幂函数的图像与性质
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幂函数图像及性质总结幂函数九个基本图像幂函数比较大小的方法
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
幂函数图像与性质
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2)
x1
x2
(
x1
x2 )(
x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
(4)
1
y x2
(5)
y x1 (6) y x2
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数 在(,0]上是减函数
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、α为奇数时,幂函数为奇函
数,
-3
α为偶数时,幂函数为偶函
数.
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
2.3 幂函数图像与性质
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
幂函数图像(课堂PPT)
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
12
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
13
( 4 y x 3 ( y x 2
- - 6 - 4 2 2 4 6
- 在第一象限1 内， ( 当α>0时，图象随x增大而- 上升。
- 当α<0时，2 图象随x增大而下降
-3
-4
19
不管指数是多少( , 4 y x 3 ( -
图象都经过哪个
y x 2
定点?
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - - y= x0
- - 6 - 4 2 2 4 6
3 y
2
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
( x 0 1 2 - 4
-2
1
- y x 2 0
1 22
3
-4
14
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y
2
( ( 1 ( - 1
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
15
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
m2
舍去m1
22
例5. 利用单调性判断下列各值的大小。
第四单元_第三节_幂函数的图像及其性质
像 及
正向逐渐上升；当 0时，幂函数 y x 的图
性
像沿 x 轴的正向逐渐下降。
质
函数性质：（1） x 1时， y 1。
（2）当 0 时，幂函数 y x 在 (0, ) 上单调增加；
当 0时，幂函数 y x 在 (0, ) 上单调减少。
作业布置 巩固练习
巩固练习
2.53 2.63
1
逐渐下降。
新课探究 启发解疑
图像性质
（1） x 1时， y 1。
（2）当 0时，幂函数 y x 在(0, ) 上单 调增加；当 0时，幂函数 y x 在(0, )上
单调减少。
温馨提示 小结反思
知识点小结
函 图像性质：（1）图像都经过点 (1,1) 。
数 图
（2）当 0 时，幂函数 y x 的图像沿 x 轴的
1 x2
，所以
y
x2的定义域为,0 (0, ) 。
列表如下：
x … 2 1 1 1 1 2 … 22
y…1
1
4
4
1
1
…
4
4
以表中的每一组 x ， y 的值为点的坐标， 描出相应的点，用光 滑的曲线联结这些 点，得到函数 y x2 的图像，如图所示。
新课探究 启发解疑
归纳提升
仿例 1、例 2 在同一坐标系中画出函数 y x3、 y x2 、y x 、
1
3.7 5 3.8 5
比较下列每组中两个数的大小：
（1）2.53和2.63； 答案
（2）3.7
1 5
和3.8
1 5
；
答案
1
1
7.53 7.63
1
1
（3）7.53 和7.63；
幂函数图像及其性质
幂函数图像及其性质幂函数是一种常见的数学函数形式，它的数学表达式为f(x)=ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。
幂函数的图像展示了函数的特性和行为，这对我们进一步了解和应用幂函数有着重要意义。
一、幂函数的图像及其特征通过观察幂函数的图像，我们可以得到以下几个基本特征：1. 幂函数的图像总是通过点(0,0)。
当x等于零时，幂函数的结果总是零。
2. 当b为正数时，幂函数的图像从左上方向右下方斜率逐渐减小，渐近于x轴。
这是因为幂函数中的x不断增大时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
3. 当b为负数时，幂函数的图像从右上方斜率逐渐减小，渐近于x 轴。
这是因为幂函数中的x不断减小时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
4. 当b为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且有一个最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的平方等于0或者正数。
5. 当b为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且没有最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的绝对值在整个定义域内都为正。
二、幂函数图像的变化规律1. 当a大于0时，幂函数的图像在整个定义域内为正。
随着b的增大，幂函数的图像变得平缓，斜率逐渐减小；随着b的减小，幂函数的图像变得陡峭，斜率逐渐增大。
2. 当a小于0时，幂函数的图像在整个定义域内交替在x轴上方和下方。
随着b的增大或减小，幂函数的图像也会随之变化。
3. 当a等于1时，幂函数的图像变成了恒等函数的图像y=x。
即幂函数退化为y=x的特例。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集R，值域取决于a和b 的取值范围。
2. 奇偶性：当b为偶数时，幂函数是偶函数，关于y轴对称；当b 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称。
3. 单调性：当b大于0时，幂函数在整个定义域内是单调递增的；当b小于0时，幂函数在整个定义域内是单调递减的。
4. 渐近线和交叉点：当b大于0时，幂函数的图像会渐近于x轴；当b小于0时，幂函数的图像会与x轴交叉于一个点，并渐近于x 轴。
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数图像及性质总结：对任意实数，有|其中，是一个整系数多项式；分别表示 x 的函数，它们是奇函数。
那么，这些系数和就称作二次函数的解析式。
因此，上述公式也可写成如下形式：，故得到常见的二次函数解析式（这里假设两边取常量）。
对于任何的正整数 n，二次函数都有一种特殊的、唯一确定的表达式，称为该正整数的函数表达式。
在大部分情况下，所谓的“初等函数”即指这类特殊的函数。
当然，并非所有的函数都具备这样的性质。
其中，表示第 k 个正整数的 n 次方，表示与它相乘后的积。
由幂的定义知道：令，则：可得出，它又可以看作是积的三角函数，且：根据定义，当时，有当时，同理。
又因为幂函数的底数只能是整数或正整数，故实际上，只要是整数，我们都能找到某个幂函数的一种对应关系，使之转化为的一种表达式。
从而也证明了积与有一种特殊的联系。
令，则函数变为，积变为，我们将积的对应系数称作被乘积的幂函数。
对于正整数 m，存在 k 个自然数，使得：此外，若能够给出幂函数解析式中的整数部分，就可以把整数表达式中的一般式移项，最终得到幂函数解析式。
换句话说，如果已知整数的幂函数解析式，我们通过计算就可以求出整数的值。
这样做会比较繁琐，但事实上，利用这种思想还是很容易得出整数解的。
另外，运用幂函数也可以计算与实数的乘积。
一个重要的原因是它很简单。
不妨以下面的三角函数为例，说明幂函数解析式与指数函数解析式之间的联系。
因为，，所以它也必须满足；令，得到。
进而得到；再者，，所以。
即它是。
由前面的几点，我们可以归纳出指数函数与幂函数的对应规律。
幂函数有许多性质：在许多场合都会遇到某个函数，但求出它的对应系数却十分困难，需借助一些常见的解析式来判断；还有，很多复杂函数的解析式也往往含有它的对应系数；更甚至，当你尝试去求某个指数函数的对应系数时，发现竟无法列举出可靠的对应系数。
幂函数与指数函数的互逆定理则为这些问题提供了完美的答案：已知：对任意实数，，且对于任意的实数，均有。
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它是指形式为f(x)=ax^k的函数，其中a 为非零实数，k为实数。
幂函数在数学中具有广泛的应用，在图像的研究中，掌握幂函数的图像及其性质是非常重要的。
首先，我们来看幂函数的图像特点。
当k为正数时，幂函数的图像呈现出“增长”或“递减”的趋势。
当k>1时，曲线会明显上升，形成类似于指数函数的图像特征。
而当0<k<1时，曲线则会下降，但下降的速率逐渐减慢。
特别地，当k=1时，幂函数成为一次函数，即f(x)=ax，其图像为一条直线。
此外，当k为负数时，幂函数的图像则出现在第二、第四象限，并且具有对称轴。
接下来，我们来讨论幂函数的性质。
首先，我们来看函数的定义域和值域。
由于幂函数的底数a不能为零，函数的定义域为除以0的集合，即R-{0}。
而幂函数的值域则依赖于指数k的正负情况。
当k为正数时，函数的值域为正实数集(0,+∞)。
当k为负数时，函数的值域为(0, +∞)的实数集。
由于底数a的正负情况也会影响函数的关系，故在具体分析时需要考虑a的取值范围。
其次，我们来讨论幂函数的奇偶性。
当指数k为偶数时，幂函数f(x)=ax^k是一个偶函数，即满足f(x)=f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=x^k，从而f(x)=ax^k=f(-x)。
相应地，当指数k为奇数时，幂函数f(x)=ax^k是一个奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=-x^k，从而f(x)=ax^k=-ax^k=-f(-x)。
进一步地，我们来讨论幂函数的增减性和极值点。
当指数k为正数时，幂函数在定义域上是递增的。
当a>1时，函数的增长速度更快；当0<a<1时，函数的增长速度更慢。
而当指数k为负数时，幂函数在定义域上是递减的。
在图像上，幂函数具有一个最小值或最大值，该点称为极值点。
当k为偶数时，函数的极值点出现在定义域的最小值点，当k为奇数时，函数的极值点出现在定义域的最大值点。
幂函数的图像和性质 纪福双【打印】
幂函数的图像和性质
（1）幂函数的定义: （2）幂函数的图象
纪福双
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．
（3）幂函数的性质： ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图 象关于 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第 一象限． ②过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1) ． ③单调性：如果 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 [0, ) 上为增函数．如果 0 ，则幂函数的图象在 (0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，
大行不倦呕心沥血传道授业解惑！大思行广打通大脑思维的任督二脉，大行无疆捍卫中国文化最后良心！第 1 页
q p q p
q p
⑤图象特征： 幂函数 y x , x (0, ) ，当 ，若 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，当 1时，若 0 x 1 ，其
图象在直线 y x 上方，若 x 1 ，其图象在直线 y x 下方．
q （其 p 中 p, q 互质， p 和 q Z ） ，若 p 为奇数 q 为奇
当 为偶数时， 幂函数为偶函数． 当 数时，则 y x 是奇函数【简称：奇，奇，奇】 ， 图像位于一三象限，关于原点对称。若 p 为奇 数 q 为偶数时， 则 y x 是偶函数， 【简称： 偶， 奇，偶】 ，图像位于一二象限，关于关于 y 轴对 称。 ； 若 p 为偶数 q 为奇数时， 则 y x 是非奇 非偶函数【简称：奇，偶，非】 ，图像只在第一 象限．
（1）幂函数的定义: （2）幂函数的图象
纪福双
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．
（3）幂函数的性质： ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图 象关于 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第 一象限． ②过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1) ． ③单调性：如果 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 [0, ) 上为增函数．如果 0 ，则幂函数的图象在 (0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，
大行不倦呕心沥血传道授业解惑！大思行广打通大脑思维的任督二脉，大行无疆捍卫中国文化最后良心！第 1 页
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⑤图象特征： 幂函数 y x , x (0, ) ，当 ，若 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，当 1时，若 0 x 1 ，其
图象在直线 y x 上方，若 x 1 ，其图象在直线 y x 下方．
q （其 p 中 p, q 互质， p 和 q Z ） ，若 p 为奇数 q 为奇
当 为偶数时， 幂函数为偶函数． 当 数时，则 y x 是奇函数【简称：奇，奇，奇】 ， 图像位于一三象限，关于原点对称。若 p 为奇 数 q 为偶数时， 则 y x 是偶函数， 【简称： 偶， 奇，偶】 ，图像位于一二象限，关于关于 y 轴对 称。 ； 若 p 为偶数 q 为奇数时， 则 y x 是非奇 非偶函数【简称：奇，偶，非】 ，图像只在第一 象限．
幂函数图像与性质
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
例 1.证明幂 f(x函 ) 数 x在 [0, )上是增 . 函
证 : 任 x 1 明 ,x 2 [ 取 0 , ) 且 , x 1 x 2 , 则
f(x1)f(x2)x1x2
(
x1
x2)( x1 x1 x2
x2)
x1 x2 x1 x2
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （(23）) 0.20.-32 与 0.3-20.3
2.5 5 与 2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 <
5.3(02.8)y=x0.3在(0,∞)内是增函
数
∵(30).y2=<x0-.23/5∴在0(.02,0∞.3)内<0是.3减0.3函数
单调性：
在{x x 0}上是奇函数
在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3
y=x1/2
… -2 -1 0 … - -1 0 … 8/ / 0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2 -4 -6 -8
12 18 12 y= x3
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
增函数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上 是减函数
公共点
（1，1）
y x2
(-2,4)
y x3
4
例 1.证明幂 f(x函 ) 数 x在 [0, )上是增 . 函
证 : 任 x 1 明 ,x 2 [ 取 0 , ) 且 , x 1 x 2 , 则
f(x1)f(x2)x1x2
(
x1
x2)( x1 x1 x2
x2)
x1 x2 x1 x2
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （(23）) 0.20.-32 与 0.3-20.3
2.5 5 与 2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 <
5.3(02.8)y=x0.3在(0,∞)内是增函
数
∵(30).y2=<x0-.23/5∴在0(.02,0∞.3)内<0是.3减0.3函数
单调性：
在{x x 0}上是奇函数
在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3
y=x1/2
… -2 -1 0 … - -1 0 … 8/ / 0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2 -4 -6 -8
12 18 12 y= x3
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
增函数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上 是减函数
公共点
（1，1）
y x2
(-2,4)
y x3
4
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【知识结构】1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.例2 （1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132b a ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)100.256371.5()86-⨯-+-（三）幂函数 1、幂函数的定义形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例1.下列函数中不是幂函数的是（ ）A ．y x =B ．3y x =C ．2y x =D ．1y x -=例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式 已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______．2.幂函数的图像幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同．α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；3、幂函数的性质y=xy=x 2 y=x 312y x = y=x -1定义域 R RR [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且值域 R [0，+∞）R[0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性增x ∈[0，+∞）时，增；x ∈(,0]-∞时，减增 增x ∈(0,+∞)时，减；x ∈(-∞,0)时，减定点（1，1）例3．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.54.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质：(1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．例4．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．例5.已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．变式：已知幂函数f(x)=x 322--m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F （x ）=a）（）（x xf bx f -的奇偶性.5.规律方法（1）．幂函数y ＝x α(α＝0,1)的图象（2）.幂函数(,,,a q qy x a p q N p p*==∈为最简分式）的图象6.性质：（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上 ；（3）当2,2a =-时，幂函数是 ；当11,1,3,3a =-时，幂函数是 ．例6右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>例7 若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。
例8 若函数在区间上是递减函数，求实数的取值范围。
xO y a y x =b y x =c y x =【巩固练习】1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32、幂函数的图象都经过点（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（1，0） 3、幂函数25-=x y 的定义域为（ ）A ．(0,+) B ．[0,+) C ．R D ．(-，0)U (0,+)4．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0B ．a <0C ．a =0D ．不能确定5．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( ) A ．m >1 B ．m <1C ．m =lD ．不能确定6．若函数f (x )＝x 3(x ∈R)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是( )A ．单调递减的偶函数B ．单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数 7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 112则不等式f (|x |)≤2的解集是( ) A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2} 8．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝19、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝a x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 A 、a ＜1 B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0二、填空题： 11、若21)1(－＋a ＜21)23(－－a ，则a 的取值范围是____；12.函数23-=xy 的定义域为___________.（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ） 13．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的 x 的值是________． 14．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ， n 的大小关系为________．幂函数的性质与图像测试一、填空题1.若幂函数()y f x =的图像过点222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的解析式为__________.2.已知函数()()22144mm f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值为__________.3.幂函数223nn y x --=()n N ∈的图像与两坐标无交点且关于y 轴对称，则n 的值等于_________.4.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________.5.已知函数()1a xf x x a -=--的图像的对称中心是()3,1-，则函数()f x 的单调递减区间是_________.6.已知幂函数()y x R αα=∈的图像当01x <<时，在直线y x =的上方；当1x >时在直线y x =的下方，则α的取值范围是__________.7.函数y =12y x =的图像向__________平移________个单位. 8.已知()()1133132x x --+<-，则实数x 的取值范围是_________.二、选择题9.如图，M 、N 、P 、Q 分别为幂函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幂函数为①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④13y x -=，则M 、N 、P 、Q 与四个函数序号的对应顺序只可能是（ ）.（A ）①②③④ (Ｂ)②③④① (Ｃ)②①③④ (Ｄ)③②①④10.下列函数中，是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）. （Ａ）53y x -= (Ｂ) 53y x = （Ｃ）54y x =(Ｄ)43y x =11.当()1,x ∈+∞时，下列函数的图像全在直线y x =下方且为偶函数的是（ ）. （Ａ）12y x =(Ｂ) 4y x -= （Ｃ）4y x =(Ｄ)1y x -=12.设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){}|M x f x g x ==，则集合M 中元素的个数是（ ）（Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3 （Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 三、解答题13.研究函数23y x的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。