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第六章 偏振-光在电介质表面的反射和折射 菲涅尔公式

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菲涅耳公式

菲涅耳公式

讨论： A
i1 iB
i1 i2 / 2
rp 0 rp 0
当
n1 n2 , i1 i2 时
1
rs 0 rs 0
当n
n2 , i1 i2
时
当光从光疏介质向光密介质入射时， 反射光发生相位突变。 B
当
i1 iB
i1 i2 / 2
n1 n2 , i1 i2
反射、折射时的偏振现象
入 射 角 i1 0 反射光偏振态 自然光 部分偏振光（自然光＋S 光） 折射光偏振态 自然光 部 分 偏 振 部分偏振光（自然光＋S 光） 光 自然光
iB
线偏振光（S 光）

2
(ic )
自然光
三、维纳(O.Wiener 1890年)实验证明—— 电场是主要的
光与物质的相互作用，本质上是光与电子的相互作用。运 动的电子既有电荷亦有磁矩，光是电磁波。在光与电子的相互 作用中，是电场起主要作用，还是磁场起主要作用，还是电场 和磁场起等同的作用？-----维纳实验回答了这个问题。
, ,
E 2 s y 0 A2 s
exp i ( k r ' t ) exp i ( k r t )
2 2
其中:
k1 x 0 k1 sin i1 z 0 k1 cos i1 k1 ' x 0 k1 ' cos i1x ' y 0 k1 ' cos i1 y ' z 0 k1 ' cos i1z ' k 2 x 0 k 2 cos i2 x y 0 k 2 cos i2 y z 0 k 2 cos i2 z

2.4 光在电介质表面的反射与折射

2.4 光在电介质表面的反射与折射

i2 )
由于i1,i2均为锐角，因此 δt = − arg t ≡ 0
即：无论何种情况，透射率总是正实数，其幅角为0。说明 折射时不会出现相位的突变。
4.4 位相关系与半波损
(2) 反射
r%s
=
−
sin(i1 sin(i1
− i2 ) + i2 )
=
r eiδrs
s
r%p
=
tan(i1 tan(i1
4.4 位相关系与半波损
例：正入射时，反射光 p, s 分量的位相改变
n1<n2
n1>n2
4.4 位相关系与半波损
例：n1<n2，掠入射时，反射光 p、s分量的位相改变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
半波损
∆L′ = ∆L ± λ 2
正入射或掠入射时，当光从光疏媒质向光密媒质传播时，反射光的 λ/2 附加光程差称为半波损失。从光密媒质向光疏媒质传播时的反射、以 及透射光没有半波损失。
>
i2
),
i1 i1
< >
iB iB
: δrp : δrp
= =
0 π
δ rs
≡
π
n1
>
n2 (i1
<
i2, i1
<
ic
),
i1 i1
< >
iB iB
: δrp : δrp
=π =0
δ rs
≡
0
iB
=
arctan
n2 n1
4.4 位相关系与半波损
反射波的位相差
此处的位相（正负）是相对所取坐标系定义的，并不意味着实际 的反方向，仅在少数情况有实际意义。

第六章 偏振-光在电介质表面的反射和折射 菲涅尔公式

第六章 偏振-光在电介质表面的反射和折射 菲涅尔公式
2
Z s n 1 cos i1 in 2
n1 i s sin i1 1 A s e n 2
2
rs
Zs Z
* s

e e
i s
i s
e
i 2 s
e
2
i s
n2
s 2 s 2 arctg
n1 sin i1 1 n 2 n 1 cos i1
i B arctg
n2 n1
当材料处于空气或真空中时， iB=arctgn。例如玻璃的n=1.52, iB =57º 白宝石n=1.73, iB=60º 红外 ; ; 材料硅n=3.3, =74º 锗n=4.0, iB ; =76º 。
布儒斯特定律的应用 玻片堆
布儒斯特窗
2. 斯托克斯 ( Stokes ) 定律
i1 arcsin
n 0 sin i 0 n1
arcsin
sin 45 1 .5
o
cos i1 0 . 8819
水中的折射角
i 2 arcsin
sin 45 1 .3
o
, cos i 2 0 . 8391
空气—玻璃界面上的反射率为
R p1 r
2 p1
n1 n0 cos i 0 cos i1 0 . 0085 0 . 85 % n0 n1 cos i 0 cos i1
R s 总 9 . 959 %
R总
R p总 R s总 2
5 . 51 %
T总 1 R 总 94 . 49 %
4. 全反射
实验证明在全反射时界面附近是有透射波的。
入射的波线是在界面的另一处返回，成为反射波的波线。 1947年观察到在玻璃—空气界面上全反射时的移位现象。

光波在介质界面上的反射和折射

光波在介质界面上的反射和折射

(3) 应用
3、全反射 、
• 设光波从光密介质射向光疏介质(n 设光波从光密介质射向光疏介质 1>n2)， ， 折射角θ 大于入射角θ 折射角 2 大于入射角 1 。 当 sinθ1 ＝ n2/n1 时 ， θ2 这时折射角沿界面掠过。 为 90o ， 这时折射角沿界面掠过 。 若入射角再 增大， 增大，使sinθ1>n2/n1 ，这时不能定义实数的折 射角。 的入射角θ 称为临界角， 射角 。 使 θ2=90o 的入射角 1 称为临界角 ， 记作 θc即 即
2、反射系数和透射系数
rp =
E0 rp E0ip
n2 cosθ1 − n1 cosθ2 tan(θ1 − θ2 ) = = n2 cosθ1 + n1 cosθ2 tan(θ1 + θ2 )
2n1 cos θ1 2 cos θ1 sinθ 2 = = n2 cos θ1 + n1 cos θ 2 sin(θ1 +θ 2) cos(θ1 −θ 2)
8
2、Fresnel公式－p波 Fresnel公式－ 公式
1、基本关系
e z × ( E0i + E0 r ) = e z × E0t e z × ( H 0i + H 0 r ) = e z × H 0t
H 0ip + H 0 rp＝H t 0 p E0ip cos θi − E0 rp cos θ r＝Et 0 p cos θ t
n2 θ c = arcsin n1
当 θ1≥θc时， 没有折射光， 入射光全部返回 时 没有折射光， 介质1，这个现象为全反射。 介质 ，这个现象为全反射。
16
4、全反射 (1) 定义
当透射波传播方向和法线夹角等于90度时发生的物理现 当透射波传播方向和法线夹角等于90度时发生的物理现 90 发生全反射的最小角度称为临界角( 象。发生全反射的最小角度称为临界角(θc)。

2.10光在电介质表面的反射和折射菲涅尔公式(修正版)

2.10光在电介质表面的反射和折射菲涅尔公式(修正版)

p s

W1'p WW11'sp W1s
Rp Rs
p s
W2 p
WW12ps W1s


cos i2
ccoossii12 cos i1
Tp
Ts
(4) 能量守恒公式：
W1'p W2 p W1p ，W1's W2s W1s
p p 1 ，s s 1
E2s均为复数 E1ss1
E1P E1'


A1P exp(i1p ), E1s
A1' exp(i1' ) E1' p

p1'
A1sEe1x'sps1(' i1s
)
E1' p E2

A1' p exp(i1' p ), A2 exp(i2 )
E1's

A1's
（2）当 i1 iB 时，i1 i2 900
rp

tan( i1 tan( i1
i2 ) i2 )
tan(i1 i2) 0 ，tan(i1 i2 ) 0
rp 0 ，是负的实数
rp rp rp exp(i )
'p(out) ，有相位突变 p(out) 的相位突变如图所示
Rp

cos i2 cos i1
TP
1
，Rs

cos i2 cos i1
Ts
1
rp
2 n2 cos i2 n1 cos i1
tp
2
1
，rs
2 n2 cos i2 n1 cos i1

菲尼尔公式

菲尼尔公式

菲涅尔公式是描述光在两种介质交界面上反射和折射现象的一组公式，由法国物理学家菲涅尔在19世纪提出。

该公式包含了入射光线的角度、两种介质的折射率以及反射和折射光线的角度等因素。

菲涅尔公式可以用来计算反射和透射光线的强度和相对方向，是光学研究中非常重要的工具。

它的表达式形式较为复杂，包括两个方程式：一个是描述垂直入射光线的情况，另一个是描述斜入射光线的情况。

具体表达式如下：
垂直入射光线：
反射系数R = ((n1-n2)/(n1+n2))²
透射系数T = 1-R
斜入射光线：
反射系数R = ((n1cosθ1 - n2cosθ2)/(n1cosθ1 + n2cosθ2))²
透射系数T = 1-R
其中，n1和n2表示两种介质的折射率，θ1和θ2表示入射光线和反射/折射光线的夹角（取决于光线从哪种介质入射），cos表示夹角的余弦值。

- 1 -。

光波在介质界面上的反射和折射 菲涅耳公式

ki sini kr sin r ki sini kt sin t
( ki k r ) r 0 ( ki k t ) r 0
(123) (124)
n1 n2 O
kr ki kt
r
B
分界面
(121) (122)
i
t
A C
2.1 反射定律和折射定律 又因为 k n / c ，可将上二式改写为
H ip cos1 H rp cos1 H tp cos 2 (132)
利用
H E ，上式变为
(Eis Ers )n1cos1 Ets n2 cos 2 (133)
3. 菲涅耳公式 再利用折射定律，并由（131）式和（133）式消去 Ets，经整理可得
Ers sin ( 2 1 ) Eis sin ( 2 1 )
sin (1 2 ) rs =sin (1 2 )
(134)
(Eis Ers )n1cos1 Ets n2 cos 2 (133)
3. 菲涅耳公式 利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数和透射系 数表示式， 这就是著名的菲涅耳公式：
O
kr
2
Ers k t
1.s 分量和 p 分量
E p1
H s1
z
1 Hs
E p2 H s2
y
o
E p1
x
2. 反射系数和透射系数 假设介质中的电场矢量为
El E0l e－i(l t－kl r ) l i, r, t ( 127)
其 s 分量和 p 分量表示式为
Elm E0lm e－i(l t－kl r ) m s, p （ 128）
2. 反射系数和透射系数 则定义 s 分量、p 分量的反射系数、透射系数分别为

光波在介质界面上的反射和折射 菲涅耳公式


m s , p （ 1 2 8 ）
Ers sin(2 1) Eis sin(2 1)
(k ik r)r0 (1 2 1 )
rm
E0rm E0im
(129)
3. 菲涅耳公式 由 （134）式和（133）式消去 Ers，经运算整理得
ts=-n1co2 sn11con s2 c1os2
(135)
rs=-ssiinn((1122))
(134)
( E i s E r s ) n 1 c o s 1 E t s n 2 c o s2( 1 3 3 )
3. 菲涅耳公式
利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数和透射系 数表示式， 这就是著名的菲涅耳公式：
rs
sin(12)=n1cos1n2cos2 sin(12) n1cos1n2cos2
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为 无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面光波, 其电场表示式为
E l E 0 le － i( lt－ k lr) l i,r,t(1 1 9 )
z
ki 1 2
(ki kr)r0 (121) (ki kt)r0 (122)
kr
B
r
n1 O
n2
ki 分界面
kt
i A
t
C
2.1 反射定律和折射定律 又因为 k n/c ，可将上二式改写为
nisini nrsinr (125) nisini ntsint (126)
这就是介质界面上的反射定律和折射定律，折射定 律又称为斯涅耳（Snell）定律。
n

光的偏振2


2 p( s)
，rp 0
2 2 （ －r ） (1 r ) 1 1 (1 rs ) P 2 2 (1 r ) (1 r ) 1 (1 rs ) 2 2 p 2 2 p 2 2 s 2 2 s
i1 i2 iB i2 90
0
n1 cos i1 n2 cos i2 n1 cos i B n2 sin i B rs n1 cos i1 n2 cos i2 n1 cos i B n2 sin i B
则： tan iB
1
n2 ，称 i B为布儒斯特角 n1
1
1
2
2
此时电矢量的平行分量完全不能反射，反射光 中只剩下垂直分量，即反射光为线偏振光。
以布儒斯特角入射的特点
i2 90 0 （2） i2 i' B i B i ' B 90
（1） i1
0
i1 i B
（3） 反射光线与折射光线互相垂直 （4）反射光是垂直入射面振动的线偏振光
' 1s
2n1 cos i1 2 cos i1 sin i2 E2 s E1s E1s n1 cos i1 n2 cos i2 sin( i2 i1 )
二、反射率和透射率
1. 振幅反射率和透射率
E1' P E1' s rp , rs E1P E1s
,tp
E2 p E1P
E2 s , ts E1s
tp E2 p E1 p 2n1 cos i1 2 cos i1 sin i2 n2 cos i1 n1 cos i2 sin( i2 i1 ) cos(i1 i2 )
E2 s 2n1 cos i1 2 cos i1 sin i2 ts E1s n1 cos i1 n2 cos i2 sin( i2 i1 )

6-2 光在电介质表面的反射和折射 菲涅耳公式A


（1）折射光的相位跃变 ） （2）反射光的相位跃变 ）
′ δ p = −arg rp δs′ = −arg rs δ p = −argt p δs = −argts
§2 光在电介质表面的反射和折射 菲涅耳公式
第六章 偏振
A:折射光永远无相移 A:折射光永远无相移 由 ~= tp
2n1 cos i1 2n1 cos i1 ~= ts n2 cos i1 + n1 cos i2 n1 cos i1 + n2 cos i2
i1 < iB i1 = iB
i1 > iB
时
i1 + i2 < 90
o
rp > 0, δp = 0 rp = 0
rp < 0, δp = π
时 i1 + i2 = 90
o
i1 + i2 > 90o 时
§2 光在电介质表面的反射和折射 菲涅耳公式
第六章 偏振
（2）内反射 S光 P光
n1 > n2 , i1 < i2
rs > 0, δs = 0
i1 < iB i1 = iB iC > i1 > iB
i1 > iC
rp < 0, δp = π rp = 0 rp > 0, δp = 0
全反射
（
§2 光在电介质表面的反射和折射 菲涅耳公式
第六章 偏振
有些情况下， 有些情况下，界面反射波的电矢量相对入射波可能发 生方向反转， 生方向反转，这种反转相当于产生了相位跃变 ± π 为使相位和光程之间的正比关系任然成立， 为使相位和光程之间的正比关系任然成立，引入
{
{
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2
2
Rs2 r
2 s2
n 1 cos i1 n 2 cos i 2 0 . 92 % n cos i n cos i 1 2 2 1
R p总
R p1 R p 2 2 R p1 R p 2 1 R p1 R p 2
1 . 066 %
§10 光在电解质表面的反射和折射 菲涅耳公式 一. 菲涅耳公式
在光的电磁理论建立以前， 1823年法国的菲涅耳把光当作 弹性波，导出了反射光和透射 光的相对振幅，进一步说明了 反射定律和折射定律。不过， 这只是唯象的，缺乏统一性的 本质说明。后来又重新用电磁 场理论导出有关的关系式。亥 姆霍兹在1870年首先得到了边 值关系，1877年洛伦兹又从边 值关系推导出光在两种介质界 菲涅耳 面上的传播规律。 （A.J. Fresnel, 1788-1827)
n 1 cos i1 n 2 cos i 2 n 1 cos i1 n 2 cos i 2
E1
令
s n cos i
称为s光的等效折射率，则
rs
ts E2 E1 2 n 1 cos i1
1s 2 s 1s 2 s
n 1 cos i1 n 2 cos i 2
ts
2 sin i 2 cos i1 sin i1 i 2
二. 讨论 1. 布儒斯特（D. Brewster, 1781-1868）定律 在理论上，布儒斯特定律可由菲涅耳公式导出，但 这个定律是布儒斯特在菲涅耳公式提出之前由实验发现 的。
rp
tg i 2 i1
tg i 2 i1
1 sin
2
i2
n1 1 n sin i1 2
2
n1 i n sin i1 1 2
2
2
n1 cos i1 in 2 rs n1 cos i1 in 2
n1 sin i1 1 n 2 n1 sin i1 1 n 2
i B arctg
n2 n1
当材料处于空气或真空中时， iB=arctgn。例如玻璃的n=1.52, iB =57º 白宝石n=1.73, iB=60º 红外 ; ; 材料硅n=3.3, =74º 锗n=4.0, iB ; =76º 。
布儒斯特定律的应用 玻片堆
布儒斯特窗
2. 斯托克斯 ( Stokes ) 定律
根据折射定律和三角函数关系，这四个 式子可以化为完全以角度表示的形式： tg i 2 i1 sin i 2 i1 rp rs tg i 2 i1 sin i 2 i1 2 sin i 2 cos i1 tp sin i1 i 2 cos i1 i 2
2 2

R1
T1 R 2 1 R1 R 2
2
R1
1 R1
2
R2
1 R1 R 2

R 1 R 2 2 R1 R 2 1 R1 R 2
当R1=R2=R时
R总
2R 1 R
复合透镜 如不加树胶，则在两界面正入射的
反射率为
n1 1 . 7 , n 2 1 . 5 , n 1 . 6 1 1 .7 R1 6 .7 % 1 1 .7
从(1)和(5)中消去E’1，得
2 n1 cos i1 E 1 n1 cos i 2 n 2 cos i1 E 2
则p光的振幅透射率为
tp
E2 E1

2 n1 cos i1 n 1 cos i 2 n 2 cos i1
s光
各矢量的方向以图中所示为正方向
rs E
' 1

1 1 .5 R2 4% 1 1 .5
2 ' 1
2
2
若以n=1.6的树脂胶合，则
2
1 .6 1 .7 1 .6 1 .5 ' R 0 . 1 %, R 2 0 .1 % 1 .6 1 .7 1 .6 1 .5
2
2
R s1
n 0 cos i 0 n 1 cos i1 0 . 092 9 . 2 % r n cos i n cos i 0 1 1 0
2 s1
玻璃—水界面上的反射率为
R p2 r
2 p2
n2 n1 cos i1 cos i 2 0 . 22 % n1 n2 cos i1 cos i 2
为了便于运算，可将光波 分解为两种线偏振光。一种偏 振方向垂直于入射面，叫做s 光（或光，或TM波），另一 种偏振方向平行于入射面，叫 做p光（或光，或TE波）。
规定的sp光
各矢量的方向以图中所示为正方向
E 1 cos i1 E cos i1 E 2 cos i 2
i 2 i1
2
tg i 2 i1
rp 0

满足这一条件的入射角叫做布儒斯特角（又称全偏振 角，或起偏角），记为iB。由折射定律知
n 1 sin i B n 2 sin i B n 2 cos i B 2
tgi B
n2 n1
光从空气射入几种不同材料时的反射率与入射角的关系 在i=iB附近，与差别极大。阳光斜入射时，反射光 具有明显的偏振性质。用适当的偏振眼镜可以大大减少 前方太阳光通过路面（或水面）反射所致的炫目，这对 驾驶员是很有利的。
例 一方型玻璃(n1=1.5)缸中盛有n2=1.3的水，问自然光以 45º 入射至玻璃壁时，能透入水中的能流为入射能流的百 分之几？ 解：由折射定律得玻璃中的折射角
r p rs
n1 n 2 n1 n 2
rs
n1
掠入射
rp 1 rs 1
洛埃镜
' 1
故p光的振幅反射率为
n1 cos i1 n1 cos i1
rp
E
' 1

n1 cos i 2 n 2 cos i1 n1 cos i 2 n 2 cos i1

n2 cos i 2 n2 cos i 2
E1
令
p
n cos i
，称为p光的等效折射率，则
rp
1 p 2 p 1 p 2 p
n1

p
2 arctg
n1 sin i1 1 n 2 n 2 cos i1
2
在两种介质的界面上发生全反射时，光并不是在界 面上立即返回第一介质，而是先进入第二介质再返回第 一介质。因此，返回的光与入射光就有了一定的相位差。
反射光相位变化与入射角的关系
2
Z s n 1 cos i1 in 2
n1 i s sin i1 1 A s e n 2
2
rs
Zs Z
* s

e e
i s
i s
e
i 2 s
e
2
i s
n2
s 2 s 2 arctg
n1 sin i1 1 n 2 n 1 cos i1

sin i 2 2 sin i 2 2

cos i 2 cos i 2
1
上述结论与两种介质的折射率无关。由振幅反 射系数对入射角的连续性可以想到：在掠入射时s光 和p光都有很高的反射系数，任何光滑的介质面都成 为一个良好的反射镜。平静的湖面能强烈地反射夕 阳的光芒，或清晰地显示远处景物的倒影；窗玻璃 也能反射出刺眼的阳光（或灯光）。这些都是很容 易观察到的现象。
2
2
R 2 , 3 T1 R R1 , 4 T1 R R ,
2 2 2
R 总 R1 T1 R 2 T1 R 2 R1 R 2 T1 R 2 R1 R 2
2
R 1 T1 R 2 1 R 1 R 2 R R
2 1
i1 arcsin
n 0 sin i 0 n1
arcsin
sin 45 1 .5
o
cos i1 0 . 8819
水中的折射角
i 2 arcsin
sin 45 1 .3
o
, cos i 2 0 . 8391
空气—玻璃界面上的反射率为
R p1 r
2 p1
n1 n0 cos i 0 cos i1 0 . 0085 0 . 85 % n0 n1 cos i 0 cos i1
R s 总 9 . 959 %
R总
R p总 R s总 2
5 . 51 %
T总 1 R 总 94 . 49 %
4. 全反射
实验证明在全反射时界面附近是有透射波的。
入射的波线是在界面的另一处返回，成为反射波的波线。 1947年观察到在玻璃—空气界面上全反射时的移位现象。
cos i 2
斯托克斯 定律是斯托克斯 在菲涅耳公式出现以前从 光的可逆性原理推导出来的。从菲涅耳公式出发也可以证 明它。
1 2 : r,t
2
2 1 : r ', t'
r tt ' 1
r' r
3. 反射率与透射率
振幅、光强、能流
2 2 2 2 3 2 2 1
1 R1 , 2 T1
设光从空气垂直射向折射率为1.5的玻璃的表 面，得R=r2=0.22=0.04，相应地有T=1-R=0.96。光 的能量有4%反射，96%透入第二介质。若从玻璃 射向空气，结果一样。不可小看这的反射光，有 些问题中它很重要。 例如，现代一个普通的照相机镜头由六片、七 片或更多的透镜组成。就算六片，共12个表面。 若每表面都 单独按正入射公式计算，入射光透过 镜头的能量只占0.961260%。更糟糕的是各次反射 光经多次反射后有相当一部分进入相机而成为杂 散光，严重影响摄影质量，使精心设计制造的组 合镜头变得没有用处。这类情况下设法减小每个 表面的反射率是非常重要的问题。