC，∵PC⊂平面POC，∴AB⊥PC．（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊥AB，PO⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设AB=2，由（1）得PA=PB=4，PO=，OC=，∴P（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（﹣2，，0），∴，，，设平面BCP的一个法向量，则，=0，∴，∴，设平面PCD的一个法向量为，则=0，=0，∴，∴，∴cos＜＞==，∵二面角B﹣PC﹣D的平面角是钝角，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．20．已知椭圆M： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b=，所以a=2，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤=，（k=±时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y ﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据，求出极坐标方程即可；（2）求出，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）因为，将其代入C1展开整理得：，∴圆C1的极坐标方程为：，l1消参得（ρ∈R），∴直线l1的极坐标方程为：（ρ∈R）．（2）⇒⇒，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【分析】（1）问题转化为5﹣m＜x＜m+1，从而得到5﹣m=2且m+1=4，基础即可；（2）问题转化为|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立，根据绝对值的意义解出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，解得：a≥6或a≤0．2017年2月11日。

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(广西)高三数学-广西钦州市钦州港区2017届高三上学期11月月考数学试卷(理科) Word版含解析

(广西)高三数学-广西钦州市钦州港区2017届高三上学期11月月考数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年广西钦州市钦州港区高三（上）11月月考数学试卷（理科）一、选择题1．若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．若函数f（x）=（ax﹣1）e x（a∈R）在区间[0，1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）4．已知函数f（x）=ax﹣x4，x∈[，1]，A、B是图象上不同的两点，若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是（）A．B．C．5 D．15．函数f（x）=ax（x﹣2）2（a≠0）有极大值，则a等于（）A．1 B．C．2 D．36．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为（）A．B．r C．r D．r7．有矩形铁板，其长为6，宽为4，需从四个角上剪掉边长为x 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x 等于（）A．B．C．D．8．设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．9．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a10．设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2011π），则函数f（x）的各极大值之和为（）A．B．C．D．11．设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n（x）=f n′（x），+1n∈N，则f2005（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx12．已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则（）A．f（2）＜e2f（0）B．f（2）≤e2f（0）C．f（2）=e2f（0）D．f（2）＞e2f（0）二、填空题13．函数f（x）=27x﹣x3在区间[﹣3，3]上的最小值是．14．若曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为．16．若直线y=kx﹣3与曲线y=2lnx相切，则实数k=．17．已知点P（2，2）在曲线y=ax3+bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么（i）ab=；（ii）函数f（x）=ax3+bx，的值域为．三、解答题18．已知函数f（x）=e x﹣x （e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|≤x≤2}且M∩P≠∅，求实数a 的取值范围；（3）已知n∈N﹡，且S n=∫t n[f（x）+x]dx（t为常数，t≥0），是否存在等比数列{b n}，使得b1+b2+…b n=S n；若存在，请求出数列{b n}的通项公式；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+c，且a=f′（）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=[f（x）﹣x3]•e x，若函数g（x）在x∈[﹣3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）试比较f（x）与g（x）的大小．21．函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c为常数）的图象过原点，且对任意x ∈R总有成立；（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）的解析式；（2）试比较与的大小关系．22．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．2016-2017学年广西钦州市钦州港区高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=xsinx+1在点处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据两直线垂直的条件列方程求解a．【解答】解：f'（x）=sinx+xcosx，，即函数f（x）=xsinx+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是，所以，解得a=2．故选D．2．若函数f（x）=（ax﹣1）e x（a∈R）在区间[0，1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数，分离参数，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=（ax﹣1）e x，∴f′（x）=（a+ax﹣1）e x，∵f（x）区间[0，1]上是单调增函数，∴f′（x）≥0对于x∈[0，1]恒成立，即a+ax﹣1≥0对于x∈[0，1]恒成立，即a≥对于x∈[0，1]恒成立，∵y=在x∈[0，1]上单调递减，∴函数的最大值为1，∴a≥1．故选：D．3．曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在P点处的导数，由导数值等于1求得P的横坐标，则答案可求．【解答】解：∵y=x2，∴y′=2x，设P（x0，y0），则，又曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，∴2x0=1，．∴．∴点P的坐标为（，）．故选：D．4．已知函数f（x）=ax﹣x4，x∈[，1]，A、B是图象上不同的两点，若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是（）A．B．C．5 D．1【考点】直线的斜率．【分析】先对函数f（x）求导，然后根据≤a﹣4x3≤4在x∈[，1]上恒成立可得答案．【解答】解：∵f（x）=ax﹣x4，∴f′（x）=a﹣4x3，x∈[，1]，由题意得≤a﹣4x3≤4，即4x3+≤a≤4x3+4在x∈[，1]上恒成立，求得≤a≤，则实数a的值是．故选：A5．函数f（x）=ax（x﹣2）2（a≠0）有极大值，则a等于（）A．1 B．C．2 D．3【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】利用导数分a＞0，a＜0两种情况求得f（x）的极大值，使其等于，解此方程即可求得a值．【解答】解：f′（x）=a（x﹣2）（3x﹣2），（1）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜或x＞2；由f′（x）＜0得＜x＜2，所以f（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减；此时，当x=时f（x）取得极大值f（）=a（﹣2）2=，解得a=；（2）当a＜0时，由f′（x）＜0得x＜或x＞2；由f′（x）＞0得＜x＜2，所以f（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递减，在（，2）上单调递增；此时，当x=2时f（x）取得极大值f（2）=2a（2﹣2）2=，无解；综上所述，所求a值为．故选B．6．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为（）A．B．r C．r D．r【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；扇形面积公式．【分析】假设梯形的上底长，将高用上底表示，从而表示出面积，利用导数求函数的最值．【解答】解：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，∵h=，∴S=（r+x）•，S′=，令S′=0，得x=，（x=﹣r舍），则h=r．当x∈（0，）时，S′＞0；当x∈（，r）时，S′＜0．∴当x=时，S取极大值．∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大．故选：D7．有矩形铁板，其长为6，宽为4，需从四个角上剪掉边长为x 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x 等于（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】长方体盒子的长为（6﹣2x），宽为（4﹣2x），高为x，容积V=（6﹣2x）（4﹣2x）x=4x3﹣20x2+24x，由此利用导数性质能求出要使容积最大的x值．【解答】解：长方体盒子的长为（6﹣2x），宽为（4﹣2x），高为x，由于盒子的长宽高都为正数，所以6﹣2x＞0，4﹣2x＞0，x＞0，解得0＜x＜2所以容积V=（6﹣2x）（4﹣2x）x=4x3﹣20x2+24x要求V的最大值，求V的导数，并求导数的零点V'=12x2﹣40x+24，令V'=0，解得x=，由于0＜x＜2，所以取x=，由于V'是开口向上的二次函数，x=是其左零点所以当x＜时，V'＞0；x＞时，V'＜0，即当x=时，V有极大值∴要使容积最大，x=．故选：A．8．设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．【解答】解：∵y=e x+ax，∴y'=e x+a．由题意知e x+a=0有大于0的实根，令y1=e x，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得﹣a＞1⇒a＜﹣1，故选A．9．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．【解答】解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0），于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．故选C10．设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2011π），则函数f（x）的各极大值之和为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意求导f′（x）=e x（sinx﹣cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx=0；从而确定极值点，再确定极大值点，从而求极大值，再由等比数列求和．【解答】解：∵f（x）=e x（sinx﹣cosx），∴令f′（x）=e x（sinx﹣cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx=0；则x=kπ，故函数f（x）的极大值点为π+2kπ，故函数f（x）的各极大值为eπ（sinπ﹣cosπ），e3π（sin3π﹣cos3π），e5π（sin5π﹣cos5π），…，e2009π（sin2009π﹣cos2009π）；即eπ，e3π，e5π，…，e2009π；故其和为eπ+e3π+e5π+…+e2009π==；故选D．11．设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n（x）=f n′（x），+1n∈N，则f2005（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx【考点】归纳推理．【分析】通过计算前几项，进行归纳分析，当计算到f4（x）时发现f4（x）=f0（x）出现了循环，所以可看成以4为一个循环周期，那么f2005（x）=f1（x）=cosx．【解答】解：f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，循环了则f2005（x）=f1（x）=cosx，故选C．12．已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则（）A．f（2）＜e2f（0）B．f（2）≤e2f（0）C．f（2）=e2f（0）D．f（2）＞e2f（0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．【解答】解：令g（x）=，则，因为f′（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，故，即f（2）＞e2f（0）．故答案为：D二、填空题13．函数f（x）=27x﹣x3在区间[﹣3，3]上的最小值是﹣54．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由于x∈[﹣3，3]，即可得出f′（x）=27﹣3x2=﹣3（x+3）（x﹣3）≥0，因此得到函数f（x）在区间[﹣3，3]上单调递增．即可得出最小值．【解答】解：∵x∈[﹣3，3]，∴f′（x）=27﹣3x2=﹣3（x+3）（x﹣3）≥0，∴函数f（x）在区间[﹣3，3]上单调递增．∴当x=﹣3时，函数f（x）取得最小值，f（﹣3）=﹣3×27﹣（﹣3）3=﹣54．故答案为：﹣54．14．若曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是a ＞0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，故f′（x）=0有实数解，运用参数分离，根据函数的定义域即可解出a的取值范围．【解答】解：∵曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0）∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解，∵x＞0，∴＞0，即a＞0．∴实数a的取值范围是a＞0．故答案为：a＞0．15．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．【考点】其他不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．【分析】设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g （x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x，∵f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）为减函数，又f（1）=1，∴f（log2x）＞=log2x+，即g（log2x）=f（log2x）﹣log2x＞=g（1）=f（1）﹣=g（log22），∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，∴0＜x＜2，则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．故答案为：（0，2）16．若直线y=kx﹣3与曲线y=2lnx相切，则实数k=2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=2lnx，∴y'=，设切点为（m，2lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，2lnm）处的切线方程为：y﹣2lnm=×（x﹣m）．它过点（0，﹣3），∴﹣3﹣2lnm=﹣2，∴m=e，∴k==2故答案为：2．17．已知点P（2，2）在曲线y=ax3+bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么（i）ab=﹣3；（ii）函数f（x）=ax3+bx，的值域为[﹣2，18] ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域；导数的几何意义．【分析】（1）对函数进行求导，根据在点P（2，2）的导数值等于9，且该点在曲线上可得到两个方程，联立的求得a，b的值，确定答案．（2）根据（1）中结果确定函数的解析式，然后求导数后令导函数等于0求出x 的值，然后判断函数在端点和极值的大小即可得到函数在闭区间上的最值，从而得到值域．【解答】解：（1）点P（2，2）在曲线y=ax3+bx则：8a+2b=2∵y'=3ax2+b∴当x=2 时，12a+b=9联立得：a=1，b=﹣3∴ab=﹣3（2）由（1）知y=x3﹣3x∴y'=3x2﹣3，令3x2﹣3=0，x=±1∵f（1）=1﹣3=﹣2，f（﹣1）=﹣1+3=2，f（3）=27﹣9=18，f（﹣）=﹣+=∴y=x3﹣3x在的最大值为18，最小值为﹣2，即值域为[﹣2，18]故答案为：﹣3，[﹣2，18]．三、解答题18．已知函数f（x）=e x﹣x （e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|≤x≤2}且M∩P≠∅，求实数a 的取值范围；（3）已知n∈N﹡，且S n=∫t n[f（x）+x]dx（t为常数，t≥0），是否存在等比数列{b n}，使得b1+b2+…b n=S n；若存在，请求出数列{b n}的通项公式；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；定积分；数列与函数的综合．【分析】（1）求出f（x）的导函数，令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数的符号，进一步判断出函数的单调性，求出函数的最小值．（2）要使不等式有解，分离出参数a，构造新函数g（x），求出g（x）的导函数，判断出g（x）的单调性，求出函数的最大值，令a小于最大值即可．（3）通过微积分基本定理求出S n，仿写等式求出数列的通项，利用等比数列的定义说明存在这样的等比数列．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣1由f′（x）=0得x=0当x＞0时f′（x）＞0．当x＜0时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，+∞）上增，在（﹣∞，0）上减∴f（x）min=f（0）=1（2）∵M∩P≠∅，∴有解由f（x）＞ax得e x﹣x＞ax即上有解令∴∴上减，在[1，2]上增又，且∴∴（3）设存在等比数列{b n}，b1+b2+…+b n=S n∵S n=∫t n[f（x）+x]dx=e n﹣e t∴b1=e﹣e t=（e﹣1）e n﹣1n≥2时b n=S n﹣S n﹣1当t=0时b n=（e﹣1）e n﹣1，数{b n}为等比数列t≠0时，则数{b n}不是等比数列∴当t=0时，存在满足条件的数b n=（e﹣1）e n﹣1满足题意19．已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+c，且a=f′（）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=[f（x）﹣x3]•e x，若函数g（x）在x∈[﹣3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）先求出函数的导数，得到f′（）=3×+2f′（）×﹣1，解出即可；（2）先求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而得到函数的单调区间；（3）问题等价于h（x）=﹣x2﹣3x+c﹣1≥0在x∈[﹣3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解出即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣1，当x=时，得a=f′（）=3×+2f′（）×﹣1，解之，得a=﹣1．（2）∵f（x）=x3﹣x2﹣x+c，∴f′（x）=3（x +）（x﹣1），列表如下：x（﹣∞，﹣（﹣，1）1（1，+∞）﹣）f′（x）+0﹣0+f（x）↗有极大值↘有极小值↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（﹣，1）．（3）函数g（x）=（﹣x2﹣x+c）e x，有g′（x）=（﹣x2﹣3x+c﹣1）e x，因为函数在区间x∈[﹣3，2]上单调递增，等价于h（x）=﹣x2﹣3x+c﹣1≥0在x∈[﹣3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是：c≥11．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）试比较f（x）与g（x）的大小．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）首先求出函数f（x）的图象与x轴的交点坐标（1，0），代入函数g（x）后得到关于a，b的等式，再由两函数在（1，0）处由公切线，得到关于a，b的另一等式，两式联立即可求得a，b的值；（Ⅱ）令辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），把函数f（x）和g（x）的解析式代入，整理后求出其导函数，由导函数可知F（x）在定义域（0，+∞）内是减函数，然后分0＜x＜1，x=1，x＞1进行大小比较．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=lnx=0，得x=1，所以函数f（x）=lnx的图象与x 轴的交点坐标是（1，0），依题意，得g（1）=a+b=0 ①又，，∵f（x）与g（x）在点（1，0）处有公切线，∴g′（1）=f′（1）=1，即a﹣b=1 ②由①、②得a=，；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x），则，函数F（x）的定义域为（0，+∞）．∵≤0，∴函数F（x）在（0，+∞）上为减函数．当0＜x＜1时，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）；当x=1时，F（x）=F（1）=0，即f（x）=g（x）；当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）．综上可知，当0＜x≤1时，f（x）≥g（x）；当x＞1时，f（x）＜g（x）．21．函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c为常数）的图象过原点，且对任意x ∈R总有成立；（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）的解析式；（2）试比较与的大小关系．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由f（x）图象过原点可得f（0）=0，由对任意x∈R总有及最大值为1得f（）=1，且有f′（）=0，联立方程组可解；（2）由（1）可知、c=﹣b，为最大值，从而知b＞0，a＞0，而、，利用作差可比较大小；【解答】解：（1）由题意，得，解得，∴．（2）由（1）可知、c=﹣b，∴，，∴，∴，即．22．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数在某点取得极值的条件．【分析】（I）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），及函数g（x）=ax﹣lnx．我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）==f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，故此时（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0≤a≤e。

广西高级中学2017届高三11月阶段性检测理数试题 含解析

广西高级中学2017届高三11月阶段性检测理数试题 含解析

广西高级中学2017届高三11月阶段性检测理数试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

) 1.已知集合{}3,2,1M =---,{}|(2)(3)0N x x x =+-<，则M N 等于（）A ．{}1-B ．{}2,1--C ．()2,1--D ．()3,3-【答案】A考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.2.已知i 是虚数单位，若312i i z=-+，则z 的共轭复数z 等于（ ）A ．2133i +B ．2133i -C ．6355i +D ．6355i -【答案】C 【解析】试题分析：因为()()()3123631212125i i i i z i i i ---===-+-+--，所以6355z i =+,故选C.考点:1、复数的运算；2、共轭复数的定义. 3.在等差数列{}na 中,3611aa +=，5839a a +=，则公差d 为( ）A ．14-B ．7-C ．7D ．14【答案】C 【解析】试题分析：因为等差数列{}na 中,3611aa +=，5839a a +==，由()()58363911428a a a a d +-+=-==，得7d =.故选C.考点:等差数列的性质.4。

如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为（ ） A ．685B ．695C ．14D ．715【答案】D考点：1、茎叶图的应用；2、中位数与平均值的性质。

5.已知2a >，函数,1,()log ,1,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩则[](2)f f 等于（ )A ．2aB ．log 2aC ．2D ．log(log 2)aa【答案】C 【解析】试题分析：因为2a >，函数,1,()log ,1,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，所以，由21>得()2log 2a f =，因为log21a<，所以[]log 2(2)2a f f a ==，故选C.考点：1、分段函数的解析式；2、对数与指数的性质。

【月考试卷】广西桂林市2017届高三上学期第二次月考数学(理)试题 Word版含答案

【月考试卷】广西桂林市2017届高三上学期第二次月考数学(理)试题 Word版含答案

结束y=log 2x输出yy=x 2-1否是x >2?输入x开始桂林市第十八中学14级高三第二次月考试卷理科数学注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间：120分钟 。

答卷前，考生务必将条形码、姓名和考号张贴和填写答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.{}{}{}{}{}{}{}1.|15,1,2,3,1,2A.3 B.1,3 C.1,2,3D ,2 .1u U x Z x A B A C B ∈≤≤== 已知全集==,则2.(1)2, A.1 B.1 C. D.z i z i z i i-=--设复数满足则的虚部为222223.2 A.2 B. 2 C.2 D . =2n nnn np n N n p n N n n N n n N n n N n ∃∈>⌝∀∈>∃∈≤∀∈≤∃∈设命题：,,则为,,,,34.1.ln B. C. D.x xy x y x x y y e e x-A ==-=-=-下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是5.执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为 A . 1 B. 2 C. 3 D. 4360,6.,20,230, A.7 B.4 C.1D .2x y x y x y z y x y +-≥⎧⎪--≤=-⎨⎪-≤⎩--设变量满足约束条件则目标函数的最小值为()[]()7.0,2y f x f x π=若的导函数在区间上的图像如右图所示，则的图像可能是{}5311018.S 2,2,1053S 8101132A. B. C. D.9111233n n n S S a n a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭设是等差数列前项和，若则数列的前项和T9.sin ()(0)5 A.B. C. D.12636y x x x R m m y m ππππ=+∈>将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值为10. A 72B108 C144 D 288现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位同学发出录取通知书，若这四位学生都愿意进这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的就读方式有.种 .种 .种 .种()11.某几何体的三视图如图所示单位：cm ,则该几何体的体积为.5 B.6 C.7 D.15A()()()()()2212.2,2,08A. B.C. D.x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>设函数满足：则时，有极大值，无极小值有极小值，无极大值既有极大值，又有极小值既无极大值，又无极小值第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

广西桂林市桂林中学高三数学11月月考试题 文

广西桂林市桂林中学高三数学11月月考试题 文

桂林中学2017届高三文科11月月考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1} 2.=-+2)1(21i i（ ）A. i 211-- B. i 211+- C. i 211+D. i 211- 3. 命题“3[0)0x x x ∀∈∞+≥，+，”的否定是 （ ）3333000000.(,0)0.(,0)0.[0)0.[0)0A x x xB x x xC x x xD x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈∞+<∃∈∞+≥，，，+，，+，4. 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 5. 为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数2cos3y x =的图像（ ）A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位6. 已知函数)10为常数.其中()(log ≠>+=,a a a,c c x y a 的图像如右图，则下列结论成立的是( )A 、11>>,c aB 、101<<>c ,aC 、1,10><<c aD 、1010<<<<c ,a7. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A. 34 B. 55 C. 78 D. 898. 平面向量)2,1(=a ρ，)2,4(=b ρ，)(R m b a m c ∈+=ρρρ，且c ρ与a ρ的夹角等于c ρ与b ρ的夹角，则m=（ ）A.-2B.-1C.1D.2 9. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cmB. 390cmC. 3108cmD. 3138cm10. 设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得()22123,PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为（ ）21541711. 已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中错误的是（ ）A ．()(),0y f x π=的图像关于中心对称 B.()2y f x x π==的图像关于对称C.()32f x 的最大值为D.()f x 既是奇函数，又是周期函数12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ） A.]61,61[- B.]66,66[- C. ]31,31[- D. ]33,33[-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷的横线上.） 13. 若变量x,y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x+y 的最大值为 .14. 设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=_ .15. 设函数2222, 0(), 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若(())2f f a =，则a ＝_________.16. 在△ABC 中,∠C =90°,M 是BC 的中点.若1sin 3BAM ∠=,则sin ∠BAC = .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和.18. （本小题满分12分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（II ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.19. （本小题满分12分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C D B ⊥P()2证明：求点C 到平面D P A 的距离．20. （本小题满分12分）设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈, （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ；21. （本小题满分12分）双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A 、B 两点.A DPBC（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3b =，若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.请考生在22、23两题中任选一题作答。