【首发】浙江省杭州二中2012-2013学年高二下学期期中数学理试题Word版含答案
- 格式：doc
- 大小：442.00 KB
- 文档页数：9
杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（理科）注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数i iz ++=12的共轭复数为 A ．23i + B ．23i - C ．231i + D ．233i +2.设x x e e x f --=)(0，且对任意的N n ∈，都有'1()()n n f x f x +=，则=)(2013x fA. xx ee --B.x xe e--C. xx ee -+D.xx ee ---3. 设函数],[),(b a x x f y ∈=，其导函数的图象如右图所示，则函数)(x f y =的减区间是A. 13(,)x xB. 24(,)x xC. 46(,)x xD. 56(,)x x4.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，若0()0f x '=，则0x x =是函数()f x 的极值点.因为3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是3()f x x =的极值点. 以上推理中 A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确5.函数xxx f +=1cos )(在)1,0(处的切线方程是 ks5uA ．01=-+y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．01=+-y x6.设1517-=a ，1921-=b ，105=c ，则c b a ,,的大小关系为 A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c << 7.若函数x mx x f +=)(在区间]1,0[单调递增，则m 的取值范围为A ．),21[+∞-B ．),21[+∞ C ．),2[+∞- D ．),2[+∞ 8. 在6)21(x x +-的展开式中，4x 的系数是A ．435B ．455 C.475 D ．495 9. 若函数)(x f 满足0)(')(>+x xf x f ，设2)1(f a =，)2(f b =，则b a ,与0的大小关系为 A ．b a >>0 B ．a b <<0 C.0>>b a D ．0>>a b 10.某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为 A ．84 B ．88 C ．114 D ．118二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.观察下列式子：2ln 1>,3ln 211>+,4ln 31211>++,5ln 4131211>+++,…… ,则可以归纳出第n 个式子为12.在复平面内, 复数1 + i 与2i 分别对应向量和, 其中O 为坐标原点,则向量所对应的复数是 .13.已知二项式nx )31(+的各项系数和为256，则n xx )1(+的常数项为 . 14. 已知数列{}n a 为等差数列,若m a a =,n a b =*(1,,)n m m n N -≥∈,则nm a n b m a ----=)1()1(1.类比上述结论,对于等比数列{}n b *(0,)n b n N >∈,若,m n b c b d ==*(2,,)n m m n N -≥∈,则可以得到1b ＝____________.15.某农场有如图所示的2行3列共六块土地，现有萝卜、玉米、油菜三类蔬菜可种.要求每块土地种一类蔬菜，每类蔬菜种两块土地，每行的蔬菜种类各不相同，则 恰有一类蔬菜种在同列的种植方法数为 . 16.函数2013220132)1()1()(xx x x x F +++=在区间]23,0(上的最小值为 . 17.若对任意的)0](,0[>∈t t x ，存在实数a ，使得关于x 的不等式12)(222≤-+xx x ae a e e 恒成立，则t 的取值范围是 .杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上． 11． 12．13． 14．15. 16.17.三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分8分）已知R m ∈，函数m x x x x f +-+=93)(23. （Ⅰ）求)(x f 的极值(用含m 的式子表示)；（Ⅱ）若)(x f 的图象与x 轴有3个不同交点，求m 的取值范围.19.（本题满分10分）（Ⅰ）设0,0>>b a ，求证：22222ba b a ab b a +-+≥-+； （Ⅱ）设),0(,,+∞∈c b a ，求证：三数b a 1+，cb 1+，a c 1+中至少有一个不小于2.ks5u20. （本题满分12分）设正项数列}{n a 的前n 项和n S ，且满足)(2212*∈+=N n na S n n . （Ⅰ）计算321,,a a a 的值，猜想}{n a 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）设n T 是数列}1{2n a 的前n 项和，证明：124+<n nT n .ks5u21. （本题满分12分） 设函数)( )1ln(221)(2R m x x mx x f ∈++-=. （Ⅰ）判断1=x 能否为函数()f x 的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若存在)1,4[--∈m ，使得定义在],1[t 上的函数3)1ln()()(x x x f x g ++-=在1=x 处取得最大值，求实数t 的最大值. ks5u杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．11． )1ln(1211+>+++n n12． i +-113． 6 14． m b =115. 18 16. 2014217. 251ln 20+≤<t ks5u三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解：（Ⅰ）令0)32(3963)('22=-+=-+=x x x x x f ，得：1=x 或-3. 当1>x 或3-<x 时，0)('>x f ； 当31<<x 时，0)('<x f ；故)(x f 在区间),1(+∞，)3,(--∞单调递增；在区间)1,3(-单调递减…………..3’ 于是)(x f 的极大值m f +=-27)3(，极小值为m f +-=5)1(………………...1’（Ⅱ）令⎩⎨⎧<+->+05027m m ，………………………………………………………………3’得527<<-m ………………………………………………………………………1’19.（Ⅰ）证法一：要证：22222ba b a ab b a +-+≥-+ 即证：ab b a b a ++≥+222即证：2222222222b a ab ab b a ab b a +⋅+++≥++ 即证：2222222b a ab ab b a +⋅≥++ 由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证……………ks5u…………………………….5’证法二：要证：22222ba b a ab b a +-+≥-+ 即证：22)2(2)2(2222b a b a b a ab b a b a +++-≥++-由基本不等式2222b a ba ab +≤+≤，可得上式成立，故原不等式得证. …………………..5’20. （Ⅰ）解：当n=1时，21212111+==a S a ，得11=a ；12122221+==+a S a a ，得22=a ；2321233321+==++a S a a a ，得33=a .猜想n a n =………………………………………….2’ 证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.（ⅱ）假设当n=k 时，k a k =……………………………………………………………………….1’ 则当n=k+1时，)221(2121)221(212122122111k k k a k a k a S S a k k k k k k +-++=+-++=-=++++ 结合0>n a ，解得11+=+k a k ……………………………………………………………………..2’于是对于一切的自然数*∈N n ，都有n a n =………………………………………………………1’（Ⅱ）证法一：因为)121121(2411122+--=-<n n n n，……………………………………3’ 124)1211(2)1211215131311(212111222+=+-=+--++-+-<+++=n n n n n nT n …….3’证法二：数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时，11121==T ，3411214=+⨯⨯，341<………………………………….1’ （ⅱ）假设当n=k 时，124+<k kT k ………………………………………………………………1’则当n=k+1时，221)1(1124)1(1+++<++=+k k k k T T k k要证：1)1(2)1(41+++<+k k T k只需证：1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k 由于22)1(11)22(4)12)(32(41241)1(2)1(4+<-+=++=+-+++k k k k k k k k所以1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k ………………………………………………………………3’ 于是对于一切的自然数*∈N n ，都有124+<n nT n …………………………………………….1’21. （Ⅰ）112)('++-=x mx x f ，令0)1('=f ，得23=m ；………………………………2’ 当23=m 时，1)1)(23()('+-+=x x x x f ，于是)(x f 在)32,1(--单调递增，在)1,32(-单调递减，在),1(+∞单调递增.故当23=m 时，1=x 是)(x f 的极小值点………………………………………………………….2’ （Ⅱ）x mx x x x x f x g 221)1ln()()(233-+=++-=.由题意，当],1[t x ∈时，)1()(g x g ≤恒成立………………………………………………………..2’ 易得]121)211()[1()1()(2≤-+++-=-m x m x x g x g ，令121)211()(2-+++=m x m x x h ，因为)(x h 必然在端点处取得最大值，即0)(≤t h ………………………………………………………4’即0121)211(2≤-+++m t m t ，即2112-≥++--t t t ，解得， 21311+≤<t ，所以t 的最大值为2131+……………………………………………………ks5u ……………………………..2’。
