16.1二次根式能力训练及知识点拨

次根式知识点一：二次根式的概念形如■ J （口工〔）的式子叫做二次根式。

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须 注意：因为负数没有平方根，所以 “「一】是、・J 为二次根式的前提条件，如 ， 1，■*' 1■■ ■''等是二次根式，而 J ， 等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ± 0时，■二 有意义，是二次根式。

所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件： 因负数没有算术平方根， 所以当a < 0时，■丿没有意义。

知识点三：二次根式（二二】）的非负性•“（：工〕）表示a 的算术平方根，也就是说， （山工'■）是一个非负数，即■■』 三0 ( * —)。

…三0「）这个性质和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多, 如若 G ••八 ,则 a=0,b=0 ;若' I ' _ ，则 a=0,b=0 ;若,则a=0,b=0 。

1、不同点”与表示的意义是不同的，，'表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而：表示一个实数a 的平方的算术平方根；在、… 中二--，而弋‘中a 可以 是正实数，0,负实数。

因而它的运算的结果是有差别的,if知识点四：二次根式（■'）的性质(■—;)知识点五：二次根式的性质 知识点六：与「：一 即：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

-a （YOj= |of| =的异同点2、相同点：都是非负数，即 — L 。

当被开方数都是非负数，即L . - L 时,知识点七：二次根式的运算(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术平方根代替，从而移到根号外面； 如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形 式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式. (3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.Vab = 4a •b ( a >0 b >0 ；(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有.2 1.414; .3 1.732; ,5 2.236 ; 、7 2.646【主要题型】 二次根式有意义的条件:例：求下列各式有意义的所有 x 的取值范围。

第01讲二次根式的概念课程标准学习目标①二次根式的定义②二次根式有无意义的条件1.掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式。

2.掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟练求值。

知识点01二次根式的定义1.二次根式的定义：一般地，我们把形如()0≥a a 的式子叫做二次根式。

其中叫做二次根号，a 叫做被开方数。

判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于0。

两者必须同时满足。

【即学即练1】1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：A ．，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B ．，三次根式，故此选项不合题意；C ．，是二次根式，故此选项符合题意；D ．，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；故选：C ．知识点02二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义的条件：二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数大于等于0。

即a 中，a 。

注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。

【即学即练1】2．若二次根式有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≥6B ．x ≥﹣6C ．x ≤﹣6D ．x ≤6【分析】根据二次根式有意义的条件可得6+x ≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：6+x ≥0，解得：x ≥﹣6，故选：B ．题型01判断二次根式【典例1】下列式子是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义：形如（a ≥0）的式子，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、无意义，故A 不符合题意；B 、不是二次根式，故B 不符合题意；C 、是二次根式，故C 符合题意；D 、无意义，故D 不符合题意；故选：C ．【变式1】若a 为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．当a＜0时，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．当a＜﹣1时，不是二次根式，故本选项不符合题意；C．是二次根式，故本选项符合题意；D．当﹣1＜a＜1时，不是二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．【变式2】已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是二次根式是个数有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次根式的定义（根指数是2，被开方数是非负数）判断即可．【解答】解：二次根式有①③④，共3个，故选：C．【变式3】若是二次根式，则x的取值范围是x≥﹣3．【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．【解答】解：∵是二次根式，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3，故答案为：x≥﹣3．【变式4】若是二次根式，则x的取值范围是（）A．x为非负数B．x≠1C．x≥1D．x＞1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．题型02根据二次根式有意义的条件求取值范围【典例1】若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≤1．【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【解答】解：根据题意得：﹣x+1≥0，解得：x≤1．故答案为：x≤1．【变式1】若式子有意义，则x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x﹣1≥0且x﹣2≠0，再求出答案即可．【解答】解：要使式子有意义，必须x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．【变式2】若二次根式有意义，则x的取值范围是x＜2．【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2﹣x＞0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．【变式3】若代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．【分析】根据分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0列式求解即可．【解答】解：∵x+1≥0，∴x≥﹣1，∵，∴x≠3，∴x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．故答案为：x≥﹣1且x≠3．【变式4】若，则（）A．a≥6B．a≥0C．0≤a≤6D．a为一切正实数【分析】由二次根式可知要使有意义，则根号里面的数不能小于0，再进行列式计算即可．【解答】解：由题可知，，解得a≥6，故选：A．【变式5】若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞4【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行判断即可．【解答】解：∵＝在实数范围内成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故选：D．题型03利用二次根式有意义的条件求值【典例1】若，则a+b的值为（）A．1B．0C．﹣1D．2【分析】根据二次根式有意义的条件得出2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，求出b＝2，再代入求出a＝﹣1，最后求出a+b即可．【解答】解：要使有意义，必须2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，解得：b＝2，所以a＝0+0﹣1＝﹣1，即a+b＝﹣1+2＝1．故选：A．【变式1】若x，y都是实数，且y＝，则x y的值是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，再代入x y计算即可．【解答】解：由题意，得，解得x＝，∴y＝﹣1，∴x y＝．故选：C．【变式2】如果实数a满足|2021﹣a|+＝a．那么a﹣20212的值是（）A．2022B．2021C．2020D．2019【分析】根据二次根式（a≥0）确定a的范围，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：a﹣2022≥0，∴a≥2022，∴2021﹣a＜0，∴|2021﹣a|+＝a，∴a﹣2021+＝a，∴＝2021，∴a﹣2022＝20212，∴a﹣20212＝2022，故选：A．【变式3】已知：，则（﹣x）y＝﹣．【分析】根据二次根式为非负数，列不等式组可得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．【解答】解：由题意得，解得x＝，∴y＝3，∴（﹣x）y＝（﹣）3＝﹣．【变式4】已知x、y为实数，且，求y﹣x2+17的值．【分析】根据二次根式有意义的条件得出，从而得出x、y的值，代入进行计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：x＝4，∴当x＝4时，y＝2023，∴y﹣x2+17＝2023﹣42+17＝2024．1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义分别判断即可．【解答】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、是三次根式，故此选项不符合题意；C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意；D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．2．若式子是二次根式，则a的值不可以是（）A．0B．﹣2C．2D．4【分析】根据二次根式的定义得出a≥0，再得出选项即可．【解答】解：∵式子是二次根式，∴a≥0，即只有选项B符合，选项A、选项C、选项D都不符合，故选：B．3．当a＝﹣2时，二次根式的值为（）A．2B．C．D．±2【分析】把a＝﹣2代入二次根式，即可解决问题．【解答】解：当a＝﹣2时，二次根式＝＝＝2．故选：A．4．当x＝2时，下列二次根式没有意义的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，求解即可．【解答】解：当x＝2时，，，，故选项A、B、C不符合题意；x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，即没有意义，选项D符合题意．故选：D．5．若有意义，则a的值可以是（）A．﹣1B．0C．2D．6【分析】直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．【解答】解：有意义，则a﹣4≥0，解得：a≥4，故a的值可以是6．故选：D．6．若有意义，则x可以取（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．【解答】解：由题意得：2x+1≥0，解得，即x可以取的值是0．故选：A．7．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠0C．x＞0且x≠1D．x≥0且x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到x≥0且，进行计算即可得到答案．【解答】解：根据题意得：x≥0且，解得：x≥0且x≠1，故选：D．8．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（）A．1B．9C．4D．5【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值．【解答】解：∵，∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，∴5﹣x＝0，解得x＝5，∴y＝4，∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．故选：A．9．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．10．已知，则2xyz的相反数是（）A．B．C．D．【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出x、y、z的值，再把x、y、z的值代入2xyz计算，得出2xyz的值，再根据相反数的定义，即可得出答案．【解答】解：在中，∵，，|x﹣2y|≥0，|z+4y|≥0，∴可得：，解得：，∴，∴2xyz的相反数是．故选：B．11．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是②④．（只填序号）【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：①（﹣2）3＝﹣8＜0，故不是二次根式；②（﹣2）4＝16＞0，故是二次根式；③的根指数是3，故不是二次根式，④a2+1＞0，故是二次根式；所以一定是二次根式的是②④．故答案为：②④．12．如果是二次根式，那么x应满足的条件是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．13．如果，那么x y的值是100．【分析】先根据二次根式的非负性求出x的值，进而求出y的值，再代入x y计算．【解答】解：∵，，∴x＝10，∴，∴x y＝102＝100．故答案为：100．14．如果，那么x+y的平方根为±．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x﹣2＝0，可得x和y的值，再解答即可．【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴y＝3，∴x+y＝2+3＝5，∴x+y的平方根为±．故答案为：±．15．要使式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵要使式子有意义，∴x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．16．当x分别取下列值时，求二次根式的值．（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2．【分析】直接将（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错．【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式＝＝3；（2）把x＝，代入二次根式＝＝；（3）把x＝﹣2，代入二次根式＝＝5．17．已知实数x，y满足等式，求3x+4y的立方根．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再求出3x+4y的值，即可求出对应的立方根．【解答】解：∵要有意义，∴，∴x＝5，∴，∴3x+4y＝3×5+4×3＝27，∵27的立方根是3，∴3x+4y的立方根是3．18．若x，y是实数，且．（1）求x，y的值；（2）求的值．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件进行解题即可；（2）将求出的x与y代入进行求解即可．【解答】解：（1）由题可知，，解得x＝，将x＝代入，解得y＝．故x＝，y＝．（2）将x与y代入得＝＝．19．（1）已知一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，求这个数．（2）已知x，y为实数，且，求的平方根．【分析】（1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出a+3+2a﹣15＝0，求出a的值，得出这个数的一个平方根，即可得出这个正数；（2）先根据二次根式有意义的条件得出x＝9，从而求出y＝4，代入求出，即可得出答案．【解答】解：（1）∵一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，解得a＝4，∴这个数一个平方根为4+3＝7，∴这个数为72＝49；（2）∵x，y为实数，，∴，∴，∴x＝9，∴y＝4，∴＝＝6，∴的平方根为．20．（1）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．（2）若x、y都是实数，且y＝++8，求x+y的值．【分析】（1）根据平方根的定义列式求出b，再根据算术平方根的定义列式求出a，然后求出a+2b的值，再根据平方根的定义解答即可；（2）由二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的值，进一步即可求得结果．【解答】解：（1）∵2b+1的平方根为±3，∴2b+1＝9，解得b＝4，∵3a+2b﹣1的算术平方根为4，∴3a+2b﹣1＝16，解得a＝3，∴a+2b＝3+2×4＝11，∴a+2b的平方根是±．（2）由题意得：，解得，所以x＝3，当x＝3时，y＝8，所以x+y＝3+8＝11．。

专题16.1二次根式的化简求值整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

一、二次根式的定义形如（≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.二、二次根式有意义的条件1.二次根式中的被开方数是非负数；2.二次根式具有非负性：≥0.三、判断二次根式有意义的条件1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．四、二次根式的性质性质1：2=（≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；性质2：2==（≥0）−（<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.五、同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：∙=∙o≥0,≥0)；②积的算术平方根：∙=∙o≥0,≥0)；≥0,>0)；=≥0,>0).八、最简二次根式我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．九、分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【典例1】阅读下列材料，然后回答问题．====3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=-3，求2+2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则2+2=(+p2−2B=2−2=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．（1（2）m是正整数，a b22+1823B+22=2019．求m．（3）已知15+2−26−2=1，求15+2+26−2的值．（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出+=2(2+1),B=1再由22+1823B+22=2019进行变形再求值即可；（3）先得到15+2⋅26−2=20，然后可得(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，最后由15+2≥0,26−2≥0，求出结果．解：（1）原式=2+++⋯+2=3−1+5−3+7−5+⋯+2019−20172=（2）∵a b∴+==2(2+1),B=1，∵22+1823B+22=2019，∴2(2+2)+1823=2019，∴2+2=98，∴4(2+1)2=100，∴2=±5−1，∵m是正整数，∴m=2．（3）由15+2−26−2=1得出(15+2−26−2)2=1，∴15+2⋅26−2=20，∵(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，又∵15+2≥0,26−2≥0，∴15+2+26−2=9．1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知=2−3,=2+3，则代数式2+2B+2+−−4的值为（）A B．34C．3−1D【思路点拨】根据已知，得到+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，整体思想带入求值即可．【解题过程】解：∵=2−3,=2+3，∴+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，∴2+2B+2+−−4=+2+−−4=222−23−4=8−23−4=4−23=32−23+1=3−12=3−1．故选C．2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知+1=7(0<<1)，则−）【思路点拨】，故＜，将−由0<<1，得0＜＜1【解题过程】解：∵0<<1，∴0＜＜1，∴＜2=−2+1，+1=7(0<<1)，∵(−∴(−∴=-5或−=5，∵＜0，∴∴故选B．3．（2023·浙江宁波·校考一模）若2+2=1，则2−4+4+B−3+−3的值为（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】先根据2+2=1得出−1≤≤1，−1≤≤1，根据2−4+4+B−3+−3要有意义，得出+ 1−3≥0，根据−3<0得出+1≤0，从而得出J−1，将J−1代入即可求出式子的值．【解题过程】解：∵2+2=1，∴−1≤≤1，−1≤≤1，∵2−4+4+B−3+−3要有意义，∴B−3+−3≥0，整理得：+1−3≥0，∵−3<0，∴+1≤0，∴J−1，∴2−4+4+B−3+−3=−22++1−3=−1−22+−1+1−3=3+0=3，故D正确．故选：D．4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知xx6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020的值为（）A．0B．1C．2019D．2020【思路点拨】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解题过程】解：∵=2020−=2020+2019，∴6−220195−4+3−220202+2−2020，=5−22019−4+2−22020+2−2020，=52020+2019−22019−4+22020+2019−22020+2−2020，=52020−2019−4+22019−2020+2−2020，=42020−2019−1+22019−2020+2−2020，=2020+20192019−2020+2−2020=−+2−2020，=−2020，=2019，故选：C．5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33−6−33的小数部分，则2b−1的值为（）A．6+2−1B．6−2+1C．6−2−1 D．6+2+1【思路点拨】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【解题过程】解：3+5−3−5-=5+15-1=2∴a的小数部分为2-1，6+336−33−=3+33-3=6∴b的小数部分为6-2，∴2b−1=6+2-2-1=6-2+1，故选：B．6．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）设1=1+112+122，2=1+122+132，3=1+132+142，……，=1+ 12+1(r1)2．其中n为正整数，则1+2+3+⋅⋅⋅+2021的值是（）A．202020192020B．202020202021C．202120202021D．202120212022【思路点拨】根据题意，先求出=1+1or1)，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．【解题过程】解：∵n为正整数，∴＝2+r1or1)＝1+1or1)；∴1+2+3+⋯+2021＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）+…+（1+12021×2022）＝2021+1﹣12+12−13+13−14+⋯+12021−12022＝2021+1﹣12022＝202120212022．故选：D．7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果=5−2，则1=．【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得1，从而可得1−>0，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得．【解题过程】解：∵=5−2，∴1=5−2=5−2=5+2，∴1−55−2∴1=1+=1+−=5+2+4=5+6．故答案为：5+6．8．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知==42−3B+42=．【思路点拨】先把和的值分母有理化得到==−=−12，B=1，再利用完全平方公式变形原式得到4(−p2+5B，然后利用整体代入的方法计算．【解题过程】解：∵==∴====∴−=−12，B=1，∴原式=4(−p2+5B=4×(−12)2+5×1=6．故答案为6．9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知=2的值等于．【思路点拨】通过完全平方公式求出+1=2，把待求式的被开方数都用+1的代数式表示，然后再进行计算．【解题过程】=2，解：∵+∴=4，∴+1+2=4∴+12===10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，+−7−7+ 7B=7，求+=．【思路点拨】将等式进行因式分解，得到++7B−7=0，求得B=7，即可求解．【解题过程】解：∵+−7−7+7B=7，∴+−7−7+7B−7=0，∴B+−7++7B−7=0，∴+B−7+7B−7=0，∴++7B−7=0，∵++7>0，∴B−7=0，∴B=7，又x，y为正整数，则s=1,7或7,1，从而+=8，故答案为：8．11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设=3−2，则6+35+113+2+1=．【思路点拨】利用+22=2+4+4和=3−2，推得2+4+1=0，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解．【解题过程】解：∵=3−2，∴+22=3−2+22=3，又∵+22=2+4+4，即2+4+4=3，整理得2+4+1=0，6+35+113+2+1=42+4+1+35+113+2+1−45−4=−5−4+113+2+1=−32+4+1−4+113+2+1+44+3=34+123+2+1=322+4+1+2+1−32=−32+2+1=−32+4+1+2+1+12+3=14+4，将=3−2代入原式可得14×3−2+4=143−24．故答案为：143−24．12．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知=则代数式23−32−7+2022的值为．【思路点拨】将已知条件=2−3=−1，再将所求代数式变形为23−62+32−7+2022，由此即可求解．【解题过程】解：已知=∴2=3+5，即2−3=5，等式两边同时平方得，2−32=52，整理得，42−12+9=5，即42−12=−4，∴2−3=−1，∵23−32−7+2022=2o2−3p+32−7+20022把2−3=−1代入得，=2×−1+32−7+2022=32−2−7+2022=32−9+2022=3(2−3p+2022把2−3=−1代入得，=3×−1+2022=2019，故答案为：2019．13．（2022上·上海闵行·=3,=13.【思路点拨】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【解题过程】解：原式=K=+++=2+2当=3,=13时，原式=23+=23+=14．（2023·北京·九年级专题练习）已知==，求2+2的值．【思路点拨】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【解题过程】解：∵==5−26，===5+26，∴原式=(5+2(5−26)=2620626206=26)(49206)6)(49206)6)(492026)(49206)=245−1006−986+240+245+1006+986+240=970．15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知+=−8，B=12，求+【思路点拨】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．【解题过程】解：∵+=−8，B=12，∴a和b均为负数，2+2−2B=40=B+B=2B2B=2+2B=−−==2=−4012=−401212=−40×2312=−203316．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知−2B−15=0【思路点拨】讨论：当>0，>0，利用因式分解的方法得到−5+3=0，解得=25，当I0，<0，则−−+5−−−3−=0，解得=9，然后把=25，=9化简求解．【解题过程】解：∵−2B−15=0要有意义，即B≥0，∴>0且>0或I0且<0，当>0且>0时，∵−2B−15=−5+3=0，∴−5=0或+3=0（舍去），解得：=25，把=25=25r5r225K10r=2；当I0且<0时，∵−2B−15=−−+5−−−3−=0，∴−r5−=0（舍去）或−−3−=0，解得：=9，把=9==9K3r29r6r=12．17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知==（2【思路点拨】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．【解题过程】（1）∵=10−3=10+3，=10−3，=∴+=210，−=6，∴2+2B+2=(+p2=(210)2=40．（2）∵=10+3，=10−3，∴1∴o−2)=−2o−2)−+1o+1)=1−1=1010=10−3−10−3=−6．18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知=2−3，=2+3．（1）求+和B的值；（2）求2+2−3B的值；（3）若的小数部分是，的整数部分是，求B−B的值．【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）代入=2−3，=2+3即可求出+和B的值；（2）将原式变形为+2−5B，代入数值进行计算即可；（3）先估算出1<3<2，从而得出=2−3，=3，再代入进行计算即可得出答案．【解题过程】（1）解：∵=2−3，=2+3，∴+=2−3+2+3=4，B=2−32+3=4−3=1；（2）解：由（1）得：+=4，B=1，∴2+2−3B=+2−5B=42−5×1=11（3）解：∵1<3<4，∴1<3<4，即1<3<2，∴−2<−3<−1，∴0<2−3<1，∵的小数部分是，∴=2−3，∵3<2+3<4，的整数部分是，∴=3，∴B−B=2−32−3−32+3=4−43+3−6−33=1−73．19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使2+2=且B =，±2将变成2+2±2B ，即变成(±p 2，从而使±2得以化简．（1）例如，∵5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2，∴5+26=(3+2)2=______，请完成填空．（2）仿照上面的例子，请化简4−23；（3）利用上面的方法，设=6+42，=3−5，求A ＋B 的值．【思路点拨】（1）根据二次根式的性质：2==o >0)0(=0)−o <0)，即可得出相应结果．（2）根据（1）中“5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．（3）根据题意，首先把A 式和B 式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A 式和B 式的结果分别算出，最后把A 式和B 式再代入A ＋B 中，求出A ＋B 的值．【解题过程】（1）∵5+26=2+3+26=22+32+2×2×3=2+32∴5+26=(3+2)2=3+2故答案为：3+2（2）∵4−23=3+1−23=32+1−23=3−12∴4−23=(3−1)2=3−1．（3）∵=6+42=4+2+42=42+22+2×4×2=(2+2)2∴=6+42=2+2∵=3−5=∴=3−5====∴把A 式和B 式的值代入A ＋B 中，得：+=2+2=2+2220．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将+、−称为一对“对偶式”，因为+−=(p2−(p2=−，所以构造“和−====3+22.像这中的“”样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：“>”、“<”或“=”填空)；（1（2）已知==，求K2rB2的值；+…+（3【思路点拨】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解；（2）先求得−s B的值，然后代入即可求解；（3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解．【解题过程】（17−2=7−2===∵7>6,2>3−137−6+2−3>0,>故答案为：>．（2）∵==5+45+4=9+45，==5+2=5−45+4=9−45，∴+=9+45+9−45=18，−=9+45+−9+45=85，B=9+45945−80=1，∴K 2rB2+⋯+（3=3)2(53−35)35)(5−3979799⋯+2(99979799)(99979799)(9997−97=1−33+33−55+55−77+⋯+9797−9999=1−9999=1−。

第十六章 二次根式的知识点、典型例题及相应的练习1、二次根式的概念：1、定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。

当a≥0时，a 表示a 的算术平方根，当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）概念：式子a （a≥0）叫二次根式。

a （a≥0）是一个非负数。

题型一：判断二次根式（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y+=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D. a b2、二次根式有意义的条件题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件:（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- 2、21x x --有意义，则 ； 3、若x x x x --=--3232成立，则x 满足_______________。

典型练习题：1、当x 是多少时， 23x ++11x +在实数范围内有意义？2、当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3、当__________时，212x x ++-有意义。

4、使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数 5、已知y=2x -+2x -+5，求x y的值． 6、若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．7、若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 。

8、已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。

9、使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 。

10、已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤011、若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y12、若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 13、化简aa 3-(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a3、最简二次根式的化简最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。