函数的最大值与导数

高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。

极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。

求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。

对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

导数与函数的最值关系解析与归纳函数在数学中是一个常见的概念，它描述了一种输入和输出之间的映射关系。

而导数则是函数在某一点上的变化率，能够揭示函数的增减性和极值情况。

本文将探讨导数与函数的最值关系，并对其进行分析和总结。

一、导数的定义和求解方法在研究导数和函数的最值关系之前，我们首先需要了解导数的定义和求解方法。

对于函数f(x)，在其某一点x处的导数可以通过极限的方法来求解，即：\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的增量。

通过求解上述极限，我们可以得到函数f(x)在点x处的导数。

二、函数的最值与导数的关系函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

在研究函数的最值时，导数可以给我们一些重要的线索。

具体而言，我们可以通过以下定理来判断函数的最值情况：1. 极值第一定理若函数f(x)在点x处取得极值，且该点处的导数存在，则导数f'(x)等于零或不存在。

2. 极值第二定理若函数f(x)在点x处取得极值，且该点处的导数存在，则导数f'(x)从正变为负，或者从负变为正。

基于上述定理，我们可以通过求解导数为零的点或导数变号的区间，来确定函数的极值点。

三、应用举例接下来，我们通过几个具体的函数例子来说明导数与函数最值之间的关系。

1. 求解函数$f(x)=3x^2-4x+1$的极值点。

首先，我们需要求解导数$f'(x) = 6x - 4$。

令$f'(x)=0$，得到$x =\frac{2}{3}$。

所以，函数$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处可能取得极值。

其次，我们观察导数的变化情况。

当$x<\frac{2}{3}$时，导数$f'(x)<0$；当$x>\frac{2}{3}$时，导数$f'(x)>0$。

基于极值第二定理，我们可以判断$x = \frac{2}{3}$是函数$f(x)$的极小值点。

《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

对于函数 y ＝ f(x)，其在点 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝ limₕ→₀ f(x₀＋ h) f(x₀) ／ h导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。

如果导数存在，则函数在该点处可导。

二、函数的极值1、极值的定义函数在某区间内的极大值和极小值统称为极值。

极大值是指在该区间内比其附近的函数值都大的函数值；极小值则是指在该区间内比其附近的函数值都小的函数值。

2、极值点的判别方法（1）导数为零的点：若函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 f'（x₀) ＝ 0，则 x₀可能是极值点。

（2）导数不存在的点：函数在某些点处导数不存在，但也可能是极值点。

3、第一导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀的某个邻域内可导，且 f'（x₀) ＝ 0。

（1）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＞ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＜ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极大值。

（2）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＞ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极小值。

4、第二导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处具有二阶导数，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。

（1）若 f'＇（x₀) ＜ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极大值。

（2）若 f'＇（x₀) ＞ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极小值。

三、函数的最值1、最值的定义函数在某个区间内的最大值和最小值分别称为函数在该区间内的最值。

2、求最值的步骤（1）求函数在给定区间内的导数。

（2）找出导数为零的点和导数不存在的点。

（3）计算这些点以及区间端点处的函数值。

（4）比较这些函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值。

1.3第三课时 函数的最大（小）值与导数一、课前准备 1．课时目标（1）了解函数最值的意义，了解最值与极值的区别和联系.（2）会求闭区间上函数的最大值和最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．基础预探(1) 函数的最大值与最小值：在闭区间[]b a ,上图象连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上 最大值与最小值． (2) 利用导数求函数的最值的基本步骤设函数)(x f 在在（a ,b ）内可导，在闭区间[]b a ,上图象是 的，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：①求)(x f 在(,)a b 内的 ；②将)(x f 的各极值与 比较，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 二、学习引领对于函数的最值问题，应该注意以下几点：1. 依据最值的含义,在闭区间[]b a ,上图象连续不断的函数)(x f ，在[]b a ,上,既有最大值又有最小值．2. 在开区间(,)a b 内图象连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值.3. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．4. 函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的图象连续不断，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数1,10()0,0x x x f x x ⎧--≤≠⎪=⎨=⎪⎩但在[]1,1-上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图象却不是连续不断的,如图所示.5. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个没有.6. 若函数f (x )只有一个极值，则必为最值.若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上递增，则min ()()f x f a =，max ()()f x f b =；若函数f(x)在闭区间[a ,b ]上递减，则min ()()f x f b =，max ()()f x f a =.三、典例导析题型一 用导数求函数的最值例1 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=,若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2,2] 上的最大值和最小值.思路导析：先求导,再由0)1(=-'f 求实数a .令0)(='x f ,求极值点和极值,最后比较大小求最值.解: 由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x =－1 .当[2,2]x -在变化时，'(),()f x f x 的变化如下表4509()(),()(1),(2)0,(2)0,3272f x f f x f f f ==-=-=-==极小极大又所以f (x )在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-规律总结：事实上,用导数求一些非基本初等函数的最值问题,是求函数极值的进一步深入.当求得函数在一个闭区间上的极值后,再与区间端点的函数值进行大小比较,即可求得最值,所以其关键步骤,还是求函数极值.变式训练1设函数2()ln 22x f x x x =+-.试求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值. 题型二 由函数最值求参数的取值或取值范围例2 已知函数32()23f x ax x =-，其中0>a ．若函数[]()()()(0,1)g x f x f x x '=+∈在0x =处取得最大值，求实数a 的取值范围．思路导析:求实数a 的取值范围,一般需要找到关于a 的等价不等式,通过解不等式,得到a 的范围.依据函数的特点,判断函数取得最值的可能时刻,并求出可能的表达式,最后依据最值的意义得不等式,解不等式得解.解:由题意知,[]32()2(63)6,0,1g x ax a x x x =+--∈. 则22()62(63)66(21)1g x ax a x ax a x '⎡⎤=+--=+--⎣⎦.令)(='x g ，即2(21)10ax a x +--=. ①由于0142>+=∆a ，可设方程①的两个根为1x ，2x ，由①得ax x 121-=.由于，0>a 所以021<x x ，不妨设210x x <<，12()6()()g x a x x x x '=--． 当102<<x 时,)(2x g 为极小值,所以在区间[]1,0上,()g x 在0=x 或1=x 处取得最大值；当2x ≥1时，由于)(x g 在区间[]1,0上是单调递减函数，所以最大值为)0(g .综上，函数)(x g 只能在0=x 或1=x 处取得最大值．又已知)(x g 在0=x 处取得最大值，所以)0(g ≥)1(g ,即0≥98-a ，解得a ≤89，又因为0>a ，所以∈a （89,0］． 规律总结:上述问题中,判断取得最值的时刻,用参数a 表示可能的最值，是解决该类问题的关键.等价转化是主要解题过程.变式训练2已知函数a ax x x f --=3)(3在)1,0(内有最小值. (1)求a 的取值范围;(2)函数)(x f 在)1,0(内能否有最大值？若能,求出a 的取值范围,若没有,说明理由. 题型三 实际问题中的函数最值例3 为倡导环保低碳生活,同时增加企业利润,某低碳科技企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在2016年内,预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为()0113≥++=x x x Q ,已知生产此产品的年固定投人为3万元，每生产l 万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占广告费的50％”之和.年利润=年收入―年成本―年广告费.(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数.(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?思路导析:依据题设要求, 将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数,判断该函数的极值,并求最值,回答实际问题.解：(1)由题意，每年产销Q 万件,共计成本为332+Q 万元,销售收入是x Q %50%150)332(+⨯+.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⨯=-+=∴x x x x Q y 3113322133221 ())0(1235982≥+++-=x x x x ．故所求的函数关系式为())0(1235982≥+++-=x x x x y .(2)由(1)可得：()()()()()2222126321235981982++--=+++--++-='x x x x x x x x y ,∴令0='y ，则06322=-+x x 7=∴x 或9-=x (舍去).又()()0,,7;0,7,0<'+∞∈>'∈y x y x ，()()427==∴f x f 极大值．又)(x f 在上只有一个极值点，()()()427===∴f x f x f 极大值最大值．所以每年广告费投入7万元时,企业年利润最大．规律总结:依题意建立目标函数,是解决该类问题的关键步骤.当该目标函数为简单非基本初等函数时,一般通过求导研究该函数的性质,判断取得最值的时刻,求得最值.在实际问题中,若只有一个极值点,则该极值点为最值点.变式练习3 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）A. b a 2B.b a 22C. a b 2D. ab 22四、随堂练习1．下列说法中正确的是（ ）A.函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值D.若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可能有多个极值2．223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a =（ ） A.32-B.12C. 12-D. 12或32-3. 已知函数m x x x f +-=2362)((m 为常数）在]2,2[-有最大值3，那么此函数在]2,2[- 上的最小值是（ ）A.37-B.29-C.5-D.以上都不对 4. 函数],2[,sin ππ∈-=x x x y 的最大值是 .5. 函数)02(,1)(<<-+=x xx x f 的值域为 . 6. 已知函数()ln f x x x =．求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；五、课后作业1．已知函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1(，-∞上有最小值,则函数xx f x g )()(=在区间),1(+∞上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数2．电动自行车已逐渐成为重要的交通工具之一.电动自行车的耗电量y 与速度x (公里)之间有如下关系：)0(,202193123>--=x x x x y ,为使耗电量最小,则速度应定为每小时 ( )公里?A.10B.15C.20D.253. 设函数2()ln(23)f x x x =++,则()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为 ．4. 将8分为两数之和,使两个数的立方和为最小,则分成的两数为 . A. 2和6 B. 4和4 C. 3和5 D. 以上都不对5. 将一段长为100 cm 的铁丝截成两段,一段弯成圆,一段变成正方形．问如何截法使正方形与圆面积之和最小,并求出最小面积．6. 已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.1.3第三课时 函数的最大(小)值答案及解析 一、2. 基础预探(1) 必有;(2) 连续不断; 极值; )(a f 、)(b f . 三、变式练习1.解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞.对函数2()l n 22x f x x x =+-求导得:21(1)()20x f x x x x-'=+-=≥，所以函数()f x 在区间[1,e]上单调递增，所以当=e x 时,函数()f x 取得最大值 ,2e (e)12e 2f =+-.2. 解:)(3)(2a x x f -='.令0)(='x f 在)1,0(内有解,即0))((3)(=-+='a x a x x f .(1) 由题意知10<<a ,即10<<a ,而且当a x <<0时,0)(<'x f ,a x >时,0)(>'x f ,所以当a x =时,)(x f 在)1,0(内取极小值且唯一,故为最小值,因此a 的取值范围为10<<a .(2)由(1)可知,如果0)(='x f 在)1,0(内有解,只可能是a x =,而且)(x f '在a x =两侧的符号只能是左负右正,不具备取极大值的条件,所以函数)(x f 在)1,0(内没有最大值.3. 答案:C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为h r ,,则22,r Vh h r V ππ==,总造价r bV r a r V r b r a y 2222222+=⋅+=ππππ,0242=-='r bV r a y π,得b rVar ⋅=22π即ab h r 2=时取极大值,即最大值.故选C. 四、随堂练习1．答案:D. 解析：根据函数极值和最值的定义知, 函数在给定区间上有最值,最多有一个最大值和一个最小值,但极值可以有多个,故选D.2. 答案:C.解析：2(1)4y x =-++在[,2]a 上的最大值为154，1a ∴>-且在x a =时，215234y a a =--+=最大，解之12a =-或32a =-（舍去），∴12a =-选C3. 答案：A.解析:0126)(2=-='x x x f ,解得0=x 或2=x (舍去)，0=x 为极大值点且唯一,为最大值点.所以3=m .5)2(,37)2(-=-=-f f ,故最小值为37-.故选A.4. 答案:π.解析：],2[,0cos 1ππ∈>-='x x y ,因此,当π=x 时,π=max y .5.答案: ]2,(--∞.解析:011)(2=-='xx f ,解得1-=x ,可判断为极大值点,当0→x 时,-∞→y ,所以值域为]2,(--∞.6. 解：由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+．当1(0,),()0,()x f x f x e'∈<单调递减；当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增,所以函数()f x 在区间[1,3]上单调递增. 又(1)0f =,所以函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为0． 五、课后作业1.答案 D.解析:由题设知,a x a x a x x f ==-=-=',0)(222)(,因为1<a ，又a x a x x g 2)(-+=,01)(222>-=-='xax x a x g ,所以)(x g 在),1(+∞递增. 2. 答案:C.解析:020192=--='x x y ,解得020>=x ,此时y 取极小值且唯一,即最小值,所以电动自行车的速度应定为20公里/小时.3. 答案:2ln 41+.解析：032)1)(12(22322)(=+++=++='x x x x x x f ,21-=x ,可以判断为极小值点且唯一,即最小值点.最小值为2ln 41+.4.答案: 4和 4.解析：设其中一数为x ，则另一数为x -8,两数的立方和为33)8(x x y -+=.)4(48-='x y ,当4=x 时,y 取极小值且唯一,即最小值,所以分成的两数为4和4.5. 解：设弯成圆的一段长为x cm,另一段长为x -100cm ，设正方形与圆的面积之和为S ，则2241002⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x S ππ()1000<<x ．所以()x x S --='100812π，令0='S 得4100+=x x π( cm)．由于在)100,0(内函数只有一个导数为0的点，故当4100+=x x πcm 时，S 最小．此时()222cm 4100002500++=ππS ，所以截成圆的一段长为4100+x πcm 时面积之和最小，最小值为()222cm 4100002500++=ππS ． 6. 解:()f x 的定义域为0∞(，+)，()f x 的导数()1ln f x x '=+.令()0f x '>，解得1ex >；令()0f x '<，解得10e x <<.从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. 所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e-.（Ⅱ）依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，上恒成立，即不等式1ln a x x≤+对于[1)x ∈+∞， 恒成立 .令1()ln g x x x =+,则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭. 当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭,故()g x 是(1)+∞，上的增函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，所以a 的取值范围是(1]-∞，.。

导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是微积分中的重要概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍导数、函数的极值与最值的基本概念、求解方法及其应用。

一、导数的定义及性质导数是函数的一个基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。

在数学中，导数可以用极限的概念来定义。

当函数f(x)在点x处可导时，它的导数f'(x)的定义如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗导数具有一些重要的性质，包括可导函数的和、差、积、商的导数运算法则。

这些性质为求解函数的极值和最值提供了数学工具。

二、函数的极值与最值函数的极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

特别地，当函数在某一点上取得最大值或最小值时，称为函数的局部极值。

函数的极大值和极小值统称为极值。

函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。

与极值不同的是，最值可能发生在函数的端点或无穷远处。

函数的最值是极值的一个特例。

三、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们需要利用导数的概念和性质。

下面介绍一些常用的求解方法。

1. 导数为零的点如果在某一点x处，函数的导数f'(x)为零或不存在，那么该点可能是函数的极值点。

然而，这种方法只是提供了一个可能性，我们还需要进行进一步的验证。

2. 导数的符号变化对于连续函数f(x)，如果在某一点x处，f'(x)由正数变为负数，或由负数变为正数，那么该点可能是函数的极值点。

3. 极值的判别法通过求解函数的导数f'(x)的零点，可以得到函数的驻点，即可能的极值点。

然后，通过极值的判别法判断哪些点是真正的极值点。

四、导数与函数的极值与最值的应用导数与函数的极值与最值在实际问题中有着广泛的应用。

以下列举几个例子：1. 经济学中的最大收益问题在经济学中，我们常常需要求解某一产品的最大利润。

利用导数与函数的极值与最值的概念，我们可以优化生产过程，使得利润达到最大化。

高中数学公式大全导数与函数的极值与最值的计算公式高中数学公式大全：导数与函数的极值与最值的计算公式在高中数学中，导数与函数的极值与最值是比较重要的概念和计算方法。

它们与函数的变化趋势和最高点或最低点的确定密切相关。

下面将介绍导数与函数极值与最值的计算公式。

一、导数的计算公式导数是函数在某一点的变化速率。

对于常见的函数类型，我们可以使用以下公式来计算导数。

1. 常函数的导数：对于函数f(x)=c（c为常数），其导数为f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：对于函数f(x)=x^n（n为实数），其导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 三角函数的导数：常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

它们的导数分别为：sin'(x)=cos(x)cos'(x)=-sin(x)tan'(x)=sec^2(x)4. 对数函数的导数：常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和以10为底的对数函数log(x)等。

它们的导数分别为：ln'(x)=1/xlog'(x)=1/(xln(10))以上是常见函数的导数计算公式，根据需要可以使用链式法则、乘法法则等来计算复杂函数的导数。

二、函数的极值与最值的计算公式函数的极值和最值是指函数图像上的最高点或最低点。

这些点在数学中具有重要的意义，可以用于解决各种实际问题。

下面是函数极值与最值计算的公式。

1. 极值的计算公式：函数在极值点处的导数为0。

因此，要计算函数的极值，需要先找出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，求出满足条件的x值，再带回原函数中计算对应的y值。

这些(x, y)即为函数的极值点。

2. 最值的计算公式：函数的最值是在定义域内的取值最大或最小的点。

对于连续函数，可以采用以下方法来计算最值：a. 求出函数在定义域内的导数；b. 计算导数为0点的函数值，以及定义域的两个端点处的函数值；c. 比较上一步骤中的函数值，取最大或最小值的点即为函数的最值点。

导数与函数的极值在数学中，导数和函数的极值是微积分中的两个重要概念。

导数指的是函数的变化率，而函数的极值则指的是函数在一个区间内的最大值或最小值。

在本文章中，将对导数和函数的极值进行详细的介绍和解释。

一、导数导数，即一个函数在某一点处的变化率。

在微积分中，我们通常设函数为$f(x)$，函数在$x=a$的导数为$f'(a)$。

其中，$a$为一个常数。

导数的计算方法有两种：一是使用导数的定义式，即$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$；二是使用求导法则，包括常数规则、幂规则、和差规则、乘积规则、商规则和复合函数求导法则。

这些法则可以帮助我们更便捷地求解导数。

导数的应用非常广泛。

例如，当我们需要求解函数的最大值和最小值时，就需要使用导数的概念和方法。

此外，在物理学和工程学等领域，导数也扮演着重要角色。

二、函数的极值函数的极值是指函数在一个区间内的最大值或最小值。

对于单峰函数来说，极值只有一个；对于多峰函数来说，可能有多个极值。

极值的求解可以使用导数的知识。

当函数在某一点的导数为零时，这个点就可能是函数的极值点。

具体地，当$f'(a)=0$时，$a$就可能是函数的极值点。

我们还需要使用二阶导数来判断极值类型。

若$f''(a) >0$，则函数在$x=a$处取得局部极小值；若$f''(a) < 0$，则函数在$x=a$处取得局部极大值；若$f''(a) = 0$，则需要使用其他方法来进一步判断。

在实际问题中，函数的极值具有非常重要的意义。

例如，在经济学中，极值可以用来判断利润的最大化或成本的最小化；在数学中，极值可以用来求解最优化问题；在物理学中，极值可以用来求解运动问题。

三、导数与函数的极值的关系导数和函数的极值之间存在紧密联系。

在一维函数中，导数为零的点可能是函数的极值点；当导数经过极值点时，导数的符号会发生改变，即从正数变为负数或从负数变为正数。