山西省晋中市四校(晋商四校)2016届高三数学上学期期中联考试题 理
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2015-2016学年度“晋商四校”高三联考数学试卷（理科）本试卷满分150分 考试时间120分钟一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上） 1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 设向量=，=，则“”是“//”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．充分而不必要条件3.曲线x e y 21=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．229e B.24e C.22e D.2e 4. 下列命题错误的是（ ） A ．命题“”的逆否命题是“若或，则”B ．“”是””的充分不必要条件C ．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D ．命题：存在,使得，则：任意,都有5．使()sin(2))f x x x θθ=++为奇函数，且在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的θ的一个值是（ ）A .43π B . 23π C . 3π D .3π- 6.为了得到函数sin 2cos 2y x x =+的图像，只需把函数sin 2cos 2y x x =-的图像( )A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位D ．向右平移2π个长度单位7．已知非零向量a r ，b r 满足a b a +=-r r r a b +r r 与a b -r r 的夹角为（ ） A .56π B .6π C .23π D .3π8．已知正实数a ,b 满足不等式1ab a b +<+,则函数()()log a f x x b =+的图象可能为（ ）9. 若，，均为单位向量，且，则的最大值是（ ） A ．1B ．C ．D ．10. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若2132112364(...),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ） A ．27 B ．81 C ．243D ．72911．已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，且当)0,(-∞∈x 时，0)()(<'+x f x x f 成立，)2(22.02.0f a =,)2(ln )2(ln f b =,)41(log )41(log 2121f c =，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知点O 是在△ABC 内部一点，且满足2340OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r，则三角形△AOB，△BOC，△AOC 的面积之比依次为（ ）A ．4:2:3B ．2:3:4C ． 4:3:2D ．3:4:5第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知,2,3a b a b ⊥==r r r r ，且2a b +r r 与a b λ-r r垂直，则实数λ的值为 .14.已知1cos 2sin cos ,(0,),22sin()4πααααπα-=∈=-则 .15.已知0ln ,0()(22),0txx x f x t e dt x >⎧⎪=⎨+-≤⎪⎩⎰ ，则函数()f x 的零点的个数为_______. 16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2)32f x f x f -=-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2()n n a S a n n N *=-=+∈，则56()()f a f a += . 三、解答题(本大题6小题共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
) 17．（本小题10分） 已知p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，2260280x x q x x x ⎧--≤⎨+->⎩：实数满足（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围.（2）若p q ⌝⌝是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 18．（本小题12分）已知函数．（1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最大值和最小值及取得最值时相应的值．19．（本小题12分） 已知(cos ,1),(2cos ,),m x x n x y =+=-u r r 满足0m n ⋅=u r r .（1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；（2）已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()32A f =，且2a =，求ABC ∆面积的最大值． 20.（本小题12分）已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中154=a （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n b ,有1+=n na nb ，求数列{}n b 的前n 项和n s . 21.（本小题12分）已知函数1ln ()()xf x e x+=其中为自然对数的底数. (1)若1()(,)(0)3f x a a a +>在区间上存在极值点,求实数a 的取值范围； (2)当1x ≥时,不等式()1kf x x ≥+恒成立,求实数k 的取值范围. 22. （本小题12分）已知函数x ax x x f ln )(2-+=， .a R ∈ （1）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （3）当∈x ],0(e 时，证明： x x x x e ln )1(2522+>-2015—2016学年度“晋商四校”高三联考数学参考答案与评分标准（理科）一．选择题B D DC B AD B B C B A二、填空题 13．9214. 214- 15． 3 16．3三、解答题(本大题6小题共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
) 17．（本小题10分）解：（1）由22430(3)()003x ax a x a x a a a x a -+<--<><<得，又，所以 当11313a x p x x =<<<<时，，即为真时，实数的取值范围是 ……2分由22602323280x x x q x x x x ⎧--≤<≤<≤⎨+->⎩得，即为真时，实数的取值范围是 …4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x << ………… 6分（2）:3:23p x a x a q x x ⌝≤≥⌝≤>或，或 ………………9分由p q ⌝⌝是的充分不必要条件，有021233a a a <≤⎧<≤⎨>⎩，得 故实数a 的取值范围是(]12，………………12分 18（本小题12分）（1）……4分∴………………6分（2）∵，∴,∴，∴………………8分当，即时，………………10分 当，即时，………………12分19．（本小题12分）解：（1）22cos cos 2cos 21m n x x x y x x y ⋅=+-=++-2sin(2)10,6x y π=++-=所以()2sin(2)16f x x π=++，……………3分令2[2,2]622x k k πππππ+∈-+，得[,],()36x k k k Z ππππ∈-+∈()f x 的单调递增区间是[,],()36k k k Z ππππ-+∈………………6分（2）()2sin()13,sin()1,266A f A A ππ=++=∴+=又7(,),,66662A A πππππ+∈∴+=.3A π∴=……………8分在ABC ∆中由余弦定理有,222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=可知4bc ≤(当且仅当b c =时取等号),11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⋅=即ABC ∆ ………………12分20．（本小题12分） （1）∵，∴………2分，∴且，∴数列{}是公比为2的等比数列………………4分∴，∴即数列的通项公式为………………6分（2）由（1）知， ∴ =………………8分∴ ①， ②①-②得，∴，整理得.………………12分21.（本小题12分）解: (1)当0x >时,有21(1ln )1ln ()x x xx f x x x⋅-+⋅'==- ………………2分 ()0ln 001f x x x '>⇔<⇔<<； ()0ln 01f x x x '<⇔>⇔>，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值.由题意得10,13a a a ><<+且，解得实数a 的取值范围为2(,1)3 ……… 5分 （2）当1ln (1)(1ln )1()11k x k x x x f x k x x x x+++≥≥⇔≥⇔≤++时， 令(1)(1ln )()(1)x x g x x x++=≥， 由题意，[)()1k g x ≤+∞在，恒成立， []22(1)(1ln )(1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x ''++⋅-++⋅-'== …………9分令1()ln (1)()101h x x x x h x x x'=-≥=-≥=，则，当且仅当时取等号.所以[)()ln 1,h x x x =-+∞在上单调递增， ()(1)10h x h ≥=>，因此，[)min 2()()0,()1,()(1)2h x g x g x g x g x '=>+∞==在上单调递增，， 所以(]2,,2k k ≤-∞所求实数的取值范围为 ……………12分22.（本小题12分）。
