2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：基本不等式及其应用

满足
x＝
3－
k m＋
( 1
k
为常数
)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是
1 万件．已
知 2018 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂
家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的
1.5 倍 (产品成本包括固定投入和再投入
两部分资金 )．
(1) 将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； (2) 该厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解： (1)由题意可知，当 m＝ 0 时， x＝ 1，
4b4＋ ab
1 ≥
2
4
a4b4＋ ab
1 ＝
4
a
2b2＋ ab
1
＝
4ab＋
a1b≥
2
4ab·a1b＝ 4，
当且仅当
a2 ＝ 2b2， 1
ab＝ 2
a4＋ 4b4＋ 1
时取等号，故
的最小值是 4.
ab
答案： 4
考点二 基本不等式的实际应用
重点保分型考点 —— 师生共研
[ 典例引领 ]
经调查测算，某产品的年销售量 (即该厂的年产量 )x 万件与年促销费用 m 万元 (m≥ 0)
解析： y＝ 4x(3－ 2x)＝ 2[2x(3－ 2x)]≤ 2 2x＋ 3－ 2x 2＝ 9，
2
2
当且仅当 2x＝ 3－ 2x，即 x＝ 34时，等号成立．
又因为
3∈ 4
3 0， 2
，
所以函数
y＝ 4x(3－ 2x)
3 0＜ x＜ 2
的最大值为
9 2.
答案： 9 2
2．已知正数 x， y 满足 x2＋ 2xy－ 3＝ 0，则 2x＋ y 的最小值是 ________．
20 000 ＋ (8x ＋ 20) ·
10＋ 160 ＝ x
5 80 10 2 x＋ x ＋4 160(x＞ 1)．
5
(2) S(x)＝ 80
10 2
x＋
＋ 4 160≥ 80 x
10 × 2
2 x·5 ＋ 4 160 ＝ 1 600＋ 4 160＝ x
5 760，当且仅当 2 x＝ 5 ，即 x＝ 2.5 时，等号成立，此时 a＝ 40， ax＝ 100. x
[ 由题悟法 ]
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、 变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2) 条件变形，进行 “ 1的”代换求目标函数最值．
[ 即时应用 ]
1．设 0＜ x＜ 32，则函数 y＝ 4x(3－ 2x)的最大值为 ________．
[ 即时应用 ]
1． (2019 ·东台月考 )若对任意
x
＞
0
，
x2＋
x 3x
＋
1≤
a
恒成立，则
a 的最小值为 ________．
解析：
x
2＋
x 3x＋
1
＝
x
＋
1 3＋
1， x
∵ x＞ 0，∴ x＋ 3＋ 1x≥ 3＋ 2 ∴ 0＜ 1 1≤ 15，
x＋3＋ x
x·1x＝ 3＋2＝ 5，当且仅当 x＝ 1x，即 x＝ 1 时取等号，
A1B1＝ x(x＞ 1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x) B1 C1
的解析式；
(2) 要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D 1的长和宽该如何设计？ 解： (1)设休闲区的宽为 a m，则长为 ax m，
由
a
2
x
＝
4
000，得
20 a＝
10 .
x
则
S(x) ＝ (a ＋ 8)(ax ＋ 20) ＝ a2x＋ (8 x＋ 20)a ＋ 160 ＝ 4
当且仅当 x＋ 4＝ 9 ，即 x＝－ 1 时取等号． x＋ 4
答案： 2
3． (2018 ·徐州调研 )已知实数
x， y 满足
x2＋ y2＝ 3，|x|≠ |y|，则
1
4
2x＋y 2＋ x－ 2y 2的最
小值为 ________． 解析： 因为 (2x＋ y)2＋ (x－ 2y)2＝ 5(x2＋ y2)＝ 15，所以令 (2x＋ y)2＝ t， (x－ 2y)2＝ μ，所以
第三节
基本不等式及其应用
a＋ b 1． 基本不等式 ab≤ 2
(1) 基本不等式成立的条件： a＞0， b＞ 0.
(2) 等号成立的条件：当且仅当 a＝ b.
2． 几个重要的不等式
(1) a2＋ b2≥ 2ab(a， b∈ R)； (2) ba＋ ab≥ 2(a， b 同号 )；
(3) ab≤
a＋ b 2 2 (a， b∈R) ； (4)
∴要使
x
2＋
x 3x＋
1
≤
a
恒成立，则
a≥1，故 5
a 的最小值为
1 5.
答案： 1 5
2．已知正数 x， y 满足 x＋ 2 2xy≤ λ(x＋ y)恒成立，求实数 λ的最小值．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解： 依题意得
x＋ 2
2xy≤ x＋
(x＋
2y)＝
2(x＋
y)，即
x＋ 2 x＋
y2xy≤
2(当且仅当
a＋ b 2
2≤
a
2＋ 2
b2 (
a，
b∈
R)．
3． 算术平均数与几何平均数 a＋ b
设 a＞ 0，b＞ 0，则 a， b 的算术平均数为 2 ，几何平均数为 为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
ab，基本不等式可叙述
4． 利用基本不等式求最值问题 已知 x＞ 0， y＞ 0，则
(1) 如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝ y 时，x＋ y 有最小值是 2 p( 简记：积定和最小 )． q2
∴ b＋ 4的最小值为 8. ab
答案： 8
2． (2019 常·州调研 )若实数
x 满足 x＞－ 4，则函数
f(
x)
＝
x＋
9 x＋
的最小值为 4
________．
解析： 因为 x＞－ 4，所以 x＋ 4＞ 0，
所以 f(x)＝ x＋ 9 ＝ x＋ 4＋ 9 － 4≥ 2
x＋ 4
x＋ 4
x＋ 4 · 9 － 4＝ 2， x＋ 4
解析： ∵ x∈ (0,1)，∴ 1－ x∈ (0,1)，∵ x＋ (1－ x)＝ 1，
∴
1x＋
1 1－
x＝
1x＋
1 1－x
[
x
＋
(1
－
x
)]
＝
2＋
1－ x
x ＋
x 1－
x≥
2＋2
1－x x x ·1－
x＝
4，
当且仅当
1－ x
x ＝
x 1－
x，即
x＝ 12时取等号，
∴ m≤ 4，即实数 m 的最大值为 4.
所以 1＝ 3－ k，解得 k＝ 2，即 x＝ 3－ 2 ， m＋ 1
每 1 万件产品的销售价格为
1.5×
8＋ 16x x (万元
)
，
所以 2018 年的利润
y＝x
8＋ 16x 1.5× x
－ (8＋ 16x＋ m)
＝ 4＋ 8x－ m＝4＋ 8
2 3－m＋ 1
－ m＝ 28－ 16 － m(m≥0)． m＋ 1
又
g(2)＝
6，
g(3)
＝
17 3 .因为
g(2) ＞ g(3)，所以
g(
x)
min＝
17 3 .所以－
8 x＋x
＋ 3≤ －8， 3
所以 a≥－ 83，故 a 的取值范围是 － 83，＋ ∞ .
答案： －83，＋∞
[ 由题悟法 ]
求解含参数不等式的求解策略
(1) 观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2) 在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式， 体现了主元与次元的转化．
t＋ μ＝ 15，
1 2x＋ y 2＋
4 x－ 2y
2＝
1 t
＋
μ4＝
1 15(t
＋
μ)
1＋ t
4 μ
＝
1 15
5＋4μt＋
μt ≥
1 15(5
＋
4)＝
35，当且
仅当 t＝ 5， μ＝ 10 时取等号，所以
1
4
3
2x＋ y 2＋ x－ 2y 2的最小值为 5.
答案： 3 5
利用基本不等式求最值的方法
答案： 4
x2＋ ax＋ 11 2．已知函数 f(x)＝ x＋ 1 (a∈ R)，若对于任意的
x∈ N* ， f(x)≥ 3 恒成立，则 a 的取
值范围是 ________．
解析： 对任意
x∈
N* ，
f(x)≥ 3，即
x2＋
ax＋ 11 ≥3
恒成立，即
x＋1
8 a≥ － x＋ x ＋ 3.
设 g(x)＝ x＋ 8x， x∈ N * ，则 g(x)＝ x＋ 8x≥ 4 2，当 x＝ 2 2时等号成立，
∴ y＝ x＋ 9 ＝ (x－ 1)＋ 9 ＋ 1≥ 2
x－ 1
x－ 1
x－ 1 · 9 ＋ 1＝ 7，当且仅当 x＝ 4 时取等号． x－ 1
答案： 7
2．函数 f(x)＝ x＋ 1x的值域为 ____________________．
答案： (－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )
考点一 利用基本不等式求最值
重点保分型考点 —— 师生共研
[ 典例引领 ]
1． (2018 ·启东期末 )设正实数 a，b 满足 a＋ b＝ 1，则 ba＋ 4b的最小值为 ________． 解析： ∵ a＋ b＝ 1，
∴ ba＋ 4b＝ ba＋ 4
a＋ b b
＝ ba＋ 4ba＋ 4≥ 2
等号成立，
ba·4ba＋ 4＝ 8，当且仅当 ba＝4ba，即 a＝ 13， b＝ 23时
________m 2.
解析： 设一边长为 x m，则另一边长可表示为 (10－ x)m ，
由题知 0＜ x＜ 10，则面积 S＝ x(10－ x)≤ x＋ 10－ x 2＝25，当且仅当 x＝ 10－ x，即 x 2
＝ 5 时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为
5 m 时面积取到最大值 25 m2.
3－ x2
解析： 由题意得 y＝
，
2x
所以
2
x＋
y＝
2
x＋
3
－
x2 ＝
3
x2
＋
3
＝
3
2x
2x 2
1 x＋x
≥ 3，
当且仅当 x＝ y＝ 1 时，等号成立．
答案： 3
3． (2017
·天津高考
)若
a，
b∈
R，
ab＞
0
，则
a
4＋
4b4＋ ab
1
的最小值为
________ ．
解析：因为
ab＞
0，所以
a
4＋
答案： 25
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当 a＝ b 时等号成立”的含义是“ a＝ b”是等号成立的充要条件，这一点 至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [ 小题纠偏 ]
9 1． (2019 ·启东检测 )函数 y＝ x＋x－ 1(x＞ 1)的最小值为 ________． 解析： ∵ x＞ 1，∴ x－ 1＞ 0，
)内求
[ 即时应用 ]
某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园
ABCD ，
公园由形状为长方形的休闲区 A1B1C1D 1 和人行道 (阴影部分 )组成．已 知休闲区 A1B1C1D 1 的面积为 4 000 m 2，人行道的宽分别为 4 m 和 10
m( 如图所示 )．
(1) 若设休闲区的长和宽的比
2
4
8
2
取得最大值
1 8.
答案： 1 8
2．若实数 x， y 满足 xy＝ 1，则 x2＋ 2y2的最小值为 ________． 解析： x2＋ 2y2＝ x2＋ ( 2y)2≥ 2x( 2y)＝ 2 2，
所以 x2＋ 2y2 的最小值为 2 2.
答案： 2 2 3．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是
(2) 如果 x＋ y 是定值 q，那么当且仅当 x＝ y 时， xy 有最大值是 4 (简记：和定积最大 )．
[ 小题体验 ]
1．(2019 ·南京调研 )已知 m，n 均为正实数， 且 m＋ 2n＝ 1，则 mn 的最大值为 ________．
解析： ∵ m＋ 2n＝ 1，∴ m·2n≤ m＋ 2n 2＝ 1，即 mn≤1，当且仅当 m＝ 2n＝ 1时， mn
所以利润 y 表示为年促销费用的函数关系式是
y＝28
－
16 m＋
－ 1
m(m≥0)．
(2) 由 (1)知 y＝－
16 ＋ m＋ 1 m＋ 1
＋ 29(m≥ 0)．
因为 m≥ 0 时， 16 ＋ (m＋ 1)≥ 2 m＋ 1
16 m＋
1·m＋ 1
＝ 8，
当且仅当 16 ＝ m＋ 1，即 m＝ 3 时取等号． m＋ 1
所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D 1 的长和宽应分别设计为 100 m,40 m.
考点三 利用基本不等式求参数的值或范围
重点保分型考点 —— 师生共研
[ 典例引领 ]
1． (2019 ·淮安调研 )若 x∈ (0,1)时，不等式
m≤
1x＋
1 1－
恒成立，则实数 x
m 的最大值为
________ ．
所以 y≤ － 8＋ 29＝ 21，
即当 m＝ 3 时， y 取得最大值 21. 所以当该厂家 2018 年的促销费用投入 3 万元时，厂家获得的利润最大，为
21 万元．
解实际应用题的 3 个注意点
[ 由题悟法 ]
(1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3) 在求函数的最值时，一定要在定义域 (使实际问题有意义的自变量的取值范围 解．